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Montrer que la somme des cubes de trois entiers consécutifs est divisible par 9.

Analyse

Trois entiers consécutifs peuvent être simplement notés : 1n, n et 1n ...

Résolution

Comme précis ci-dessus, les trois entiers consécutifs peuvent être notés :

1n, n et 1n.

La somme S de leurs cubes vaut alors :

333
32
11

3Sn n n

nn 31n
33 2

3nn n31n

3 2 36
32
nn nn On en déduit immédiatement que S est divisible par 3.

On s'intéresse donc au produit

2 2nn.

Si 03n alors

22nn est divisible par 3 et S est divisible par 9.

Si 13n alors

13n, c'est-à-dire

13n puis

2233n, soit

203n. On en déduit que le produit

2nn est divisible par 3 et que S est

divisible par 9.

Si 23n alors

23n, c'est-à-dire

43n, soit

13n. On est ainsi

ramené à la situation précédente et S est encore divisible par 9.

Dans tous les cas, S est bien divisible par 9.

Résultat final

La somme des cubes de trois entiers consécutifs est divisible par 9.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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