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CoursTerminale S3Nombre derive-approximation ane
1 Nombre derivee d'une fonction enx0
1.1 Denition
DenitionSoitfune fonction denie sur un intervalle I.Soitx0dans I.
fest derivable enx0de nombre deriveL si et seulement si : lim h!0f(x0+h)f(x0)h existe et vautLOn notef0(x0) =LRemarqueOn peut aussi travailler avec : lim
x!x0f(x)f(x0)xx01.2 Interpretation graphique
Interpretation graphiqueSoitfune fonction derivable sur un intervalle I . Soitx0dans I. On note (Cf) la representation graphique defdans un repere (R). (Cf) admet en son point point d'abscissex0une tangente de coecient directeurf0(x0)L'equation de cette tangente est donnee par :
y=f0(x0)(xx0) +f(x0)xy AM x 0x0+hf(x0)f(x0+h)hxy
AM x 0x0+hf(x0)f(x0+h)hxy
AM x 0x0+hf(x0)f(x0+h)2 Approximation ane d'une fonction au voisinage dex0
ProprieteSoitfune fonction denie sur un intervalle I.Soitx0dans I.
fest derivable enx0de nombre deriveL si et seulement si :Il existe une fonction denie sur I telle que :
lim h!0(h) = 0 {f(x0+h) =f(x0) +hL+h(h) - Demonstration (i) -Herve Gurgey15 septembre 2009
CoursTerminale S32.1 Interpretation graphique
Soitfune fonction derivable sur un intervalle I .
Soitx0dans I .
La donnee def(x0) etf0(x0) permet d'obtenir une valeur approchee def(x0+h)pourhproche de 0 En eetf(x0+h) =f(x0) +hf0(x0) +h(h) et puisque limh!0(h) = 0h(h) devient negligeable devanthlorsquehest proche de 0 D'un point de vue graphique,h(h) represente l'ecart entre la tangente et la courbeOn peut ainsi armer :f(x0+h)f(x0) +hf0(x0)On dit que :f(x0)+hf0(x0) est l' approximation anedef(x0+h) pourhproche de 0.
RemarqueAinsi si , par exemple, on conna^tf(2) etf0(2) on peut avoir une valeur approchee def(2;05) ,
f(1;99) , etc..Cette idee sera exploitee avec la methode d'Euler deja utilisee en premiere et reutilisee en Terminale.xy
y=f(x)ax