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15 avril 2013 Correction

La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

EXERCICE15points

Une entreprise de textile emploie 300 personnes dans le secteur confection. Il est composé de trois ateliers.

L"atelier destylisme est constitué de 50 personnes. L"atelier de découpe est constitué de 100 personnes. Le reste dupersonnel travailledans l"atelier

de couture.

Après une étude sur l"absentéisme, le directeur des ressources humaines a constaté que sur une année :

30% des stylistes ont eu au moins une absence; 15% du personnel de découpe ont eu au moins une absence; 90% du personnel de l"atelier de couture n"ont pas eu d"absence.

On choisit une personne au hasard dans cette entreprise et l"on admet que chaque personne a la même probabilitéd"être choisie.

On note :

Sl"événement : "la personne choisie travaille à l"atelier destylisme»; Dl"événement : "la personne choisie travaille à l"atelier dedécoupe»; Cl"événement :"la personne choisie travaille à l"atelier decouture»; Al"événement :"la personne choisie a eu au moins une absence».

SiMetNsont deux événements, on note

Ml"événement contraire de l"événementMetpN(M) la probabilitéde l"événementMsachantN.

1.L"univers estl"ensemble dupersonnel del"entreprise. Laloi estl"équiprobabilité. Laprobabilitéd"unévénement

A estp(A)=nombre d"éléments de A

nombre d"éléments de l"univers a.Traduisons les données du texte en probabilité :p(S)=50

300=16car l"atelier de stylisme est constitué de 50 personnes et l"entreprise emploie 300 per-

sonnes.

p(D)=100

300=13car l"atelier de découpe est constitué de 100 personnes.

p(C)=1-(1

6+13)=12car le reste du personnel travaille dans l"atelier de couture.

b.pS(A)=0,30 car 30% des stylistes ont eu au moins une absence; pD(A)=0,15 car 15% du personnel de découpe ont eu au moins une absence;

pC?

A? =0,90 car 90% du personnel de l"atelier de couture n"ont pas eud"absence.

2.Construisons un arbre pondéré décrivant la situation.

S 1 6A 0,30 A0,70 D 1 3A 0,15 A0,85 C1 2 A 0,1 A0,9

3.Calculons la probabilité de l"événementS∩A, notéep(S∩A).

p(S∩A)=p(S)×pS(A)=1

6×0,30=0,05.

4.Calculonsp(A).

3×0,15+12×0,1=0,05+0,05+0,05=0,15.

5.On sait que la personne choisie a eu au moins une absence cetteannée. La probabilité que cette personne soit

un styliste est notéepA(S). p

A(S)=p(A∩S

p(A)=0,050,15=13.

Mercatique, comptabilité et finance d"entreprisegestion des systèmes d"informationA. P. M. E. P.

EXERCICE25points

Le tableau ci-dessous retrace l"évolution sur vingt ans du record du monde du 100m en athlétisme chez les hommes.

AnnéeRang de l"année?xi?Temps en seconde?yi?

Carl Lewis198809,92

Carl Lewis199139,86

Leroy Burrell199469,85

Donovan Bailey199689,84

Maurice Greene1999119,79

Asafa Powell2005179,77

Asafa Powell2007199,74

Usain Bolt2008209,69

1. a.Calculonsletauxd"évolution dutempsdurecorddumondedu100m enathlétisme chezleshommes entre

1988 et 2008. Le taux est défini par

valeur finale-valeur initiale valeur initiale.T=9,69-9,929,92≈-0,0232. Entre 1988 et 2008, le temps du record du monde mis pour courirle 100m a baissé de 2,32%.

b.Sur les 20 années de 1988 à 2008, montrons que le temps du record du monde à l"épreuve du 100m en

athlétisme chez les hommes a baissé chaque année en moyenne de 0,117%.

Entre 1988 et 2008, le temps du record a subi 20 évolutions au taux moyen annueltm, le coefficient multi-

plicateur associé est donc (1+tm)20d"une part et de 1-0,0232=0,9768 d"autre part.

Par conséquent,tm=(0,9768)1

20-1≈-0,00117 soit environ 0,117 %.

2.Une représentation du nuage de points associé à la série statistique à deux variables?xi;yi?est donnée dans

un repère orthogonal en annexe.

a.À l"aide de la calculatrice, une équation de la droite,Δ, d"ajustement deyenxde la série?xi;yi?obtenue

par la méthode des moindres carrés esty=-0,0095x+9,9075. Les coefficients sont donnés à 10-4près.

Pour la suite de l"étude, on retient comme ajustement affine la droiteΔd"équationy=-0,01x+9,91.

b.La droiteΔest tracée dans le repère figurant en annexe. c.Enutilisant cemodèled"ajustement, nouspouvons estimer lerecorddumonde du100m chezleshommes

en 2009 à 9,7s. En effet en 2009x=21 et en remplaçantxpar cette valeur dans l"équation deΔnous

obtenons y=9,7.

d.En août 2009, Usain Bolt a battu son propre record en courant le 100m en 9,58s. Calculons le pourcentage

d"erreur commise lors de l"ajustement par rapport au temps réel du record.

9,7-9,58

9,58≈0,0125. L"estimation était de 1,25 % plus élevée.

Le modèle est peu approprié à une compétition sportive. Le taux d"évolution ne peut être toujours iden-

tique.

Annexeà l"exercice2

99,19,29,39,49,59,69,79,89,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Pondichéry correction215 avril 2013

Mercatique, comptabilité et finance d"entreprisegestion des systèmes d"informationA. P. M. E. P.

EXERCICE36points

Soientfetgdeuxfonctions définies sur l"intervalle [1; 8]. Les courbesCfetCg,représentant les fonctionsfetg,sont

données dans le repère ci-dessous.

Une entreprise vend sur le marché un article.

On rappelle que l"offre est la quantité d"articles que l"entreprise désire vendre sur le marché en fonction du prix et la

demande est la quantité d"articles que les consommateurs veulent et peuvent acheter en fonction du prix.

Après une étude de marché, l"entreprise a modélisé l"offre par la fonctionfet la demande par la fonctiong: le prix

unitairexde l"article étant exprimé en euros, le nombre d"articles offerts en milliers est égal àf(x) et le nombre

d"articles demandés en milliers est égal àg(x), avecx?[1 ; 8].

Partie A : lecturesgraphiques

1.Le nombre d"articles qui seraient demandés lorsque le prix unitaire est fixé à 2?estg(2). Nous lisons 150. Au

prix de deux euros, il serait demandé 150000 articles.

2.Le nombre d"articles que peut offrir l"entreprise lorsque le prix unitaire est fixé à 5?estf(5). Nous lisons 200.

Au prix de cinq euros, il serait offert 200000 articles.

Danscecas, l"entreprise ne peut pasespérer vendretous lesarticles qu"elle aurafabriqués car lademande serait

d"environ 20000 articles, demande très inférieure à l"offre.

3.Le prix d"équilibre de l"article c"est-à-dire la valeur dexpour laquellef(x)=g(x) est d"environ 3,15?.

100200300400500600700800900100011001200

1 2 3 4 5 6 7 8Cf

Cg 150
≈3,15

Partie B :

La fonctionfest définie sur l"intervalle [1; 8] par : f(x)=10e0,6x.

1.On admet que la fonctionfest dérivable sur l"intervalle [1; 8] et on notef?sa fonction dérivée.

f ?(x)=10×0,6e0,6x.

2.Étudions le signe def?(x) sur l"intervalle [1; 8].

Pour toutx?[1 ; 8],f?(x)>0 comme produit de nombres réels strictement positifs

3.Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI.

Pour toutx?[1 ; 8],f?(x)>0 par conséquentfest strictement croissante sur cet intervalle.

Pondichéry correction315 avril 2013

Mercatique, comptabilité et finance d"entreprisegestion des systèmes d"informationA. P. M. E. P.

Partie C :

On se propose de déterminer, à l"aide d"un tableur, le prix d"équilibre.

Ci-dessous, un extrait d"une feuille de calcul, donne les valeurs def(x), celles deg(x) et celles deg(x)-f(x), pourx

variant de 3,05 à 3,20 au pas de 0,01.

Avec cetableur, lafonction exponentielle se note EXP()et pour les colonnes B, Cet D le formatd"affichage numérique

est à trois décimales.

1.Une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d"obtenir la plage de cellules B2 : B17

est = 10*EXP(0,6*x).

2.Une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d"obtenir la plage de cellules D2 : D17

est = C2-B2 ou = $C2-$B2

3.Leprixd"équilibre(arrondiaucentime d"euro)estcomprisentre3,14 et3,15?. Eneffet, pour 3,14g(x)-f(x)>0

et pour 3,15g(x)-f(x)<0 ABCD

1xf(x)g(x)g(x)-f(x)

23,0562,33970,9478,608

33,0662,71470,4527,738

43,0763,09169,9606,869

53,0863,47169,4726,001

63,0963,85368,9885,135

73,1064,23768,5074,269

83,1164,62468,0293,405

93,1265,01367,5542,541

103,1365,40467,0831,679

113,1465,79866,6150,817

123,1566,19466,150-0,043

133,1666,59265,689-0,903

143,1766,99365,231-1,762

153,1867,39664,776-2,620

163,1967,80264,324-3,478

173,2068,21063,875-4,334

EXERCICE44points

Cet exercice est un test vrai/faux.

Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune

justification n"est demandée.

Une réponse juste rapporte1point; une réponse fausse enlève0,5point; l"absence de réponse ne rapporteni n"enlève de

point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l"exercice est ramenée à0.

Un restaurateur décide de créer une terrasse afin d"accueillir davantage de clients pendant la saison estivale. Il a donc

besoin de mobilier de jardin. Il prévoit deux modèles, l"un noir et l"autre blanc.

Pour un modèle noir, le lot d"une valeur de 1600?comprend une table, deux chaises et deux fauteuils.

Pour un modèle blanc, le lot d"une valeur de 2400?comprend une table, six chaises et un fauteuil. Le projet du

restaurateur est de disposer d"au moins 42 chaises et 15 fauteuils. Soientxle nombre de lots noirs etyle nombre de lots blancs achetés par le restaurateur.

La partie non hachurée du graphique ci-dessous représente l"ensemble des pointsMdont les coordonnées entières

(x;y) sont solutions du système des contraintes de ce problème. en résumant les données du problème nous avons tablechaisesfauteuilsvaleur noirx1221600 blancy1612400 minimum4215 Proposition1:La contrainte liée au nombre de chaises peut se traduire par :x+3y?21. Vraie Proposition2:La droiteD1admet pour équation réduite :y=-1

2x+15.Fausse.

l"équation deD1esty=-2x+15.

Proposition3:Encommandant 4lots dumodèle noir et7 lotsdumodèle blanctoutes les contraintes sont respectées.

Vraie

Proposition 4 :En respectant toutes les contraintes, le minimum d"argent dépensé lors de la commande du mobilier

sera de 21600?.Vraie

Pondichéry correction415 avril 2013

Mercatique, comptabilité et finance d"entreprisegestion des systèmes d"informationA. P. M. E. P.

12345678910111213141516

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

xy D1 D 2 0? ?proposition3 coût 21600?

Pondichéry correction515 avril 2013

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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15 avril 2013 Correction

EXERCICE15points

On note :

SiMetNsont deux événements, on note

1.L"univers estl"ensemble dupersonnel del"entreprise. Laloi estl"équiprobabilité. Laprobabilitéd"unévénement

A estp(A)=nombre d"éléments de A

300=16car l"atelier de stylisme est constitué de 50 personnes et l"entreprise emploie 300 per-

p(D)=100

300=13car l"atelier de découpe est constitué de 100 personnes.

p(C)=1-(1

6+13)=12car le reste du personnel travaille dans l"atelier de couture.

pC?

2.Construisons un arbre pondéré décrivant la situation.

3.Calculons la probabilité de l"événementS∩A, notéep(S∩A).

6×0,30=0,05.

4.Calculonsp(A).

3×0,15+12×0,1=0,05+0,05+0,05=0,15.

5.On sait que la personne choisie a eu au moins une absence cetteannée. La probabilité que cette personne soit

A(S)=p(A∩S

EXERCICE25points

Carl Lewis198809,92

Carl Lewis199139,86

Leroy Burrell199469,85

Donovan Bailey199689,84

Maurice Greene1999119,79

Asafa Powell2005179,77

Asafa Powell2007199,74

Usain Bolt2008209,69

1. a.Calculonsletauxd"évolution dutempsdurecorddumondedu100m enathlétisme chezleshommes entre

1988 et 2008. Le taux est défini par

Par conséquent,tm=(0,9768)1

20-1≈-0,00117 soit environ 0,117 %.

2.Une représentation du nuage de points associé à la série statistique à deux variables?xi;yi?est donnée dans

9,7-9,58

9,58≈0,0125. L"estimation était de 1,25 % plus élevée.

Annexeà l"exercice2

99,19,29,39,49,59,69,79,89,9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Pondichéry correction215 avril 2013

EXERCICE36points

Une entreprise vend sur le marché un article.

Partie A : lecturesgraphiques

1.Le nombre d"articles qui seraient demandés lorsque le prix unitaire est fixé à 2?estg(2). Nous lisons 150. Au

2.Le nombre d"articles que peut offrir l"entreprise lorsque le prix unitaire est fixé à 5?estf(5). Nous lisons 200.

3.Le prix d"équilibre de l"article c"est-à-dire la valeur dexpour laquellef(x)=g(x) est d"environ 3,15?.

100200300400500600700800900100011001200

1 2 3 4 5 6 7 8Cf

Partie B :

1.On admet que la fonctionfest dérivable sur l"intervalle [1; 8] et on notef?sa fonction dérivée.

2.Étudions le signe def?(x) sur l"intervalle [1; 8].

3.Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI.

Pondichéry correction315 avril 2013

Partie C :

1.Une formule qui, entrée dans la cellule B2, permet par recopie vers le bas d"obtenir la plage de cellules B2 : B17

2.Une formule qui, entrée dans la cellule D2, permet par recopie vers le bas d"obtenir la plage de cellules D2 : D17

3.Leprixd"équilibre(arrondiaucentime d"euro)estcomprisentre3,14 et3,15?. Eneffet, pour 3,14g(x)-f(x)>0

1xf(x)g(x)g(x)-f(x)

23,0562,33970,9478,608

33,0662,71470,4527,738

43,0763,09169,9606,869

53,0863,47169,4726,001

63,0963,85368,9885,135

73,1064,23768,5074,269

83,1164,62468,0293,405

93,1265,01367,5542,541

103,1365,40467,0831,679

113,1465,79866,6150,817

123,1566,19466,150-0,043

133,1666,59265,689-0,903

143,1766,99365,231-1,762

153,1867,39664,776-2,620

163,1967,80264,324-3,478

173,2068,21063,875-4,334

EXERCICE44points

Cet exercice est un test vrai/faux.

2x+15.Fausse.

Pondichéry correction415 avril 2013

12345678910111213141516

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

p(D)=100

p(C)=1-(1

pC?