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probabilité est la même sur la tranche de 0 à 0,2 m, c'est-à-dire sur les 20 premiers simuler avec Excel à partir de la fonction ALEA (voir dans le manuel la fiche « Fonction Ces définitions étant posées, construisons l'arbre des probabilités

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colorée) équivaut à poser une loi de probabilité « uniforme » sur la variable X 1 2 La fonction ALEA On peut simuler l'expérience avec Excel grâce à la fonction  

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duire de cette définition qu'une probabilité doit être entre 0 et 1 et que la probabilité d'un événement est elle est dite continue (exemples : hauteur d'un arbre, distance de freinage d'une voiture roulant `a (ex : excel, matlab, R) La courbe 

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La raison de ce choix est qu'Excel est très largement disponible, mais aussi de probabilité), il est possible de faire une analyse un peu plus Un arbre de décisions est un outil d'aide à la décision qui permet de résoudre des problè-

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7 Lois de probabilité Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous la forme d'une d'utiliser un logiciel comme EXCEL Un exploitant forestier explore 10 ha par jour à la recherche de cet arbre et son exploita-

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de l'expérience aléatoire a) Représenter cette répétition à l'aide d'un arbre b ) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire S i s ( )i P S s = c) Calculer (voir le fichier excel mis en ligne en annexe) 2°) Modélisation de 

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1. Schema de Bernoulli et loi binomiale

2. Echantillonnage : cas d'une proportion

3. Intervalles de

uctuation et de conance pour une proportion ReferencesMathematiques : statistiques et simulation

Stephane Ducay

Universite de Picardie - LAMFA CNRS UMR 6140

PAF Amiens - Formation Enseignement des Mathematiques -

28 janvier 2011

Stephane DucayMathematiques : statistiques et simulation

1. Schema de Bernoulli et loi binomiale

2. Echantillonnage : cas d'une proportion

3. Intervalles de

uctuation et de conance pour une proportion References1.1. Loi binomiale et coecients binomiaux

1.2. Coecients binomiaux

1.3. Loi de Bernoulli et simulation

1.4. Loi binomiale et simulationLa repetition denexperiences identiques et independantes a deux

ou trois issues peut ^etre representee par un arbre pondere. La probabilite d'une liste de resultats (un chemin sur l'arbre) est egale

au produit des probabilites de chaque resultat.1) On peut commencer par l'exemple de 3 lancers d'une piece

equilibree. Il y a 2

3= 8 chemins possibles, chaque chemin ayant

pour probabilite 12 12 12 =12 3 =18 .On peut faire remarquer la coherence avec l'equiprobabilite "naturelle"Psur l'univers =fresultats de l'experience aleatoireg=fcheminsg. L'ensemble peut ^etre decrit completement, et on peut faire le lien entre chaque element de l'ensemble et le chemin correspondant. Stephane DucayMathematiques : statistiques et simulation

1. Schema de Bernoulli et loi binomiale

2. Echantillonnage : cas d'une proportion

3. Intervalles de

uctuation et de conance pour une proportion References1.1. Loi binomiale et coecients binomiaux

1.2. Coecients binomiaux

1.3. Loi de Bernoulli et simulation

1.4. Loi binomiale et simulationLa repetition denexperiences identiques et independantes a deux

ou trois issues peut ^etre representee par un arbre pondere. La probabilite d'une liste de resultats (un chemin sur l'arbre) est egale

au produit des probabilites de chaque resultat.1) On peut commencer par l'exemple de 3 lancers d'une piece

equilibree. Il y a 2

3= 8 chemins possibles, chaque chemin ayant

pour probabilite 12 12 12 =12 3 =18 .On peut faire remarquer la coherence avec l'equiprobabilite "naturelle"Psur l'univers =fresultats de l'experience aleatoireg=fcheminsg. L'ensemble peut ^etre decrit completement, et on peut faire le lien entre chaque element de l'ensemble et le chemin correspondant. Stephane DucayMathematiques : statistiques et simulation

1. Schema de Bernoulli et loi binomiale

2. Echantillonnage : cas d'une proportion

3. Intervalles de

uctuation et de conance pour une proportion References1.1. Loi binomiale et coecients binomiaux

1.2. Coecients binomiaux

1.3. Loi de Bernoulli et simulation

1.4. Loi binomiale et simulationLa repetition denexperiences identiques et independantes a deux

ou trois issues peut ^etre representee par un arbre pondere. La probabilite d'une liste de resultats (un chemin sur l'arbre) est egale

au produit des probabilites de chaque resultat.1) On peut commencer par l'exemple de 3 lancers d'une piece

equilibree. Il y a 2

3= 8 chemins possibles, chaque chemin ayant

pour probabilite 12 12 12 =12 3 =18 .On peut faire remarquer la coherence avec l'equiprobabilite "naturelle"Psur l'univers =fresultats de l'experience aleatoireg=fcheminsg. L'ensemble peut ^etre decrit completement, et on peut faire le lien entre chaque element de l'ensemble et le chemin correspondant. Stephane DucayMathematiques : statistiques et simulation

1. Schema de Bernoulli et loi binomiale

2. Echantillonnage : cas d'une proportion

3. Intervalles de

uctuation et de conance pour une proportion References1.1. Loi binomiale et coecients binomiaux

1.2. Coecients binomiaux

1.3. Loi de Bernoulli et simulation

1.4. Loi binomiale et simulationOn peut alors s'interesser a la probabilite de l'evenement

A k: "obtenirkfois Pile en 3 lancers", pourk= 0;1;2;3. La probabilite de l'evenementAketant egale a la somme des probabilites des evenements elementaires qui le constituent, on l'obtiendra en additionnant les probabilites de tous les chemins realisantkPile en 3 lancers. Comme tous les chemins ont la m^eme probabilite18 , on auraP(Ak) =18 nombre de chemins realisant k"Pile" en 3 lancers. Designant par3 k ce nombre, on aura

P(Ak) =3

k 18 =3 k 12 3 .Sur cet exemple, on peut compter les chemins et obtenir 3 0 = 1 ,3 1 = 3 ,3 2 = 3 et3 3 = 1. Stephane DucayMathematiques : statistiques et simulation

1. Schema de Bernoulli et loi binomiale

2. Echantillonnage : cas d'une proportion

3. Intervalles de

uctuation et de conance pour une proportion References1.1. Loi binomiale et coecients binomiaux

1.2. Coecients binomiaux

1.3. Loi de Bernoulli et simulation

1.4. Loi binomiale et simulationOn peut alors s'interesser a la probabilite de l'evenement

A k: "obtenirkfois Pile en 3 lancers", pourk= 0;1;2;3. La probabilite de l'evenementAketant egale a la somme des probabilites des evenements elementaires qui le constituent, on l'obtiendra en additionnant les probabilites de tous les chemins realisantkPile en 3 lancers. Comme tous les chemins ont la m^eme probabilite18 , on auraP(Ak) =18 nombre de chemins realisant k"Pile" en 3 lancers. Designant par3 k ce nombre, on aura

P(Ak) =3

k 18 =3 k 12 3 .Sur cet exemple, on peut compter les chemins et obtenir 3 0 = 1 ,3 1 = 3 ,3 2 = 3 et3 3 = 1. Stephane DucayMathematiques : statistiques et simulation

1. Schema de Bernoulli et loi binomiale

2. Echantillonnage : cas d'une proportion

3. Intervalles de

uctuation et de conance pour une proportion References1.1. Loi binomiale et coecients binomiaux

1.2. Coecients binomiaux

1.3. Loi de Bernoulli et simulation

1.4. Loi binomiale et simulation2) On peut ensuite modier cette situation en prenant une piece

truquee donnant Pile avec une probabilite14quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7