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Remarque:dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faci-
liter la lecture et la compréhension du lecteur. Il est cependant exclu de faire cela lors de l"examen, le temps est précieux! Il est
par contre nécessaire de numéroter avec soin vos questions et de souligner ou encadrer vos résultats. Pour plus de précisions et
d"astuces, consultez la page dédiée de math93.com : présenter une copie, trucs et astuces.Exercice 1. Probabilités13 points
On considère un jeu composé d"un plateau tournant et d"une boule. Re- présenté ci-contre, ce plateau comporte 13 cases numérotées de 0 à 12. On lance la boule sur le plateau, Laboule finit par s"arrêter auhasardsur une case numérotée. La boule a la même probabilité de s"arrêter sur chaque case.1. Quelleest la probabilité que la boule s"arrêtesur la case8?
Il y a une case numéroté 8 sur un total de 13 cases. Donc en supposant qu"il y a équiprobabilité, la probabilité que la boule s"arrête sur la case8 est :p1=1
13.2. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur laquelle la
boule s"arrêtesoit un nombre impair? Il y a 6 cases portant un numéro impair (1, 3, 5, 7, 9 et 11) sur untotal de 13 cases. Donc en supposant qu"il y a équiprobabilité, la probabilité que la boule s"arrête sur un numéro impair est :p2=6 13.01234567
8 9 10 11 123. Quelleest la probabilité que le numéro de la case sur laquellela boule s"arrête soit unnombre premier?
Ilya5cases portantunnombrepremier (2,3, 5,7et11)sur untotal de13 cases.Doncensupposant qu"ily aéquiprobabilité,
la probabilité que la boule s"arrête sur un nombre premier est :p3=5 13.4. Lorsdes deux dernierslancers,la boule s"est arrêtéeà chaque fois sur la case numérotée9. A-t-on maintenantplus de
de probabilités. À chaque lancer la probabilité que la boule s"arrête sur la case numérotée 9 est113et celle que la boule s"arrête sur la case
numérotée 7 est aussi de 113. Ily adoncautant dechances que la boule s"arrête sur la casenumérotée 9 que celle numérotée
7.CorrectionDNB 2018- Pondichéry
2 Mai 2018
Exercice 2. Transformations9 points
Le pavage représenté sur la figure 1 est réalisé à partir d"un motif appelé pied-de-coq qui est présent sur de nombreux tissus
utilisés pour la fabrication de vêtements.Le motif pied-de-coq estreprésenté par lepolygone ci-dessous àdroite(figure2)qui peut êtreréalisé àl"aide d"unquadrillage
régulier. 1 2 +B C DE FG HI J K L M N AFigure 1Figure 2
1. Sur la figure1, quel type de transformationgéométriquepermetd"obtenir le motif 2 à partirdu motif 1?
Une translation permet d"obtenir le motif 2 à partir du motif1.2. Danscelte question, onconsidèreque : AB = 1cm (figure2). Déterminerl"aire d"un motif pied-de-coq.
Le quadrillage étant régulier, le motif est composé d"un carré AEHK d"aireAE2=22cm2et de 8 triangle rectangles isocèles
ayant chacun une aire égale à la moitié de celle d"un carré unité soit 8×1 2cm2.L"aire du motif est donc :
A=4+8×1
2=4+4=8 cm2
3. Marie affirme "si je divise par 2 les longueursd"un motif, son aire sera aussi divisée par 2». A-t-elle raison?Expliquer
pourquoi.Par propriété, si on divise les aires par un réelkstrictement positif, les aires le sont park2(et les volumes park3). Donc ici,
si on divise par 2 les longueurs d"un motif, son aire sera divisée par 22=4. www.math93.com /www.mathexams.fr©ISSN 2272-53182/10CorrectionDNB 2018- Pondichéry
2 Mai 2018
Exercice 3. QCM9 points
Réponse aRéponse bRéponse cRéponse d
2La latitude del"équateur est :0°90° Est90° Nord90° Sud
3 2 3+56 7= 3 14 190,2142857140,111111111
1.Question1 : Réponse b soit 2530000000000000.
2.Question2 : Réponse a soit 0°.
3.Question3 : Réponse a soit314.
2 3+56 7=4 6+56 7 9 6 7=3 2 7 32×17=314
Attention la réponse c de la question 3 n"est qu"une valeur approchée à 10-9près.Remarque
www.math93.com /www.mathexams.fr©ISSN 2272-53183/10CorrectionDNB 2018- Pondichéry
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Exercice 4. Programme de calcul18 points
Programme AProgramme B
Choisir un nombreChoisir un nombre
Soustraire 3Calculer le carré de ce nombre Calculer le carré du résultat obtenuAjouter le triple du nombre de départAjouter 7
1. Corinne choisit le nombre 1 et applique le programme A. Expliquer en détaillant les calculs que le résultat du pro-
gramme de calculest 4.Programme A
Choix1
Soustraire 31-3=-2
Carré du résultat(-2)2=4
2. Tidjane choisit le nombre-5 etapplique le programmeB. Quelrésultatobtient-il?
Programme B
Choix-5
Carré(-5)2=25
Ajouter le triple du nombre de départ25+3×(-5)=25-15=10Ajouter 710+7=17
Tidjane va donc obtenir 17 en partant de (-5) avec le programme B.3. Linasouhaiteregrouperlerésultatdechaqueprogrammeàl"aide d"untableur.Ellecréelafeuillede calculci-dessous.
Quelleformule,copiée ensuite à droite dans lescellulesC3à H3,a-t-ellesaisie dans la celluleB3?
B2...??fx=(B1-3)ˆ2
ABCDEFGH
1Nombre de départ-3-2-10123
2Résultat du programme A3625169410
3Résultat du programme B7557111725
La formule, copiée à droite dans les cellules C3 à H3, saisie dans la cellule B3 est : =B1?2+3?B1+7 ouB1?B1+3?B1+74. Zoé cherche à trouver un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat. Pour cela,
elleappellexle nombrechoisi au départet exprimele résultatde chaque programmede calculen fonctiondex.
4. a. MontrerquelerésultatduprogrammeAenfonctiondexpeuts"écriresousformedéveloppéeetréduite:x2-6x+9.
Programme A
Choixx
Soustraire 3x-3
Carré du résultat(x-3)2=x2-6x+9
4. b. Écrirele résultatdu programmeB.
Programme B
Choixx
Carréx2
Ajouter le triple du nombre de départx2+3x
Ajouter 7x2+3x+7
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4. c. Existe-t-il un nombre de départpour lequellesdeux programmesdonnentle même résultat?Sioui, lequel?
On cherche si il existe des valeurs dextelles que les deux programmes donnent le ,même résultat soit :
x2-6x+9=x2+3x+7?? -6x-3x=7-9
?? -9x=-2 ??x=-2 -9=29Seule la valeur de départx=2
9donnera le même résultat pour les deux programmes. Ce dernier sera, pourx=29dans le
programme A : ?2 9? 2 -6×?29? +9=481-12×99×9+81×9814-108+729
81625
81
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Exercice 5.20points
Dans tout l"exercice l"unité de longueur est le mm. On lance une fléchette sur une plaque carréesur laquelle figure une cible cir- culaire (en gris sur la figure), Si la pointe de la fléchette estsur le bord de la cible,on considèreque lacible n"estpas atteinte.Onconsidèrequecetteexpé- rience est aléatoire et l"on s"intéresse à la probabilité que la fléchette atteigne la cible. •La longueur du côté de la plaque carrée est 200. •Le rayon de la cible est 100. •La fléchette est représentée par le point F de coordonnées(x;y)où x et y sont des nombres aléatoires compris entre-100et100. xy50-50-100
-50 -1005050 100-50-100 -50 -10050 100Cible +O HF
1. Dans l"exemple ci-dessus, la fléchette F est située au point de coordonnées(72; 54). Montrer que la distance OF, entre
la fléchette et l"originedu repère,est 90.PuisqueFestsituéeaupointdecoordonnées(72;54),danslerepèreorthonormédontl"unitéestlemmona:?HF=54 mm
OH=72 mm.
Calculons OH avec le théorème de Pythagore.
Dans le triangleHFOrectangle enH, d"après le théorème de Pythagore on a : FO2=HF2+HO2
FO2=542+722
FO2=2916+5184
FO2=8100
Or FO est positif puisque c"est une longueur, l"unique solution possible est donc : FO=? 8100FO=90 mm
2. D"une façongénérale,quel nombre ne doit pas dépasser la distance OF pour que la fléchette atteignela cible?
La distance OF doit être strictement inférieur au rayondu disque puisque si elle atteint le bord,on considère que la cible est
manquée. Il faut donc que :OF<100. www.math93.com /www.mathexams.fr©ISSN 2272-53186/10CorrectionDNB 2018- Pondichéry
2 Mai 2018
3. On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de cette fléchette sur la plaque carrée et qui compte le
nombrede lancersatteignantla cible.Quandest cliqué
mettrescoreà0 aller à x:nombre aléatoire entre-100et100y:nombre aléatoire entre-100et100 mettreCarré de OFàabscisse x*abscisse x+ mettredistanceàracinede ajouter àscore1 sidistance<...alors répéter120fois3. a. Lorsqu"onexécutece programme,combien de lancerssont simulés?
L"instruction "répéter 120 fois» indique que 120 lancers sont simulés.3. b. Quelest le rôlede la variablescore?
la variable "score» est un compteur qui rend compte du nombre de fois où la condition du test "si distance<...» est
vérifiée. Il va compter le nombre de fléchettes qui atteignentla cible.