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ECS1DupuydeL^omeVendredi15octobre2004

Corrig

eduDevoirSurveillen2

EXERCICE1Proprietesdescoecientsdubin^ome

Soientp;k;ntroisentiersnaturels.

1.a.D'apresla"petiteformule",n+1

k+1 =n+1 k+1 n k j'endeduisimmediatementleresultat.N S 1=nX k=01 k+1 n k =1n+1n X k=0 n+1 k+1 =1 n+1n+1X k=1 n+1 k =1 n+1 n+1X k=0 n+1 k 1! 2n+11 n+1 S2=nX k=0(1)k k+1 n k =1n+1n X k=0(1)kn+1 k+1 =1n+1n+1X k=1(1)k+1n+1 k =1 n+1n+1X k=1(1)kn+1 k =1n+1n+1X k=0(1)kn+1 k +1n+1= 1 n+1 S3=nX k=02 2k k+1 n k =1n+1n X k=0 n+1 k+1 4 k=1

4n+4n+1X

k=1 n+1 k 4 k=1 4n+4 n+1X k=0 n+1 k 4 k1! 5n+11 4n+4 N 2.a. n k k p =n! n! p!(np)!(np)!(nk)!(npn+k)!=n p np nk N b.Soit(p;n)2NN?telquepEXERCICE2Grillesdemotscroises 1 choixde4casesnoiresparmi24 24

4possibilites.

Ilyadonc24

4 grillespossibles.N

2.Parmicesgrillesdenombronscellesquiont

a.aumoinsuncoinnoirci

4grillessansaucunanglenoir.J'en

deduisqu'ilya24 4 20 4 grillesayantaumoinsunanglenoir.N b.exactementdeuxcoinsnoircis. jechoisisdeuxangles 4

2possibilites

jechoisisdeuxautrescases 20

2possibilites

Autotal,ilyadonc620

2 c.exactementunecasenoireparcolonne.

Autotal,ilyadoncA4

parligne.N k grillesdierentes.N

4.Parmicesgrillesdenombronscellesquiont

a.auplusunecasenoireparcolonne. jechoisiskcolonnesparmilesncolonnesdelagrille n kpossibilites verslesplignesdisponibles. pkpossibilites

Autotal,ilyadoncn

k jechoisiskcolonnesparmilesncolonnesdelagrille n kpossibilites deskcolonnesselectionneesverslesplignesdisponibles. Ak ppossibilites

Autotal,ilyadoncn

k Ak

EXERCICE3Compositionsd'entiers

2 egauxa1,dontlasommevautn.

Unecomposition(n1;n2;:::;np)denveriedonc

n

1+n2++np=n

D'ouC(1)=1;C(2)=2etC(3)=4.N

N(1;n)=1

k+l=n jechoisisk2[[1;n1]] (n1)possibilites jechoisisl2[[1;n1]],telquek+l=n,ie.l=nk. Iln'yadoncqu'uneseulepossibilitepourlechoixdel. 1possibilite

N(2;n)=n1N

N(p+1;n)=nX

k=1CardEk: jechoisisnp+1=k 1possibilite jechoisis(n1;:::;np)desorteque n

1++np=nk

(n1;:::;np)estdoncunecompositiondelongueurpdenk. N(p;nk)possibilites

Autrementdit

CardEk=N(p;nk)

Finalement,

N(p+1;n)=Cardn[

k=1E k=nX k=1CardEk=npX k=1CardEk=npX k=1N(p;nk)=n1X k=pN(p;k) D'ou

N(p+1;n)=N(p;n1)+N(p;n2)++N(p;p)=n1X

k=pN(p;k) N 3

8np;N(p;n)=n1

p1

Montronsparrecurrencesurpque

8p2N?;P(p)

N(1;n)=1.Commen1

0=1,laproprieteP(o)estvraie.

recurrence,ilvient:

N(p+1;n)=n1X

k=pN(p;k)=n1X k=p k1 p1 hypothesederecurrence n1X k=p k p k1 p relationdePascal n1 p p1 p =n1 p :telescopage

8np;N(p;n)=n1

p1 N

C(n)=X

p=1nN(p;n)=X p=1nn1 p1 =n1X k=0 n1 k =(1+1)n1; parleformuledubin^omedeNewton.

Parconsequent

8n2N?;C(n)=2n1

N

EXERCICE4Jeudecartes

1.L'univers

=C(5;32)

Commelestiragessefontauhasard,

estmunidelaprobabiliteuniforme Card =32 5N

2.SoitAl'evenement"obteniruncarre".Comme

Card

DenombronsA:

jechoisisunehauteurpourlecarre 8

1possibilites

jechoisis4cartesacettehauteur 4

4possibilites

jechoisisunecarted'uneautrehauteur 28

1possibilites

P(A)=22432

5N 4 e,pique,carreauoucur)"

DenombronsB:

jechoisisunecouleur 4

1possibilites

jechoisiscinqcartesdanslacouleurchoisie 8

5possibilites

Autotal,CardB=48

P(B)=4

8 532
5N ya24

5mainsdierentesdansC.Parconsequent:

P(C)=1

24
532
5N contiennentpasl'asde.

DenombronsD1

jechoisisl'asdepique 1

1possibilite

jechoisisunautrepique 7

1possibilites

jechoisis3cartesnias,nipique 3

21possibilites

Autotal,CardD1=721

3

DenombronsD2

jechoisisunasparmi3 3

1possibilites

jechoisisdeuxpiques,maispasl'as 7

2possibilites

jechoisis2cartesniasnipiques 21

2possibilites

Autotal,CardD2=37

2 21
2

P(D)=P(D1)+P(D2)=721

3+37 221
232
5 jechoisistroishauteursdierentes 8

3possibilites

jechoisislahauteurquin'appara^traqu'unefois 3

1possibilites

fh1;h1;h2;h2;h3g

Ilnerestequ'achoisirlescouleurs

jechoisisdeuxcartesalahauteurh1 4

2possibilites

jechoisisdeuxcartesalahauteurh2 4

2possibilites

jechoisisunecartealahauteurh3 4

1possibilites

Autotal,ilya3

1 4 1 8 3 4 2 4 2=728 fullnicarre.D'ou

P(E)=728

332
5 N 5

EXERCICE5Lap^echeauxcanards

{Bk"lekiemetiragealieudanslebassinB"

P(A1\A2\A3)=P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\A2)

=P(A1)P(J1jA1)P(J2jA2) 1

22525=

2 25
N

P(A2)=P(A1)PA1(A2)+P(B1)PB1(A2)

=P(A1)PA1(J1)+P(B1)PB1(O1) 1

225+1215=

3 10 N precedenteP(A2)=3

1P(A2)=7

10. nalement

P(O2)=P(A2)PA2(O2)+P(B2)PB2(O2)

3

1035+71015=1650=

8 25:
N P

J2(A1)=P(A1\J2)

P(J2) 25.

P(A1\J2)=P(A1\A2\J2)+P(A1\B2\J2)

1

22525+123545=1650

D'oujetire

PJ2(A1)=1634=817

N

1lesconditionnementsetantnonnegligeables

6

EXERCICE6Compagnied'assurance

P(C2=0;50,P(C3)=0;25.

donne: 1

412100+124100+148100=

7 100:
N

2.OnchercheP(C1jD).LaformuledeBayesdonne

P(C1jD)=P(C1)P(DjC1)

P(D)

0;250;12

0;07= 3 7 N

P(DjC2[C3)=P(D\(C2[C3))

P(C2[C3)

P(D\C2)+P(D\C3)

P(C2)+P(C3)

0;50;04+0;250;08

0;75= 4 75
N aucunaccident.D'apreslaformuledeBayes

P(C2jD)=P(C2)P(DjC2)

P(D)=0;500;960;93=

16 31
N 7quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40