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Dénombrement et probabilités.

Exercice

On considère le mot SUITE.

On forme des " mots » (ayant un sens en français ou non) de une à cinq lettres, à partir des lettres du mot

SUITE.

Chaque lettre intervient au plus une fois dans un même " mot ».

1. Combien de " mots » de cinq lettres peut-on former ?

2. Combien de " mots » peut-on former ?

3. Déterminer le nombre de " mots » de cinq lettres dans lesquels il n'y a pas deux voyelles consécutives.

Dénombrement et probabilités.

Correction :

1. Les 5 lettres du mot SUITE sont distinctes deux à deux.

Le nombre de mots de 5 lettres est le nombre de permutations d'un ensemble de 5 éléments.

Donc 5!=1×2×3×4×5=1202.

•Le nombre de mots de une lettre est : 5

•Un mot de deux lettres est une 2-liste d'éléments deux à deux distincts d'un ensemble de 5 éléments,

donc le nombre de mots de 2 lettres est 5! (5-2)!=5!

3!=20.

•Un mot de trois lettres est une 3-liste d'éléments deux à deux distincts d'un ensemble de 5 éléments,

donc le nombre de mots de 3 lettres est 5! (5-3)!=5!

2!=60.

•Un mot de quatre lettres est une 4-liste d'éléments deux à deux distincts d'un ensemble de 5 éléments,

donc le nombre de mots de 4 lettres est 5! (5-4)!=5!

1!=120.

•Il y a 120 mots de 5 lettres. Conclusion, nous pouvons former 5+20+60+120+120=325 mots. 3.

Il y a 3 voyelles et 2 consonnes.

Il n'y a pas deux voyelles consécutives dans un mot si et seulement si les consonnes sont situées au rang 2 et au

rang 4 et les voyelles au rang 1, 3 et 5. Il y a 3!ordres possibles pour les voyelles (les permutations d'un ensemble de 3 éléments).

Il y a

2!ordres possibles pour les consonnes (les permutations d'un ensemble de 2 éléments).

Donc, le nombre de mots de 5 lettres ne comportant pas deux voyelles consécutives est égal à 3!×2!=12.

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