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Circuits RL et RC

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Exercice : CIRCUITS RL ET RLC - Moutamadrisma

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1 RÉGIMES TRANSITOIRES - CIRCUITS RL ET RC - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE I. Établissement et rupture d'un courant 1. • Lorsquʼon ferme lʼinterrupteur, il apparaît des courants i1 et i2 tels que : E = Ri1 = ri2 + L!

di 2 dt . • La première relation donne i1 = ! E R . La seconde peut s

écrire !

di 2 dt r L i2 = ! E L ; les solutions sont de la forme : i2 = ! E r + A e-t/τ2 avec τ2 = ! L r ; et les conditions initiales (courant raisonnablement nul) impo-sent : i2 = ! E r

.(1-e-t/τ2). 2. • Après un temps assez long (t >> τ2), on peut supposer que la limite est atteinte : i2 ≈ !

E r

; on ouvre alors lʼinterrupteur : • Les courants i1 et i2 sont alors tels que : i1 = -i2 et uAB = -Ri2 = ri2 + L!

di 2 dt . Cette équation peut sʼécrire ! di 2 dt r+R L i2 = 0 ; les solutions sont de la forme : i2 = A e-t/τ1 avec τ1 = ! L r+R ; et les conditions initiales imposent : i2 = ! E r e-t/τ1. • On en déduit la tension : uAB = -Ri2 = -! R r

E e-t/τ1. Cette tension est dʼautant plus rapidement dé-croissante que la résistance R est grande, dans la mesure où τ1 = !

L r+R est dʼautant plus petit ; mais la valeur initiale : uAB(0) = -! R r

E peut être alors très supérieure à E si R ≫ r. II. Associations d'inductances ou de capacités 1. • La loi caractéristique d'une inductance peut s'écrire : u = L!

di dt

. Pour un assemblage de deux induc-tances en série, donc parcourues par le même courant, l'addition des tensions correspond à : u = u1 + u2 = L1!

di dt + L2! di dt = (L1 + L2)! di dt . • L'assemblage se comporte donc comme une inductance L1 + L2.

2 2. • La loi caractéristique d'une capacité peut s'écrire : i = C!

du dt

. Pour un assemblage de deux capacités en parallèle, donc soumises à une même tension, l'addition des courants correspond à : i = i1 + i2 = C1!

du dt + C2! du dt = (C1 + C2)! du dt

. • L'assemblage se comporte donc comme une inductance C1 + C2. III. Réponse à un échelon de courant 1.a. • La loi des noeuds impose : ic = i + iʼ. 1.b. • La loi des mailles impose : Riʼ = L!

di dt . • La combinaison des équations précédentes donne : ! di dt R L i = ! R L

ic. • Puisque l'énoncé n'indique aucune manipulation ayant pu faire apparaître un courant dans le circuit pour t < 0, le courant y est normalement nul (il n'y a que des dipôles récepteurs). 1.c. • Pour t < 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = A e-t/τ avec une constante de temps : τ = !

L R

. La situation étant invariante pour tout t < 0, la seule solution possible est : i = 0. On en déduit par conséquent : iʼ = !

L R dq dt

= 0. • Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : i = I + A e-t/τ et les conditions initiales imposent : i = I.(1 - e-t/τ). On en tire alors : iʼ = !

L R dq dt

= I e-t/τ. 1.d. • L'allure des variations du courant i est la suivante : • L'allure des variations du courant iʼ = !

L R di dt

est la suivante : 2.a. • La loi des noeuds impose : ic = i + iʼ. • La loi des mailles impose : Riʼ = !

q C . • La charge du condensateur impose : i = ! dq dt

3 2.b. • La combinaison des équations précédentes donne : !

dq dt q RC = ic. Pour t < 0, cela correspond à : ! dq dt q RC = 0 ; pour t ≥ 0, cela correspond à : ! dq dt q RC

= I. • Puisque l'énoncé n'indique aucune manipulation ayant pu faire apparaître une charge du condensa-teur pour t < 0, la charge y est normalement nulle (il n'y a que des dipôles récepteurs). 2.c. • Pour t < 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : q = A e-t/τ avec une constante de temps : τ = RC. La situation étant invariante pour tout t < 0, la seule solution possible est : q = 0. On en déduit par conséquent : iʼ = !

q = 0 et i = ! dq dt

= 0. • Pour t ≥ 0, la solution de l'équation différentielle est de la forme : q = I τ + A e-t/τ et les conditions initiales imposent : q = I τ.(1 - e-t/τ). On en tire alors : iʼ = !

q = I.(1 - e-t/τ) et i = ! dq dt

= I e-t/τ. 2.d. • L'allure des variations de la charge q est la suivante (et les variations de iʼ = !

sont semblables, à un coefficient de proportionnalité près) : • L'allure des variations du courant i = !

dq dt

est la suivante : IV. Réponse à une "impulsion" de tension 1.a. • Pour considérer le signal comme une impulsion de tension, il faut : ε ≪ τ où τ = RC est la cons-tante de temps caractéristique du circuit RC. 1.b. • Pour t < 0, la loi des mailles Ri + !

q C = 0 donne l'équation différentielle : ! dq dt q RC dq dt q RC E R

. Les solutions sont de la forme : q = = CE + A e-t/τ et les conditions initiales imposent : q = CE.(1 - e-t/τ). On en déduit : i = !

dq dt E R e-t/τ. • Pour t > ε, l'équation différentielle : ! dq dt q RC

= 0 a des solutions de la forme : q = A e-t/τ et les conditions initiales imposent : q = CE.(eε/τ - 1) e-t/τ. On en tire alors : i = !

dq dt E R .(1 - eε/τ) e-t/τ. E R t et i E R . • Pour t > ε, la limite ε << τ correspond à : q ≈ ! E" R e-t/τ ≈ ! E" R

sur des durées d'un l'ordre de grandeur nettement inférieur à τ, et par suite : i ≈ -!

E" R# e-t/τ ≈ 0 (│i│ ≪ ! E R

). • L'allure des variations de la charge est la suivante : • L'allure des variations du courant est la suivante : 2.a. • Pour considérer le signal comme une impulsion de tension, il faut : ε ≪ τ où τ = !

L R est la cons-tante de temps caractéristique du circuit RL.

5 2.b. • Pour t < 0, la loi des mailles conduit à l'équation différentielle : Ri + L!

di dt di dt R L i = ! E L a pour solutions : i = ! E R + A e-t/τ et les conditions initiales imposent : i = ! E R .(1 - e-t/τ). • Pour t > ε, l'équation différentielle s'écrit : ! di dt R L

i = 0. Les solutions sont de la forme : i = A e-t/τ et les conditions initiales imposent : i = !

E R E L t. • Pour t > ε, la limite ε ≪ τ donne : i ≈ ! E" L e-t/τ ≈ ! E" L

pour des durées nettement inférieures à τ. • L'allure des variations du courant est la suivante : V. Réponse à une "impulsion" de courant 1.a. • Pour considérer le signal comme une impulsion de courant, il faut : ε ≪ τ où τ = RC est la cons-tante de temps caractéristique du circuit RC. 1.b. • Pour t < 0, Ic = 0 implique iʼ = -i et la loi des mailles Ri + !

q C = 0 donne l'équation différentielle : ! dq dt q RC dq dt et Riʼ = ! q C ; l'équation différentielle s'écrit donc : ! dq dt q RC

= Ic. Les solutions sont de la forme : q = RCIc + A e-t/τ et les conditions initiales imposent : q = RCIc.(1 - e-t/τ). On en tire alors : i = !

dq dt = Ic e-t/τ.

6 • Pour t > ε, l'équation différentielle : !

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Série dexercices Bobine et dipôle RL