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CALCULDIFFERENTIEL

ET

EQUATIONSDIFFERENTIELLES

LICENCEDEMATHEMATIQUESANNEES2000-2004

GeorgesCOMTE

LaboratoireJ.A.Dieudonne,

UMRCNRS6621,

UniversitedeNice-SophiaAntipolis,

28,avenuedeValrose,

06108NiceCedex2,

e-mail:comte@math.unice.fr bureau:821

I-CALCULDIFFERENTIEL

Introduction1

Chapitre0-Rappelsd'algebremultilineaire4

0.1-Continuiteetalgebremultilineaire4

0.2-Notiondegraphe6

Chapitre1-Applicationsdierentiables8

1.2-Dierentielleenunpointetsurunouvert10

1.3-Deriveespartielles11

1.4-Dierentiellesd'ordressuperieurs12

ExercicesduChapitre114

CorrigedesexercicesduChapitre115

Chapitre2-Calculssurlesdierentielles22

2.1-Theoremedesapplicationscomposees22

2.2-Structured'espacevectoriel23

2.4-Theoremedelamoyenne25

2.4-TheoremesCk29

ExercicesduChapitre234

CorrigedesexercicesduChapitre236

3.2-

EtudedeIsom(E;E)auvoisinagedeIdE48

3.3-

EtudedeIsom(E;F)49

3.4-Dieomorphismes50

EduChapitre351

CorrigedesexercicesduChapitre351

4.1-Rappelssurlaconvergenceuniforme54

4.2-Suitesdefonctionsdierentiables55

4.3-FormulesdeTaylor59

4.3.1-FormuledeTaylor-Young59

4.3.2-FormuledeTayloravecresteintegral60

4.4-Pointscritiquesetextrema63

ExercicesduChapitre466

CorrigedesexercicesduChapitre468

5.1-Dierentiellespartielles76

5.3-Letheoremedelafonctionimplicite79

ExercicesduChapitre592

CorrigesdesexercicesduChapitre593

References112

II-EQUATIONSDIFFERENTIELLES

6.2-Solutionsmaximales102

6.4-LeproblemedeCauchy104

6.8-Retoursurl'equation()108

ExercicesduChapitre6109

CorrigedesexercicesduChapitre6109

References112

III-EXAMENSETPARTIELS

Testscorrigesi

Enoncesannee2000-2001iii

Enoncesannee2001-2002vii

Enoncesannee2002-2003xi

Enoncesannee2003-2004xix

Corrigesannee2000-2001xxvi

Corrigesannee2001-2002xxxii

Corrigesannee2002-2003xxxvii

Corrigesannee2002-2003xliv

I-CalculDierentiel

Introduction

traitedanslecoursdevariablecomplexe.) xa,admetunelimitelorsquextendversadans (xa)[f(x)f(a)f0(a)(xa)]2Rtendevers droiteaupoint(a;f(a)). f(x) f(a)+f'(a)(x-a) f(a)d x=|(x-a)ea(x)| ax |x-a| tenndversassilerapportu1=u2tendvers0ena.

2Introduction

ouC).Soit a2

Denition.Onditquel'applicationf:

!Festderivableenassilafonction nfag3a!1 !Fdelimitenulleena,telsque: 8x2 ;f(x)f(a)=(xa):~f0(a)+jxaj:pa(x):() D {0}xF{x}xF (a,f(a)) d x G (a,0 )

F(x,0 )FKx{0 }F

|x-a| lineaireLa:E!F,uneapplicationpa: 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakE:pa(xa):"

Introduction3

l'applicationlineaireLasoitcontinue.

0.1-Continuiteetalgebremultilineaire.

unouvertdeE,a2 etf: l'onsedonnesurEetF. L a j:Ej!F h7!La j(h)=L(a1;:::;aj1;h;aj+1:::;an) estlineaire.

2-lineaire(onditbilineaire)surR.

L:EE!RdenieparL(~u;~v)=P1

k(x1;;xn)k1=Pn ikxikEietk(x1;;xn)k2=v u u t nX i=1kxik2

Ei.Danslecasoun=2etE1=E2=R,

pluslipschitzienne. j=0uj:vjdel'exempleci-dessus lasuite(desuites!)(~un=(1 max j=0;:::;1j(~un)jj=1 j=01pn1pn= jouepas). continuedel'exercice2. t.3.(y))

Lesproprietesquisuiventsontequivalentes:

i-LestcontinuesurE1:::En. ii-Lestcontinueseulementen(0E1;:::;0En). kL(x1;:::;xn)k:kx1k:::kxnk: kLk=sup kx1k:::kxnk

Noterqueparmultilineairite:

kLk=sup kx1k:::kxnk kL(x1;:::;xn)kFkLk:kx1kE1:::kxnkEn: (proprietevdutheoreme0:1)) m^emes.

0.2-Graphed'uneapplication.

f=f(a;f(a))2AB;a2Ag. y=z=f(x)(xn'aqu'neseuleimageparf).

8Chapitre1-Applicationsdierentiables.

Chapitre1-Applicationsdierentiables

Eun ouvertdeE,a2 etf: !Funeapplication. =fx2Etelqu'ilexistet2Rveriantx=a+t~hg: deE. unitaires (a;~h):K3t!a+t:~h2(a;~h) e f(a;~h):K3t' (a;~h)!a+t:~h2(a;~h)f!f(a+t:~h)2F (a;~h)de e au-dessusde(a;~h)\

Chapitre1-Applicationsdierentiables.9

Epassantpara)dugraphedef.

P(a,h)

G D g (a,h) (a,h) a+haz suivanttouteslesdirections~h. x,six6=0et (t)=(t3;t)2R2 estcontinueent=0et (0)=(0;0).Doncsifetaitcontinueen(0;0),f seraitcontinueen0.Mais (f )(t)=1et(f )(0)=0:limt!0(f )(t)6=(f )(0)etfn'estpascontinueen(0;0).X f:R2!R (x;y)7!f(x;y)=xy2 x4+y4si(x;y)6=(0;0);etf(0;0)=0 g:R2!R (x;y)7!k(x;y)k2siy=x2;etf(0;0)=0sinon.

10Chapitre1-Applicationsdierentiables.

1.2-Dierentielleenunpointetsurunouvert.

applicationlineaire. !Fdelimitenulleenatellesque: 8x2 ;f(x)f(a)=La(xa)+kxakpa(x):

Onditquefestdierentiablesur

ssifestdierentiableentoutpointde nfagpar1 unedierentielledefenassilerapport1

Exercice9).X

j2Nx j,lasuiteXp=(1 pp;:::;1pp;0;:::)(pfois) estf(x;f(x));x2

Etoutentieretnonpasseulementsur

,commel'estf.X lui-m^eme)

Chapitre1-Applicationsdierentiables.11

entouslespointsdeE.2 a+t:~h2 ,puisque estunouvertdeE,etnouspouvonsalorsecrire: L a(~h)=D~hf(a).D'oulaproposition: l'egalite:

Df(a)(~h)=D~hf(a)(1):X

Preuve.Pourtoutx2

estcontinueen0,onabienlimx!af(x)=f(a).2 directions

Prop.1.3+6*

festcontinueenaquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16