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Courbes paramétrées

une courbe particulièrement intéressante. Lacycloïdeest la courbe que parcourt un point choisi de la roue d"un vélo,

lorsque le vélo avance. Les coordonnées(x,y)de ce pointMvarient en fonction du temps :x(t) =r(tsint)

y(t) =r(1cost) oùrest le rayon de la roue.xy

La cycloïde a des propriétés remarquables. Par exemple, la cycloïde renversée est une courbebrachistochrone: c"est-à-

dire que c"est la courbe qui permet à une bille d"arriver le plus vite possible d"un pointAà un pointB. Contrairement à

ce que l"on pourrait croire ce n"est pas une ligne droite, mais bel et bien la cycloïde. Sur le dessin suivant les deux

billes sont lâchées enAà l"instantt0, l"une sur le segment[AB]; elle aura donc une accélération constante. La seconde

parcourt la cycloïde renversée, ayant une tangente verticale enAet passant parB. La bille accélère beaucoup au début

et elle atteintBbien avant l"autre bille (à l"instantt4sur le dessin). Notez que la bille passe même par des positions

en-dessous deB(par exemple ent3).A Bt 1t 1t 2t 2t 3t 3t 4t 4

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE2

1. Notions de base

1.1. Définition d"une courbe paramétréeDéfinition 1.

Unecourbe paramétrée planeest une application f:DR!R2 t7!f(t)

d"un sous-ensembleDdeRdansR2.Ainsi, unecourbe paramétréeest une application qui, à un réelt(leparamètre), associeun pointdu plan. On parle

aussi d"arc paramétré. On peut aussi la noterf:DR!R2 t7!M(t)ou écrire en abrégét7!M(t)out7!€x(t) y(t)Š.

Enfin en identifiantCavecR2, on note aussit7!z(t) =x(t) +iy(t)avec l"identification usuelle entre le point

M(t) =€x(t)

y(t)Š et son affixez(t) =x(t)+iy(t).xy

x(t)y(t)M(t) =x(t),y(t)Par la suite, une courbe sera fréquemment décrite de manière très synthétique sous une forme du type

x(t) =3lnt y(t) =2t2+1,t2]0,+1[ouz(t) =eit,t2[0,2].

Il faut comprendre quexetydésignent des fonctions deDdansRou quezdésigne une fonction deDdansC. Nous

connaissons déjà des exemples de paramétrisations.

Exemple 1.

t7!(cost,sint),t2[0,2[: une paramétrisation du cercle trigonométrique. t7!

(2t3,3t+1),t2R: une paramétrisation de la droite passant par le pointA(3,1)et de vecteur directeur

~u(2,3).

7!(1)xA+xB,(1)yA+yB,2[0,1]: une paramétrisation du segment[AB].

Sifest une fonction d"un domaineDdeRà valeurs dansR, une paramétrisation du graphe def, c"est-à-dire de

la courbe d"équationy=f(x), estx(t) =t y(t) =f(t).xy

M(t)costsintM(0)M(2

)M()M(32 )xy ~uA

M(0)M(1)M(2)M(1)

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE3xy

AB

M(0)M(1)M()xy

x(t) =ty(t) =f(t)M(t)Il est important de comprendre qu"une courbe paramétrée ne se réduit pas au dessin, malgré le vocabulaire utilisé,

mais c"est bel et bienune application. Le graphe de la courbe porte le nom suivant :Définition 2.

Lesupport d"une courbe paramétréef:DR!R2

t7!f(t)est l"ensemble des pointsM(t)oùtdécritD.

Néanmoins par la suite, quand cela ne pose pas de problème, nous identifierons ces deux notions en employant le

motcourbepour désigner indifféremment à la fois l"application et son graphe. Des courbes paramétrées différentes

peuvent avoir un même support. C"est par exemple le cas des courbes : [0,2[!R2 t7!(cost,sint)et[0,4[!R2 t7!(cost,sint)

dont le support est un cercle, parcouru une seule fois pour la première paramétrisation et deux fois pour l"autre (figure

de gauche).M(t)costsintM(t)(1,0)1t21+t22t1+t2Plus surprenant, la courbe t7!1t21+t2,2t1+t2 ,t2R,

est une paramétrisation du cercle privé du point(1,0), avec des coordonnées qui sont des fractions rationnelles

(figure de droite).

Ainsi, la seule donnée du support ne suffit pas à définir un arc paramétré, qui est donc plus qu"un simple dessin. C"est

unecourbe munie d"un mode de parcours. Sur cette courbe, on avance mais on peut revenir en arrière, on peut la

parcourir une ou plusieurs fois, au gré du paramètre, celui-ci n"étant d"ailleurs jamais visible sur le dessin. On " voit »

x(t),y(t), mais past.

Interprétation cinématique.

La cinématique est l"étude des mouvements. Le paramètrets"interprète comme letemps.

On affine alors le vocabulaire : la courbe paramétrée s"appelle plutôtpoint en mouvementet le support de cette courbe

porte le nom detrajectoire. Dans ce cas, on peut dire queM(t)est lapositiondu pointMàl"instant t.

1.2. Réduction du domaine d"étude

Rappelons tout d"abord l"effet de quelques transformations géométriques usuelles surle pointM(x,y)(xetydésignant

les coordonnées deMdans un repère orthonormé(O,~i,~j)donné).

Translation de vecteur~u(a,b):t~u(M) = (x+a,y+b).

Réflexion d"axe(Ox):s(Ox)(M) = (x,y).

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE4

Réflexion d"axe(Oy):s(Oy)(M) = (x,y).

Symétrie centrale de centreO:sO(M) = (x,y).

Symétrie centrale de centreI(a,b):sI(M) = (2ax,2by). Réflexion d"axe la droite(D)d"équationy=x:sD(M) = (y,x). Réflexion d"axe la droite(D0)d"équationy=x:sD0(M) = (y,x).

Rotation d"angle2

autour deO: rotO,=2(M) = (y,x).

Rotation d"angle2

autour deO: rotO,=2(M) = (y,x). Voici la représentation graphique de quelques-unes de ces transformations.xy

M= (x,y)t

~u(M) = (x+a,y+b)O~uxy

M= (x,y)s

(Ox)(M) = (x,y)O xy

M= (x,y)s

O(M) = (x,y)O

xy

M= (x,y)rot

O,=2(M) = (y,x)

2

OOn utilise ces transformations pour réduire le domaine d"étude d"une courbe paramétrée. Nous le ferons à travers

quatre exercices.

Exemple 2.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible de la courbex(t) =t32 sint y(t) =132 cost

Solution.

Pourt2R,

M(t+2) =t+232

sin(t+2),132 cos(t+2) = (t32 sint,132 cost)+(2,0) =t~uM(t)

où~u= (2,0). Donc, on étudie l"arc et on en trace le support sur un intervalle de longueur2au choix, comme

[,]par exemple, puis on obtient la courbe complète par translations de vecteursk(2,0) = (2k,0),k2Z.

Pourt2[,],

M(t) =(t32

sint),132 cost=s(Oy)M(t).

On étudie la courbe et on en trace le support sur[0,](première figure), ensuite on effectue la réflexion d"axe(Oy)

(deuxième figure), puis on obtient la courbe complète par translations de vecteursk~u,k2Z(troisième figure).xy

xy xy

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE5

Exemple 3.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible d"unecourbe de Lissajousx(t) =sin(2t) y(t) =sin(3t)

Solution.

Pourt2R,M(t+2) =M(t)et on obtient la courbe complète quandtdécrit[,]. •Pourt2[,],M(t) =sin(2t),sin(3t)=sOM(t). On étudie et on construit la courbe pourt2[0,], puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centreO. Pourt2[0,],M(t) =sin(22t),sin(33t)=sin(2t),sin(3t)=sin(2t),sin(3t)=

s(Oy)M(t). On étudie et on construit la courbe pourt2[0,2](première figure), on effectue la réflexion d"axe

(Oy)(deuxième figure), puis on obtient la courbe complète par symétrie centrale de centreO(troisième figure).xy

xy xy

Exemple 4.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible de l"arc8 :x(t) =t1+t4 y(t) =t31+t4 Indication : on pourra, entre autres, considérer la transformationt7!1=t.

Solution.

Pour tout réelt,M(t)est bien défini.

Pourt2R,M(t) =sOM(t). On étudie et on construit l"arc quandtdécrit[0,+1[, puis on obtient la courbe

complète par symétrie centrale de centreO.

Pourt2]0,+1[,

=1=t1+1=t4,1=t31+1=t4 =t31+t4,t1+t4 y(t),x(t)=s(y=x)M(t). Autrement dit,M(t2) =s(y=x)M(t1)avect2=1=t1, et sit12]0,1]alorst22[1,+1[. Puisque la fonction

t7!1tréalise une bijection de[1,+1[sur]0,1], alors on étudie et on construit la courbe quandtdécrit]0,1]

(première figure), puis on effectue la réflexion d"axe la première bissectrice (deuxième figure) puis on obtient la

courbe complète par symétrie centrale de centreOet enfin en plaçant le pointM(0) = (0,0)(troisième figure).xy

xy xy

Exemple 5.

Déterminer un domaine d"étude le plus simple possible de l"arcz=13

2eit+e2it. En calculantz(t+23), trouver

une transformation géométrique simple laissant la courbe globalement invariante.

Solution.

Pourt2R,z(t+2) =13

2ei(t+2)+e2i(t+2)=13

2eit+e2it=z(t). La courbe complète est obtenue quand

tdécrit[,].

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE6

•Pourt2[,],z(t) =13

2eit+e2it=1

3 (2eit+e2it)=z(t). Donc, on étudie et on construit la courbe

quandtdécrit[0,], la courbe complète étant alors obtenue par réflexion d"axe(Ox)(qui correspond à la

conjugaison).

Pourt2R,

z(t+23 ) =13

2ei(t+2=3)+e2i(t+2=3)

13

2e2i=3eit+e4i=3e2it=e2i=3z(t).

Le pointM(t+2=3)est donc l"image du pointM(t)par la rotation de centreOet d"angle23. La courbe complète

est ainsi invariante par la rotation de centreOet d"angle23 .xy O

1.3. Points simples, points multiples

Définition 3.

Soitf:t7!M(t)une courbe paramétrée et soitAun point du plan. Lamultiplicitédu pointApar rapport à la

courbefest le nombre de réelstpour lesquelsM(t) =A.En termes plus savants : la multiplicité du pointApar rapport à l"arcfest Cardf1(A).AAA

SiAest atteint une et une seule fois, sa multiplicité est1et on dit que le pointAest unpoint simplede la courbe

(première figure).

SiAest atteint pour deux valeurs distinctes du paramètre et deux seulement, on dit queAest unpoint doublede

la courbe (deuxième figure).

On parle de même depoints triples(troisième figure),quadruples, ...,multiples(dès que le point est atteint au

moins deux fois).

Une courbe dont tous les points sont simples est unecourbe paramétrée simple. Il revient au même de dire que

l"applicationt7!M(t)est injective. Comment trouve-t-on les points multiples?Pour trouver les points multiples d"une courbe, on cherche les couples(t,u)2D2tels quet>uet

M(t) =M(u).On se limite au couple(t,u)avect>uafin de ne pas compter la solution redondante(u,t)en plus de(t,u).

COURBES PARAMÉTRÉES1. NOTIONS DE BASE7

Exemple 6.

Trouver les points multiples de l"arcx(t) =2t+t2

y(t) =2t1t

2,t2R.xy

M(t) =M(u)Solution.

Soit(t,u)2(R)2tel quet>u.

M(t) =M(u)()2t+t2=2u+u2

2t1t

2=2u1u

2()(t2u2)+2(tu) =0

2(tu)1t

21u
2=0 ()(tu)(t+u+2) =0 (tu)2+t+ut 2u2=0 ()t+u+2=0

2+t+ut

2u2=0(cartu6=0)

S+2=0 2+SP

2=0(en posantS=t+uetP=tu)

S=2 P

2=1()S=2

P=1ouS=2

P=1 ()tetusont les deux solutions deX2+2X+1=0 ouX2+2X1=0

()t=1+p2 etu=1p2(cart>u).Il nous reste à déterminer où est ce point doubleM(t) =M(u). Fixonst=1+p2etu=1p2. De plus,

x(t) =t2+2t=1(puisque pour cette valeur det,t2+2t1=0). Ensuite, en divisant les deux membres de l"égalité

t2+2t=1part2, nous déduisons1t

2=1+2t, puis, en divisant les deux membres de l"égalitét2+2t=1part,

nous déduisons1t=t+2. Par suite,y(t) =2t(1+2(t+2)) =5. La courbe admet un point double, le point de

coordonnées(1,5).

Remarque.

Dans cet exercice, les expressions utilisées sont des fractions rationnelles, ou encore, une fois réduites au même

dénominateur, puis une fois les dénominateurs éliminés, les expressions sont polynomiales. Or, àudonné, l"équation

M(t) =M(u), d"inconnuet, admet bien sûr la solutiont=u. En conséquence, on doit systématiquement pouvoir

mettre en facteur(tu), ce que nous avons fait en regroupant les termes analogues : nous avons écrit tout de suite

(t2u2)+2(tu) =0 et non past2+2tu22u=0. Le facteurtuse simplifie alors car il est non nul.Mini-exercices.

1.

R eprésentergraphiquement chacune des transformations du plan qui servent à réduire l"intervalle d"étude.

2.

Pour la courbe de Lissajous définie parx(t) =sin(2t)ety(t) =sin(3t), montrer que la courbe est symétrique

par rapport à l"axe(Ox). Exprimer cette symétrie en fonction de celles déjà trouvées :sOets(Oy).

3.

T rouverles symétries et les points multiples de la courbe définie par x(t) =1t21+t2ety(t) =t1t21+t2.

4. T rouverun intervalle d"étude pour l"astroïde définie par x(t) =cos3t,y(t) =sin3t. 5.

Trouver un intervalle d"étude pour la cycloïde définie parx(t) =r(tsint),y(t) =r(1cost). Montrer que la

cycloïde n"a pas de points multiples. COURBES PARAMÉTRÉES2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE8

2. Tangente à une courbe paramétrée

2.1. Tangente à une courbe

Soitf:t7!M(t),t2DR, une courbe. Soitt02D. On veut définir la tangente enM(t0).On doit déjà prendre garde au fait que lorsque ce pointM(t0)est un point multiple de la courbe, alors la courbe

peut tout à fait avoir plusieurs tangentes en ce point (figure de droite). Pour éviter cela, on supposera que la courbe

estlocalement simple ent0, c"est-à-dire qu"il existe un intervalle ouvert non videIde centret0tel que l"équation

M(t) =M(t0)admette une et une seule solution dansD\I, à savoirt=t0(figure de gauche). Il revient au même de

dire que l"applicationt7!M(t)estlocalement injective. Dans tout ce paragraphe, nous supposerons systématiquement

que cette condition est réalisée.

Soitf:t7!M(t),t2DR, une courbe paramétrée et soitt02D. On suppose que la courbe est localement simple

ent0.Définition 4(Tangente).

On dit que la courbe admet une tangente enM(t0)si la droite(M(t0)M(t))admet une position limite quandt

tend verst0. Dans ce cas, la droite limite est latangenteenM(t0).M(t0)M(t)tangente

2.2. Vecteur dérivé

On sait déjà que la tangente enM(t0), quand elle existe, passe par le pointM(t0). Mais il nous manque sa direction.

Pourt6=t0, un vecteur directeur de la droite(M(t0)M(t))est le vecteur!M(t0)M(t)=

€x(t)x(t0)

y(t)y(t0)Š (rappelons que ce

vecteur est supposé non nul pourtproche det0et distinct det0). Quandttend verst0, les coordonnées de ce vecteur

tendent vers0; autrement dit le vecteur!M(t0)M(t)tend (malheureusement) vers!0. Le vecteur nul n"indique aucune

direction particulière et nous ne connaissons toujours pas la direction limite de la droite(M(t0)M(t)). Profitons-en

néanmoins pour définir la notion de limite et de continuité d"une fonction à valeurs dansR2.Définition 5.

Soitt7!M(t) =x(t),y(t),t2DR, une courbe paramétrée et soitt02D. La courbe estcontinue ent0si

et seulement si les fonctionsxetysont continues ent0. La courbe estcontinue surDsi et seulement si elle est

continue en tout point deD.En d"autres termes la courbe est continue ent0si et seulement six(t)!x(t0)ety(t)!y(t0), lorsquet!t0.

COURBES PARAMÉTRÉES2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE9

Revenons maintenant à notre tangente. Un autre vecteur directeur de la droite(M(t0)M(t))est le vecteur

1tt0!M(t0)M(t) =‚

x(t)x(t0)tt0y(t)y(t0)tt0Œ

.On a multiplié le vecteur!M(t0)M(t)par le réel1tt0. Remarquons que chaque coordonnée de ce vecteur est un taux

d"accroissement, dont on cherche la limite. D"où la définition :Définition 6.

Soientt7!M(t) = (x(t),y(t)),t2DR, une courbe paramétrée ett02D. La courbe estdérivable ent0si et

seulement si les fonctionsxetyle sont. Dans ce cas, levecteur dérivéde la courbe ent0est le vecteur

x0(t0) y 0(t0)

Ce vecteur se note!dMdt(t0).

Cette notation se justifie car dans le vecteur1tt0!M(t0)M(t), dont on cherche la limite,!M(t0)M(t)peut s"écrire

M(t)M(t0)(on rappelle qu"une différence de deux pointsBAest un vecteur!AB). Ainsi : !dMdt(t0) ="!différence infinitésimale deMdifférence infinitésimale detent0»M(t0)! dMdt(t0)2.3. Tangente en un point régulier

Si le vecteur dérivé!dMdt(t0)n"est pas nul, celui-ci indique effectivement la direction limite de la droite(M(t0)M(t)).

Nous étudierons plus tard le cas où le vecteur dérivé est nul.Définition 7. Soitt7!M(t),t2DR, une courbe dérivable surDet soitt0un réel deD.

Si!dMdt(t0)6=~0, le pointM(t0)est ditrégulier.

Si!dMdt(t0) =~0, le pointM(t0)est ditsingulier.

Une courbe dont tous les points sont réguliers est appeléecourbe régulière.Interprétation cinématique.

Sitest le temps, le vecteur dérivé!dMdt(t0)est levecteur vitesseau pointM(t0). Un point

singulier, c"est-à-dire un point en lequel la vitesse est nulle, s"appellera alors plus volontierspoint stationnaire. D"un

point de vue cinématique, il est logique que le vecteur vitesse en un point, quand il est non nul, dirige la tangente à la

trajectoire en ce point. C"est ce qu"exprime le théorème suivant, qui découle directement de notre étude du vecteur

dérivé :Théorème 1.

En tout point régulier d"une courbe dérivable, cette courbe admet une tangente. La tangente en un point régulier est

dirigée par le vecteur dérivé en ce point. COURBES PARAMÉTRÉES2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE10M(t0)T 0! dMdt(t0)Si !dMdt(t0)6=~0, une équation de la tangenteT0enM(t0)est donc fournie par :M(x,y)2T0()xx(t0)x0(t0) yy(t0)y0(t0)

=0()y0(t0)xx(t0)x0(t0)yy(t0)=0.Exemple 7.Trouverles points où la tangente à la courbe de Lissajous

x(t) =sin(2t) y(t) =sin(3t) ,t2[,],est verticale,puis horizontale.

Solution.

Tout d"abord, par symétries, on limite notre étude surt2[0,2 ]. Or au pointM(t) =€sin(2t) sin(3t)Š , le vecteur dérivé est !dMdt=x0(t) y 0(t) =2cos(2t)

3cos(3t)

Quand est-ce que la première coordonnée de ce vecteur dérivé est nul (surt2[0,2 x

0(t) =0()2cos(2t) =0()t=4

Et pour la seconde :

y

0(t) =0()3cos(3t) =0()t=6

out=2

Les deux coordonnées ne s"annulent jamais en même temps, donc le vecteur dérivé n"est jamais nul, ce qui prouve que

tous les points sont réguliers, et le vecteur dérivé dirige la tangente.

La tangente est verticale lorsque le vecteur dérivé est vertical, ce qui équivaut àx0(t) =0, autrement dit enM(4). La

tangente est horizontale lorsque le vecteur dérivé est horizontal, ce qui équivaut ày0(t) =0, autrement dit enM(6)

et enM(2 ).xy M(6 )M(2 )M(4 )On trouve les autres tangentes horizontales et verticales par symétrie.

Remarque.

Une courbe peut avoir une tangente verticale, contrairement à ce à quoi on est habitué pour les graphes de

fonctions du typey=f(x). COURBES PARAMÉTRÉES2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE11 •Par contre dans le cas d"une paramétrisation cartésienne du type x(t) =t y(t) =f(t) qui est une paramétrisation du

graphe de la fonction (dérivable)f(où cette fois-cifest à valeurs dansR), le vecteur dérivé ent0=x0est1

f0(x0).

Celui-ci n"est jamais nul puisque sa première coordonnée est non nulle. Ainsi, une paramétrisation cartésienne

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