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2 sept 2015 · Corrigé du baccalauréat ES Antilles–Guyane septembre 2015 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1 Soit la fonction f définie
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?Corrigé dubaccalauréat ES Antilles-Guyaneseptembre2015?
EXERCICE15 points
Commun à tous les candidats
1.Soit la fonctionfdéfinie sur [1; 100] parf(x)=200lnx+10x,f?(x) désigne la fonction dérivée
def. On a : a.f?(x)=200+1La dérivée de la fonction ln estx?-→1
x.2.On noteLune primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonction ln. Cette fonctionLest :
a.croissante puis décroissante b.décroissante sur [0 ;+∞[ c.croissante sur [0 ;+∞[ d.décroissante puis croissante La fonction ln est négative sur]0; 1[puis positive donc n"importe laquelle de ses primitives est décroissante puis croissante.3.La fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=x-lnxest :
a.convexe sur ]0 ;+∞[ b.concave sur ]0 ;+∞[ c.ni convexe ni concave sur ]0 ;+∞[ d.change de convexité sur ]0 ;+∞[ g(x)=x-lnxdoncg?(x)=1-1 xet doncg??(x)=1x2 g ??(x)>0 sur]0;+∞[, doncgest convexe sur]0;+∞[.4.On a représenté ci-dessous la courbe représentative d"une fonctionhdéfinie et dérivable sur
[0 ;+∞[ ainsi que sa tangente au point A d"abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer
que : a.h?(2)=2 b.h?(2)=1 2 c.h?(2)=0 d.h?(2)=1 -1 -21 231 2 3 4 5 6-1
01230 1 2 3 4 5 6
A h?(2) est le coefficient directeur de la droite tracée soityA-yOxA-xO=12.Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
5.La variable aléatoireXsuit une loi normale d"espéranceμ=0 et d"écart typeσinconnu mais on
sait queP(-1010%10%
EXERCICE25 points
CandidatsES n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité etcandidats LPARTIEA
1.On construit un arbre pondéré traduisant la situation :
A 0,4 C0,85C1-0,85=0,15
B1-0,4=0,6C0,95
C1-0,95=0,05
2.L"événement "la pomme n"est pas commercialisable» est l"événementC.
D"après la formule des probabilités totales : P(3.Il s"agit, dans cette question, de comparerP
C(A) etPC(B).
PC(A)=P(A∩
C)P(C)=0,060,09=23;PC(B)=P(B∩
C)P(C)=0,030,09=13
fois plus de chance de provenir du fournisseur A que du fournisseur B.PARTIEB
On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu"on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Donc la variable aléatoireXqui donne le nombre de pommes commercialisables suit la loi binomiale de paramètresn=15 etp=1-0,09=0,91.1.La probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables est :
P(X=15)=?
15 15? 0,91150,090≈0,243
Antilles-Guyane - Corrigé2septembre 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
2.La probabilité qu"au moins 14 pommes soient commercialisables est :
P(X?14)=P(X=14)+P(X=15)=?
15 14? 0,91140,091+?
15 15? 0,91150,090≈0,3605+0,2430≈
0,604PARTIEC
Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s"aperçoit que 22
pommes sont non commercialisables. n=200?30;np=200×0,09=18?5 etn(1-p)=200(1-0,09)=182?5donc on peut déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de
pommes non commercialisables : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? ce qui donne pourp=0,09 etn=200 : I=?0,09-1,96?
0,09×0,91?200; 0,09+1,96?
0,09×0,91?200?
≈[0,050; 0,130] La fréquence de pommes non commercialisables dans l"échantillon estf=22200=0,11.
f?Idonc le résultat est conforme à ce qu"on pouvait attendre.EXERCICE25 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables.Le graphe ci-contre schématise son plan;
et les distances sont en kilomètre. ?A BC D EF G 15 21 20172030
2515 1010
PartieA
Pour faire son parcours, le cycliste décide qu"il procèderaselon l"algorithme ci-dessous : ligne 1Marquer sur le plan tous les villages comme non "visités» ligne 2Choisir un village de départ ligne 3Visiter le village et le marquer "visité» ligne 4Rouler vers le village le plus proche ligne 5Tant que le village où il arrive n"est pas un village déjà visité ligne 6|visiter le village et le marquer "visité» ligne 7|rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière ligne 8Fin Tant que ligne 9afficher la liste des villages visités1.Le graphe estconnexe, doncil y aaumoins une arête quipartden"importe quel sommet, et donc
une arête de poids minimum qui part de ce sommet.2.En partant du village G que l"on visite, on roule vers le village B (distance 10) que l"on visite, puis
vers le village A (distance 14), enfin vers le village F (distance 30). De F, on ne peut se rendre que
Antilles-Guyane - Corrigé3septembre 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
dans un village déjà visité, G ou A, donc G puisqu"on ne revient pas en arrière; comme le village
est déjà visité, on sort de la boucle "tant que». G3.La question posée revient à chercher si, en suivant cet algorithme, on peut visiter les villages C, D
et E avant le village G. La réponse est positive, il suffit de partir du village C : C4.Partir d"un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclablesune et une seule fois,
c"est chercher un cycle eulérien ou un chemin eulérien dans ce graphe.D"après le théorème d"Euler, un graphe connexe admet un chemin eulérien si et seulement s"il
possède exactement deux sommets de degrés impairs, et il possède des cycles eulériens si tous
les sommets sont de degrés pairs. sommetABCDEFG degré2424224 Dans ce graphe, tous les sommets sont de degré pair, donc il existe au moins un cycle eulérien partant de chaque sommet. Par exemple : AB - BC - CD - DB - BG - GD - DE - EG - GF - FA est un parcours partant de A et revenant à A, qui passe par les 10 pistes cyclables une et une seule fois.PartieB
1.La matriceMde transition de ce graphe est :(((((((((((A B C D E F G
A0 1 0 0 0 1 0
B1 0 1 1 0 0 1
C0 1 0 1 0 0 0
D0 1 1 0 1 0 1
E0 0 0 1 0 0 1
F1 0 0 0 0 0 1
G0 1 0 1 1 1 0)))))))))))
On met un 1 à l"intersection de la ligneiet de la colonnejs"il y a dans le graphe une arête qui
relie le sommet de la ligneiau sommet de la colonnej; sinon on met un 0.2.On donne la matriceM4:(((((((((((A B C D E F G
A10 5 9 11 4116
B5 30 12 23 18 16 16
C9 12 12 14 9 4 18
D11 23 14 28 14 11 23
E4 18 9 14 12 9 12
F1 16 4 11 9 10 5
G16 16 18 23 12 5 30)))))))))))
Le terme en gras, ligneA, colonneF(valant 1), donne le nombre de chemins contenant 4 arêtes (la puissance de la matriceM) reliant le sommetAau sommetF; ce chemin estAB-BD-DG- GF.EXERCICE34 points
Commun à tous les candidats
Un couple fait un placement au taux annuel de 2% dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son
objectif est de constituer un capital de 18000 euros. Le couple a placé le montant de 1000 euros à l"ouverture le 1 erjanvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1 erjanvier, verse 2400 euros.Antilles-Guyane - Corrigé4septembre 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
1.Les 1000 euros placés en 2010 à 2% produisent 1000×2100=20 euros d"intérêt.
Le capital au 1
erjanvier 2011 après le versement annuel est 1000+20+2400=3420 euros.2.On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d"années.
On donne ci-dessous trois algorithmes :
Variables :Variables :Variables :
Uest un nombre réelUest un nombre réelUest un nombre réel ietNsont des nombres entiersietNsont des nombres entiersietNsont des nombres entiersEntréeEntréeEntrée
Saisir une valeur pourNSaisir une valeur pourNSaisir une valeur pourN Début traitementDébut traitementDébut traitement Affecter 1000 àUPouride 1 àNfaireAffecter 1000 àUPouride 1 àNfaireAffecter 1000 àU
Affecter 1,02×U+2400 àUPouride 1 àNfaire
| Affecter 1,02×U+2400 àUAffecter 1,02×U+2400 àUAffecterN+1 àN
Fin PourFin PourFin Pour
AfficherUAfficherUAfficherU
Fin traitementFin traitementFin traitement
algorithme1 algorithme2 algorithme 3 a.PourN=5, on remplit le tableau avec les valeurs données par l"algorithme 1 : valeur deixxx12345 valeur deU100034205888,408406,1710974,2913593,78 b.La valeur affichée par l"algorithme 1 pourN=5 est 13593,78; c"est le montant du capital obtenu après versement annuel le 1 erjanvier 2010+5 soit 2015.c.• Dans l"algorithme 2, on affecte 1000 àUà l"intérieur de la boucle " pour »; l"algorithme
donnera donctoujours comme résultat 1,02×1000+2400=3420, quelle que soit la valeur deNentrée. • Dans l"algorithme 3, on modifie la valeur deNà chaque tour de boucle; cet algorithme ne s"arrêtera jamais.3.À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le
versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2%.Lasomme présente sur lecompte au1
erjanvier 2015 est 13593,78 euros,donclasomme présente sur le compte au 1 erjanvier 2016 est : 13593,78×1,02+2400≈16265,65 euros. À partir de 2016, le compte rapporte 2% et il n"y a plus de versement annuel; donc pour passer d"une année à la suivante, il faut augmenter la somme de 2% donc multiplier par 1,02. Si on appelleSnla somme présente sur le compte le 1erjanvier de l"année 2016+n, on a donc : S n+1=1,02×Sn. La suite (Sn) est donc une suite géométrique de raisonq=1,02 et de premier termeS0=16265,65; on a donc pour tout entier natureln,Sn=S0×qn=16265,65×1,02n. On cherche alors une valeur entière dentelle que 16265,65×1,02n?18000 :16265,65×1,02n?18000??1,02n?18000
16265,65
??ln(1,02n)?ln1800016265,65croissance de la fonction ln
??nln(1,02)?ln1800016265,65propriété de la fonction ln
??n?ln1800016265,65
ln(1,02)car ln(1,02)>0 Or ln1800016265,65
ln(1,02)≈5,14 donc l"objectif sera atteint pourn=6 soit au 1erjanvier 2022.Antilles-Guyane - Corrigé5septembre 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
EXERCICE46 points
Commun à tous les candidats
L"évolution de la population d"une station balnéaire pour l"été 2015 a été modélisée par une fonctionf,
définie sur l"intervalle [0; 70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.