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U.P.S. I.U.T. A, D´epartement d"Informatique Ann´ee 2009-2010
x 3 30-14
02 2 4 Figure5 - Le th´eor`eme de Rolle : existence de tangences horizontales.
12 10 8 6 4 2 0 -2 x54 Figure6 - Le th´eor`eme des accroissements finis : existence de tangentes parall`eles `a (AB). Preuve -Il suffit d"appliquer le th´eor`eme de Rolle `a la fonction : g(x) =f(x)-f(a) +f(b)-f(a) b-a(x-a). En effet, on a bieng(a) =g(b) (= 0 ici) etg?(c) = 0 ´equivaut `af(b)-f(a) b-a=f?(c). Exercice 8.La figure 6 ci-dessus a ´et´e r´ealis´ee avec la fonctionfd´efinie par : f(x) = 2x3-15x2+ 36x-22 et en consid´erant les pointsAetBde son graphe d"abscissesa= 1etb= 4. D´eterminer les deux valeurs dectelles que les tangentes encsoit parall`eles `a la corde(AB). 82< ch(x) et placer sur un mˆeme dessin les graphes des 4 fonctionsch,sh,th, etex 2.
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U.P.S. I.U.T. A, D´epartement d"Informatique Ann´ee 2009-2010
S2 : Analyse
Ch. 2 : Etude et approximation locale
des fonctions num´eriques
1 Continuit´e, th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.
Continuit´e.Une fonction est dite continue enasi elle est d´efinie ena(f(a) existe) et lim x→af(x) =f(a). Elle est continue sur un intervalle si elle est continue en tout pointade cet intervalle. En un point de discontinuit´e, le graphe defpr´esente un saut. Le cas le plus fr´equent dediscontinuit´e est le cas o`u la fonction pr´esente une limite `a droite ena, une `a gauche et ces
deux limites sont diff´erentes (ou encore infinies). Exemple -fest d´efinie surRparf(x) =x2+ 1 six≥0, etf(x) =-(x2+ 1) six <0 : 4 2 0 x 1 -22-1 0 -4-2Figure1 - Une discontinuit´e en 0 avec limites `a droite et `a gauche 1 Mais il peut y avoir des discontinuit´es plus sauvages, sanslimite `a droite ou `a gauche. Exemple -fest d´efinie surRparf(x) = sin(1/x) six?= 0 etf(0) = 0 : 0,5 0 -0,5 x0,3 -10,110,20-0,1-0,2-0,3
Figure2 - Une discontinuit´e en 0 sans limites `a droite ou `a gauche Crit`eres de continuit´e.D"apr`es les r´esultats du chapitre 1 sur les limites, la somme et le produit de deux fonctionsfetgcontinues enaest encore une fonction continue enaet, si g(a)?= 0 le quotientf/gest encore continu ena. La compos´ee de deux fonctions continues est continue. Exemples de fonctions continues.Puisquex?→xest continue surR, d"apr`es ce qui pr´ec´ede, toute fonction polynomiale est continue surR. Toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomesP/Q) est continue sur son domaine de d´efinition c"est-`a-dire en dehors des points o`uQs"annule. Les fonctions usuelles vues au lyc´ee (fonctions trigonom´etriques, logarithme, exponentielle) sont continues sur leurs domaines de d´efinition. Exercice 1.On consid`ere la fonctionfd´efinie surR?parf(x) = exp(sinxx).1. D´emontrer quefest continue sur son domaine de d´efinition.
2. Peut-on trouver une valeur d´efinissantf(0)qui permette de "prolonger par continuit´e"
fsurRtout entier? (c"est-`a-dire telle que la fonction prolong´ee soit continue en 0) 2Nous admettrons le r´esultat suivant (tr`es utile pour d´emontrer qu"une fonction est born´ee)
que nous v´erifierons sur un exemple : Th´eor`eme -Toute fonctioncontinuesur un intervalleferm´e[a,b]est born´ee (parmet M) et atteint ses bornes (il existecetdtels quef(c) =metf(d) =M). Exercice 2.V´erifier `a l"aide des deux questions ci-dessous que les deux hypoth`eses du th´eor`eme sont indispensables :1. D´eterminer l"image de l"intervalle[-2,+2]par chacune des 2 fonctions suivantes :
f(x) =x2;g(x) = 1/xsix?= 0, etg(0) = 0. Est-elle born´ee? Ces bornes sont-elles atteintes?2. D´eterminer l"image de l"intervalle[-2,+2[par la fonctionh(x) = 1/(x-2). Est-elle
born´ee?Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires.(tr`es utile pour d´emontrer l"existence de solutions
d"une ´equation) :Soitfune fonction continue sur un intervalle ferm´e[a,b]. Pour toute valeur interm´ediairedentref(a)etf(b), il existecdans[a,b]tel quef(c) =d. Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires dit que sifest continue sur [a,b], l"image de [a,b] est non seulement born´ee parmetM(avec bornes atteintes) mais esttout l"intervalle[m,M] (sans trous) : Exercice 3.Quelle est l"image de l"intervalle[-2,+2]par la fonctionfde la figure 1? Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires s"applique-t-il ici? Preuve du th´eor`eme par la m´ethode de dichotomie -On peut supposer qu"on est dans le de construire une suite d"intervalles emboit´es [an,bn] tels que (an) et (bn) soient des suites cherch´ee. On pose :[a0,b0] = [a,b]. Puis, par r´ecurrence :
Sif(an+bn
2)> d, on pose [an+1,bn+1] = [an,an+bn2].
Sif(an+bn
2)< d, on pose [an+1,bn+1] = [an+bn2,bn].
Sif(an+bn
2) =d, fin : on posec=an+bn2.
Clairement (an) est croissante, (bn) est d´ecroissante, et (bn-an) tend vers 0 puisque la longueur
de l"intervalle est divis´ee par deux `a chaque ´etape. Soitcleur limite commune. Montrons que cv´erifief(c) =d: - puisque lim(an) =cetfest continue on a (voir ch. 1) : limf(an) =f(c). De plus, puique - de mˆeme puisque lim(bn) =c, etfest continue on a : limf(bn) =f(c). La suitef(bn) ´etant minor´ee pard, on af(c)≥d, d"o`u finalementf(c) =d. 3Remarque -Cet algorithme est en g´en´eral infini (le 3`emecasf(an+bn2) =d´etant exceptionnel).
A l"it´erationn, il fournit une approximation de la solutioncavec une erreur inf´erieure `a (bn-an) = (b-a)/2n, ce qui permet de d´ecider du nombre d"it´erations n´ecesaires pour obtenir un r´esultat avec une pr´ecision donn´ee. Exercice 4.On consid`ere les fonctionsx?→xetx?→cos(3πx)sur l"intervalle[0,1](voir la figure 3 ci-dessous).1. Montrer que l"´equationcos(πx) =xadmet au moins une solution dans l"intervalle[0,1].
Est-elle unique?
2. Donner une approximation d"une solution de cette ´equation avec une erreur inf´erieure
`a 0,05. 1 0,6 0,5 0 0,4 -0,5 -10,20 x10,8 Figure3 - Graphes dex?→xetx?→cos(3πx) sur [0,1] 42 D´erivabilit´e, th´eor`eme des accroissements finis.
Rappel.L"´equation d"une droite non verticale du plan muni des coordonn´ees (x,y) s"´ecrit de mani`ere unique sous la formey=px+q. Le coefficientpest soncoefficient directeur (oupente). SiMetNsont deux points de cette droite de coordonn´ees connues (xM,yM) et (xN,yN), on calcule la pente par : p=yN-yM xN-xM. On obtient ensuite le coefficientqen consid´erant n"importe quel point connuMsur la droite : b=yM-axM. D´efinition.Soitfune fonction,aune valeur de son ensemble de d´efinition,Ale point de coordonn´ees (a,f(a)) etMun point quelconque de son graphe, de coordonn´ees (x,f(x)). La fonctionfestd´erivableenasi la s´ecante (AM) admet une position limite (non verticale) lorsqueMtend versA. Cette position limite est appel´eetangenteenA. La fonctionfest donc d´erivable si le coefficient directeurf(x)-f(a) x-ade (AM) admet une limite (finie) quandxtend versa. Cette valeur limite (le coefficient directeur de la tangente) est not´eef?(a) : f ?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a. La fonctionfest d´erivable sur un intervalle ouvertIsi elle est d´erivable en tout pointade I. La fonctionf?:a?→f?(a) (fonction "coefficients directeurs des tangentes") est appel´ee fonction d´eriv´eedef. Exercice 5.On consid`ere la fonctionf:x?→x2+ 1.1. D´emontrez par un calcul de limite qu"elle est d´erivableau pointAd"abscissea= 1, et
calculer l"´equation de la tangente enA.2. En d´eduire la d´erivabilit´e et la tangente ena=-1(sans autre calcul).
3. Etudier la d´erivabilit´e en 0. Faire une repr´esentation graphique du graphe defsur
[-2,+2]en pla¸cant d"abord ces 3 tangentes. Remarque.Sifest d´erivable enaalorsfest continue ena. Il suffit d"appliquer le th´eor`eme sur le produit des limites `af(x)-f(a) =f(x)-f(a) x-a×(x-a). La figure 2 du chapitre 1 (page 4) donne un exemple de fonction avec un point (enx=-2)de continuit´e mais de non d´erivabilit´e : le taux d"accroissement admet une limite `a droite (et
donc une "demi-tangente" `a droite), une limite `a gauche (et donc une "demi-tangente" `a gauche), mais les coefficients directeurs de ces demi-tangentes sont distincts. On parle alors seulement de d´erivabilit´e `a droite ou `a gauche. A nouveau, il y a des exemples de non d´erivabilit´e plus sauvages (sans l"existence de demi-tangentes) : 5Exercice 6(Voir figure 4 ci-dessous).
1. En consid´erant la suite d´efinie parun= (2n+1)π/2, montrer que la fonctionsin(x)n"a
pas de limite quandxtend vers+∞.2. D´emontrez que la fonctionf:x?→xsin(1/x)est continue mais non d´erivable `a
l"origine. 0 x0,4 -0,20,4-0,20,2
-0,4 -0,4 0,2 0 Figure4 - Graphe dex?→xsin(1/x) sur [-1/2,1/2] Calcul pratique d"une fonction d´eriv´ee.On rappelle les r´esultats suivants : - la somme et le produit de deux fonctions d´erivables est d´erivable. Le quotient de deux fonctions d´erivablesfetgest d´erivable en tout pointao`ug(a)?= 0 et on a : (f+g)?=f?+g?; (fg)?=f?g+fg?; (f/g)?=f?g-fg? g2. - la compos´eeg◦fd"une fonctionfd´erivable enxavec une fonctiongd´erivable eny=f(x) est d´erivable enxet (g◦f)?(x) =g?(y)×f?(x),d"o`u : (g◦f)?=g?◦f×f?. - L"application r´eciproquef-1d"une fonctionfd´erivable enxtelle quef?(x)?= 0 est d´erivable eny=f(x), et on a : (f-1)?(y) =1 f?(x),d"o`u : (f-1)?=1f?◦f-1. 6 Ces r`egles permettent de calculer la d´eriv´ee de nombreuses fonctions connaissant celles des fonctions usuelles :(xα)?=αxα-1pour toutαr´eel.
sin?(x) = cos(x); cos?(x) =-sin(x); tan?(x) = 1 + tan2(x).ln?(x) =1
x; exp?(x) = exp(x).Exercice 7.
1. D´emontrer la formuletan?(x) = 1+tan2(x).Calculer la d´eriv´ee de la fonctiontan(2⎷
x).2. D´emontrer que la fonction tangente est bijective de]-π/2,+π/2[surR. Soitarctan
sa fonction r´eciproque. Montrer que cette fonction est d´erivable surR, et calculer sa d´eriv´ee. Th´eor`eme de l"extr´emum local.Sifest d´erivable sur un intervalleIet admet un maxi- mum (ou un minimum) en un pointc`a l"int´erieur deI, alorsf?(c) = 0. Preuve -Sicest un maximum local `a l"int´erieur deI, alors le taux d"accroissementf(x)-f(c)x-cest positif `a gauche, et n´egatif `a droite. En passant `a lalimite `a gauche et `a droite on doit
Cette preuve ne fonctionne pas (et le th´eor`eme est faux!) sicest sur une extr´emit´e deI. Th´eor`eme de Rolle.Soitfune fonction continue sur[a,b], d´erivable sur]a,b[, v´erifiant f(a) =f(b). Il existe un pointcdans]a,b[tel quef?(c) = 0. 115x 3 30-14
02 2 4 Figure5 - Le th´eor`eme de Rolle : existence de tangences horizontales.
Remarques.
- Il y a existence des tangentes horizontales mais pas unicit´e (voir la figure 5 ci-dessus). 7- Le th´eor`eme est faux si on ne suppose pas la fonction d´erivable : consid´erer la fonction
x?→ |x|sur [-1,1]. - Si la fonction d´eriv´eef?est continue, on peut `a nouveau chercher num´eriquementcpar la m´ethode de dichotomie appliqu´ee `af?. Preuve du th´eor`eme de Rolle -On sait quefest born´ee (f([a,b]) = [m,M]) et atteint ses bornes (il existecetdtels quef(c) =metf(d) =M). Sicetdsont sur le bord de [a,b], puisquef(a) =f(b),m=Metfest constante. On peut alors prendre n"importe quel cdans l"intervalle. Sinon on a un minimum ou un maximum `a l"int´erieur de l"intervalle et on applique le th´eor`eme de l"extr´emum local. Th´eor`eme des accroissements finis.Soitfune fonction continue sur[a,b], d´erivable sur ]a,b[. Il existe au moins un pointcdans]a,b[tel quef(b)-f(a) b-a=f?(c). 3210y12 10 8 6 4 2 0 -2 x54 Figure6 - Le th´eor`eme des accroissements finis : existence de tangentes parall`eles `a (AB). Preuve -Il suffit d"appliquer le th´eor`eme de Rolle `a la fonction : g(x) =f(x)-f(a) +f(b)-f(a) b-a(x-a). En effet, on a bieng(a) =g(b) (= 0 ici) etg?(c) = 0 ´equivaut `af(b)-f(a) b-a=f?(c). Exercice 8.La figure 6 ci-dessus a ´et´e r´ealis´ee avec la fonctionfd´efinie par : f(x) = 2x3-15x2+ 36x-22 et en consid´erant les pointsAetBde son graphe d"abscissesa= 1etb= 4. D´eterminer les deux valeurs dectelles que les tangentes encsoit parall`eles `a la corde(AB). 8
Applications du th´eor`eme des accroissements finis.Ce th´eor`eme a un int´erˆet `a la fois
th´eorique et pratique :1-Application aux variations des fonctions d´erivables.Il est clair que si une fonction
d´erivablefest croissante sur un intervalleIalors sa d´eriv´ee est positive surI. En effet, pour
toutxet toutadansIle taux d"accroissementf(x)-f(a) x-aest positif et donc en passant `a la limitef?(a) est positif. Le th´eor`eme des accroissements finis nous prouve la r´eciproque : si en tout pointcdeIla d´eriv´ee est positive, alors, d"apr`es ce th´eor`eme, tous les taux d"accroissementf(b)-f(a)
b-asont positifs pouraetbdansIet doncfest croissante surI. Plus g´en´eralement, on a :fest croissante surI?f?est positive surI;
fest d´ecroissante surI?f?est n´egative surI; fest constante surI?f?est identiquement nulle surI.Sif?est positive (resp. n´egative) surIet ne s"annule au pire qu"en des points "isol´es" (la
d´eriv´ee ne s"annule pas sur un intervalle ouvert autour dece point) alorsfeststrictement croissante (resp.strictementd´ecroissante).2-Calcul de limites de quotients : r`egle de l"Hopital.Soientfetgcontinues et d´erivables
sur un intervalleIouvert. On suppose que pouradansI,f(a) =g(a) = 0. On a :Si lim
x→af ?(x) g?(x)existe et vautl,alors limx→af(x)g(x)existe et vaut encorel. Preuve -Soithla fonction d´efinie parh(x) = (g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x). Puisque h(a) =h(b), en appliquant le th´eor`eme de Rolle `ahon obtient une variante du th´eor`eme des accroissements finis qui nous dit que sous les mˆemes hypoth`eses on peut trouvercdans ]a,b[ tel que f(b)-f(a) g(b)-g(a)=f?(c)g?(c). Sibtend versaalors puisquea < c < b,ctend aussi versaet on a donc lim b→af(b) g(b)= limb→af(b)-f(a)g(b)-g(a)= limc→af ?(c)g?(c)=l. Exercice 9.En appliquant autant de fois que n´ecessaire la r`egle de l"Hopital d´eterminer l"existence et la valeur de la limite :limx→0x-sin(x) x3.3-Majoration d"erreur.Soitfcontinue et d´erivable sur un intervalleI, dont la fonction
d´eriv´eef?est born´ee parMsurI. Soitaune valeur dansIpour laquelle on connaitf(a). Si pour une autre valeurbdansIon approximef(b) inconnu parf(a), on peut majorer l"erreur commise par : Exercice 10.On prend pour valeur approch´ee de Arctg(1,1) la valeur Arctg(1)=π/4. Donner une majoration de l"erreur commise. 93 D´erivabilit´e d"ordre sup´erieur, formules de Taylor.D´eriv´ees d"ordre sup´erieur.On dira quefest 2 fois d´erivable enasifd´efinie et d´erivable
sur un intervalle ouvertIcontenanta, et sa fonction d´eriv´eef?(d´efinie surI) est d´erivable
ena. Le nombre d´eriv´e def?enaest not´ef??(a). En it´erant, on d´efinit de mˆeme une fonction
nfois d´erivable ena. La d´eriv´eeni`emeenadefest not´eef(n)(a). Une fonctionfest dite de classeCnsurIlorsqu"elle estnfois d´erivable en toutadeIetsa fonction d´eriv´eeni`emef(n)est continue surI. Elle est de classeC∞si elle est de classeCn
pour toutn(fest ind´efiniment d´erivable). Exemples : la fonction exponentielle, les fonctions polynˆomes, trigonom´etriques... Exercice 11.Calculer :(fg)??,(fg)???en fonction des d´eriv´ees defet deg. Quelle serait la formule g´en´erale donnant(fg)(n)? D´efinition.fadmet und´eveloppement limit´e`a l"ordrenenas"il existe un polynˆomePn(x) = c0+c1(x-a) +c2(x-a)2+···+cn(x-a)ntel quef(x) =Pn(x) +o((x-a)n.
Si un tel polynˆomePnexiste, il est unique. Son existence est donn´ee par la : Formule de Taylor-Young.Soitfd´efinie sur un intervalle ouvertIcontenanta,nfois d´erivable ena. Alors pour toutxdansIon a : f(x) =f(a) +f?(a)(x-a) +f??(a) x6 02-1 14
0-22 Figure7 - Les 4 premi`eres approximations de Taylor de exp(x) enx= 0. Remarque.La preuve pourn= 1 est tr`es facile : sifest une fois d´erivable enaposons : f(x)-f(a) x-a=f?(a) +ε(x). Cette ´egalit´e s"´ecrit encore : f(x) =f(a) + (x-a)f?(a) + (x-a)ε(x) 10dans laquelle, par d´efinition de la d´erivabilit´e,ε(x) tend vers 0 quandxtend versa. Remar-
quons que le d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 defena P1(x) =f(a) +f?(a)(x-a) a pour graphe la tangente ena.Preuve g´en´erale.Elle se fait par r´ecurrence sur l"ordren, initialis´ee par la remarque
pr´ec´edente. Sifestnfois d´erivable ena,f?estn-1 fois d´erivable ena. On lui applique l"hypoth`ese de r´ecurrence : f ?(x) =Pn-1(f?)(x) +o((x-a)n-1) o`uPn-1(f?) d´esigne le polynˆome de Taylor de la fonctionf?`a l"ordren-1. On utilise ensuite les deux propri´et´es suivantes : -Pn(f)?=Pn-1(f?).(cela provient de la forme particuli`ere des coefficients). - la primitive?(x) d"uno((x-a)n-1) s"annulant enx=aest uno((x-a)n). (c"est une cons´equence du th´eor`eme des accroissements finis). On a donc icif?(x) =Pn(f)?(x)+??(x).Deux fonctions ayant mˆeme d´eriv´ee sur un intervalle et prenant la mˆeme valeur en un pointasont ´egales. Donc :f(x) =Pn(f)(x)+?(x) o`u?(x) est uno((x-a)n).Exercice 12.
1. Calculer le d´eveloppement limit´e en 0 `a l"ordrende la fonction exponentielle.
2. Calculer le d´eveloppement limit´e en 0 `a l"ordrende la fonctionf:x?→1/1-x.
3. En d´eduire les d´eveloppements limit´es en 0 dex?→exp(2x)et deg:x?→1/1 +x.
Calcul pratique de d´eveloppements limit´es.Dans la pratique on calcule rarement di- rectement les coefficients f(n)(a) n!. On obtient un d´eveloppement limit´e d"une fonction `a partir de ceux des fonctions usuelles (connus) en appliquant les r`egles alg´ebriques suivantes : Sifetgadmettent des d´eveloppements limit´esPnetQn`a l"ordrenau voisinage dea, alors : f+gadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenqui est :Pn+Qn. fgadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenqui est :Pn×Qntronqu´e `a l"ordren. f/gadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenqui est obtenu en effectuant la division suivant les puissances croissantes du polynˆomePnpar le polynˆomeQn. Sifadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenau voisinage dea Pn, etgv´erifieg(0) = 0 et admet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenau voisinage de 0Qn, alorsf◦gadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenqui estPn◦Qntronqu´e `a l"ordren. Sifadmet un d´eveloppement limit´ePn`a l"ordrenau voisinage dea, alorsf?admet un d´eveloppement limit´e `a l"ordren-1 obtenu en d´erivant terme `a termePn. Sifadmet un d´eveloppement limit´ePn`a l"ordrenau voisinage dea, alors toute primitive Fdef(F?=f) admet un d´eveloppement limit´e `a l"ordren+ 1 dont le premier terme est F(a), obtenu en prenant une primitive de chaque terme dePn. 11 D´eveloppements limit´es classiques (au voisinage de 0) : e x= 1 +x+x22!+···+xnn!+o(xn)
cos(x) = 1-x22!+···+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n+1)
sin(x) =x-x33!+···+ (-1)nx2n+1(2n+ 1)!+o(x2n+2)
(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2!x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+o(xn)
11-x= 1 +x+x2+···+xn+o(xn)
Exercice 13.
1. Calculer le d´eveloppement limit´e `a l"ordre3de la fonction tg(x).
2. Calculer le d´eveloppement limit´e `a l"ordrendeln(1 +x).
3. Calculer le d´eveloppement limit´e `a l"ordre2de?
(1 +x). En d´eduire la limite : lim x→0⎷ (1+x)-1-x/2 x2. La formule de Taylor-Lagrange.Soitfd´efinie sur un intervalle ouvertIcontenanta, n+ 1 fois d´erivable surI. Alors pour toutxdansI, il existecdans ]a,x[ (ou ]x,a[) tel que : f(x) =f(a) +f?(a)(x-a) +f??(a)2!(x-a)2+···+f(n)(a)n!(x-a)n+f(n+1)(c)(n+ 1)!(x-a)n+1.
Remarques.
- Pourn= 0 on retrouve la formule des accroissements finis appliqu´ee `a l"intervalle [a,x]. - Cette formule permet de majorer l"erreur commise lorsqu"on approximef(x) par son po- lynˆome de TaylorPn(x). SoitRn(x) =f(x)-Pn(x) le reste de la formule de Taylor-Lagrange `a l"ordren. Supposons quef(n+1)soit born´ee sur [a,x] (ou [x,a]) parM. On a alors : (n+ 1)!|x-a|n+1. Preuve de la formule de Taylor-Lagrange -Comme pour la formule des accroissementsfinis, elle se d´eduit du th´eor`eme de Rolle appliqu´e `a unefonction bien choisie. On fixeaetx,
on prend une variabletentreaetxet on pose : ?(t) =f(x)-f(t)-n? k=1f k(t) k!(x-t)k-λ(x-t)n+1 On a?(x) = 0 et on choisit la constanteλde sorte que on ait aussi?(a) = 0 (c"est ´evidemment possible). Puisque?est d´erivable surI(donc continue sur [a,x] et d´erivable sur ]a,x[), le 12 th´eor`eme de Rolle nous dit qu"il existecstrictement compris entreaetxtel que??(c) = 0. Le calcul de??(t) donne (exercice : v´erifiez cette formule pourn= 3, puis pournquelconque) : ?(t) = (x-t)? (n+ 1)λ-f(n+1)(t) n!? et donc??(c) = 0 si et seulement siλ=f(n+1)(c) (n+1)!. En ´ecrivant?(a) = 0, on obtient la formule de Taylor-Lagrange. Exercice 14.On approximeexp(-0,1)`a l"aide du d´eveloppement de Taylor-Lagrange de la fonction exponentielle au voisinage dex= 0.1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange deexp`a l"ordren.
2. Donner une majoration de son reste `a l"ordrensur l"intervalle[-0.1,0].
3. A quel ordre doit-on prendre la formule de Taylor-Lagrangesi on souhaite une approxi-
mation deexp(-0,1)`a10-5pr`es? Calculer cette valeur approch´ee.Test d"auto-
´evaluation sur le chapitre 2
1. Donner un exemple de fonction discontinue en un point (autre que ceux du cours).
2. La fonction valeur absoluex?→ |x|est-elle continue `a l"origine? Est-elle d´erivable `a
l"origine?3. Enoncez le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires et donnez un exemple o`u il s"applique.
4. Enoncez la r`egle de l"Hopital et calculer la limite :
lim x→0ln(1 +x)-x+x2/2 x3. Retrouvez ce r´esultat en calculant le d´eveloppement limit´e `a l"ordre 3 de ln(1 +x).5. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange def(x) =x3autour dea= 1. En d´eduire que
pour toutx >0, le graphe defest au dessus de sa tangente en 1.6. Quels sont les d´eveloppements limit´es `a l"ordrenau voisinage de 0 de1
1+x,e2x, sin(x2)?
13Chapitre 2 : Travaux dirig´es
1.Variations et fonction r´eciproque.On consid`ere la fonctionf:x?→2⎷
x-x. (a) Montrer que la fonctionfest strictement croissante sur [0,1]. Quelle est son image? (b) Donner l"expression de sa fonction inverse. (c) Calculer la pente de la tangente `afen 1/4 et en d´eduire celle def-1en 3/4.2.Fonctions trigonom´etriques inverses.Pour les deux premi`eres questions on s"inspirera
de l"exercice 7 vu dans ce chapitre. (a) D´emontrer que si on restreint la fonction cos `a [0,π] elle devient bijective de [0,π] sur [-1,1]. Montrer de mˆeme que sin est bijective de [-π/2,+π/2] sur [-1,1]. Les fonctions r´eciproques sont not´ees arccos et arcsin.(b) D´emontrer que arccos et arcsin sont d´erivables sur ]-1,1[ et calculer leur d´eriv´ees.
En d´eduire que la fonction arccos+arcsin est constante sur[-1,1] et calculer cette constante.