[PDF] [PDF] Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes

[PDF] la somme du produit de 12 par 3 et de 5 b

a) Parmi les expressions suivantes, lesquelles donnent le nombre de pages d' exercices du livre de Cassandre ? 1) 8 × 8 + (14 – 9) × 6 + 10 2) 14 × 9 × 5 + 10

[PDF] Cinquième - Chapitre 2 - Séance 05

Exercice 14 : Chacune des expressions suivantes est-elle une somme, une différence, un produit ou un quotient ? a (10 – 3) 

[PDF] 2 7 termes somme différence termes produit facteurs dénominateur

Règle : Dans une expression, on effectue dans l'ordre : • les calculs entre parenthèses en commençant par les plus intérieures, • les multiplications et les 

[PDF] exercices de mathématiques en cinquième Correction - Mathovore

· N est le produit de la somme de 15 et 7 par la différence de 17 et 5 Correction de l'exercice : Exercice : Traduis chaque phrase par un calcul : · F est 

[PDF] Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes

27 fév 2017 · Les symboles somme et produit j, k, etc à exception des bornes de la somme, ici p et n : n C k + 1 les parenthèses font toute la différence

[PDF] Modèle mathématique Ne pas hésiter à consulter le fichier daide

18 – 4 est une différence 1- Traduire la phrase suivante par une suite d' opérations : la différence de 15 et Le produit de la somme de 3 et 5 et du quart de 6 

[PDF] 5OP02 – LE VOCABULAIRE ET LES OPERATIONS - PYSA - Free

EXERCICE 02 Le nom (somme, différence, produit, quotient) d'une expression est donné par la dernière opération à effectuer quand on respecte les priorités

[PDF] La sonde spatial Rosetta et le robot Philae

[PDF] la sorciere de la rue Mouffetard

[PDF] la sorcière de la rue mouffetard et autres contes de la rue broca pdf

[PDF] la sorcière du placard aux balais exploitation pédagogique

[PDF] la sorcière du placard aux balais pdf

[PDF] la sorcière du placard aux balais questions

[PDF] la sorcière du placard aux balais texte

[PDF] La soupe magique

[PDF] La soupe magique 2

[PDF] La soupe magique 3

[PDF] la souris (animal)

[PDF] la souris d'ordinateur

[PDF] la sous-traitance dans le transport routier de marchandises

[PDF] la spécialité écologie agronomie et territoires du bac général série s

[PDF] la specificité de l'anticorp pour l'antigène

DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 15:46

Les symboles somme et produit

Table des matières

1 Le symbole sommeΣ2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Linéarité et changement d"indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Sommes télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Sommes à connaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Sommes doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Le symbole produitΠ9

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Relation produit - somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Produits télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. LE SYMBOLE SOMMEΣ

1 Le symbole sommeΣ

1.1 Définition

Définition 1 :Soit(ai)une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux entiers naturelsnetptels quep?n, on définit la somme suivante par : n∑ k=pa k=ap+ap+1+···+an Soit I un sous-ensemble fini deN, la somme de tous les termesai,idécrivant I sera notée∑ i?Ia i

Remarque :

•La variablekest une variable muette, c"est à dire qu"une fois la somme calculée, le résultat ne dépend plus dek. On peut donc lui donner le nom qu"on veut :i, j,k, etc. à exception des bornes de la somme, icipetn:n∑ k=pa k=n∑ i=pa i=n∑ j=pa j

•On retrouve cette variable muette, lorsque l"on veut calculer une somme àl"aide d"un algorithme. (boucle Pour)

•Lorsque les termes de la somme ne dépendent pas de la variable, on somme des termes constants donc : n∑ k=03=3+3···+3? n+1 termes=3(n+1)

•Si I={2;4;6}alors∑

i?Ia i=a2+a4+a6.

Exemples :

•1+2+···+n=n∑

k=1k.

•1+2+22+···+2n=n∑

k=02k. •1 n+1+1n+2+···+12n=n∑ k=11n+k.

•1+3+5+···+(2n-1) =n∑

k=1(2k-1). ?Ne pas confondre : n∑ k=1(k+1) =n∑ k=1k+navecn∑ k=1k+1 les parenthèses font toute la différence. n∑ k=022k(n+1 termes) et2n∑ k=02k(2n+1 termes) Propriété 1 :Relation de Chasles et linéarité :

Relation de Chasles :

n∑ k=pa k= m∑ k=pa k+n∑ k= m+1 ak

L"opérateur somme est linéaire :

n∑ k=p(αak+βbk) =αn∑ k=pa k+βn∑ k=pb k.

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1. LE SYMBOLE SOMMEΣ

Exemple :n∑

k=0a k=

2∑

k=0a k+n∑ k= 3 aketn∑ k=0(3k+4k) =n∑ k=03k+4n∑ k=0k

1.2 Linéarité et changement d"indice

Propriété 2 :Changement d"indice.

L"expression à l"aide du symbole

∑n"est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices différents. Les changements d"indicesk→k+p(translation)k→p-k(symétrie) sont les plus fréquents :n∑ k=1a k=n+p k=p+1a k-p=p-1 k=p-na p-k

Exemples :Calculer la somme :Sn=n∑

k=1?

1k-1k+1?

•On utilise la linéarité :Sn=n∑

k=11k-n∑ k=11k+1 •On effectue un changement d"indice sur la deuxième somme :k→k+1 : S n=n∑ k=11 k-n+1∑ k=21k. k=21k-n∑ k=21k-k=n+1? ???1 n+1=1-1n+1

Pourn?2, on considère la sommeSn=n+1∑

k=2k22k-1. Faire une translation d"indice pour que la nouvelle variable varieentre 0 et(n-1) et une symétrie d"indice pour que la nouvelle variable varie entre 2et(n+1). •Pour la translation, il suffit de faire :k→k-2, on a alors : S n=n-1∑ k=0(k+2)22(k+2)-1=n-1∑ k=0(k+2)22k+3 •Pour la symétrie, il faut déterminer le milieu :2+ (n+1)2=n+32. On effectue alors la symétriek→n+3-k, on a alors : S n=n+1∑ k=2(n+3-k)22(n+3-k)-1=n+1∑ k=2(n+3-k)22n+5-2k

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

1. LE SYMBOLE SOMMEΣ

1.3 Sommes télescopiques

Théorème 1 :Sommes télescopiques

Soit une suite(an)une suite de nombres réels ou complexes, on a : ?n,p?N,p?n,n∑ k=p(ak+1-ak) =an+1-ap

Remarque :n∑

k=0(ak+1-ak) =an+1-a0etn∑ k=0(bk-bk+1) =b0-bn+1

Démonstration :On pose :Sn=n∑

k=p(ak+1-ak)

•On utilise la linéarité :Sn=n∑

k=pa k+1-n∑ k=pa k •On effectue un changement d"indice sur la première somme :k→k+1 S n=n+1∑ k=p+1a k-n∑ k=pa k •On sépare les termes différents :Sn=an+1+n∑ k=p+1a k-n∑ k=p+1a k-ap=an+1-ap Exemples :Lessommestélescopiquessontuneméthodetrèsefficacepourcalcu- ler la somme des termes d"une suite(un). Il s"agit de trouver une suite(vn)pour queun=vn+1-vn. Ce n"est bien sûr pas toujours possible malheureusement.

Calculer les sommes suivantes :

•Sn=n∑

k=11k(k+1): on décompose1k(k+1)en1k-1k+1 S n=n∑ k=11 k(k+1)=n∑ k=1?

1k-1k+1?

=1-1n+1.

•Rn=n∑

k=1k×k! : on décomposek×k! en(k+1)k!-k!= (k+1)!-k! R n=n∑ k=1k×k!=n∑ k=1[ (k+1)!-k!]= (n+1)!-1

•Tn=n∑

k=11k(k+1)(k+2) a k(k+1)-a(k+1)(k+2)=a(k+2)-akk(k+1)(k+2)=2ak(k+1)(k+2), on aa=12 T n=n∑ k=11 k(k+1)(k+2)=12n∑ k=1?

1k(k+1)-1(k+1)(k+2)?

1 2?

12-1(n+1)(n+2)?

n(n+3)

4(n+1)(n+2)

PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR

1. LE SYMBOLE SOMMEΣ

1.4 Sommes à connaître

Théorème 2 :Somme des entiers, des carrés, des cubes Pour tout entier naturelnnon nul, on a les relations suivantes :

•S1(n) =n∑

k=1k=1+2+···+n=n(n+1)2

•S2(n) =n∑

k=1k2=1+4+···+n2=n(n+1)(2n+1)6

•S3(n) =n∑

k=1k3=1+8+···+n3=n2(n+1)24 Démonstration :La première formule a été démontré en première en ordon- nant la somme dans l"ordre croissant puis dans l"ordre décroissant. Les deux der- nières formules ont été démontré en terminale par récurrence. Mais les démons- trations directes sont possibles à l"aide de sommes télescopiques. On pourrait généraliser ces démonstration aux somme des puissancespième des entiers na- turels.

•S1(n), on utilise la sommen∑

k=1[(k+1)2-k2] = (n+1)2-1 n∑ k=1[(k+1)2-k2] =n∑ k=1(k2+2k+1-k2) =n∑ k=1(2k+1) =2n∑ k=1k+n∑ k=11=2S1(n) +n

On en déduit que :

2S1(n) +n= (n+1)2-1?S1(n) =(n+1)2-(n+1)

2=n(n+1)2

S2(n), on utilise la sommen∑

k=1[(k+1)3-k3] = (n+1)3-1 n∑ k=1[(k+1)3-k3] =n∑ k=1(k3+3k2+3k+1-k3) =n∑ k=1(3k2+3k+1) =3n∑ k=1k2+3n∑ k=1k+n∑ k=11=3S2(n) +3S1(n) +n

On en déduit que :

3S2(n)+3S1(n)+n= (n+1)3-1?3S2(n) =?(n+1)3-1-3S1(n)-n??

S 2=1 3? (n+1)3-3n(n+1)2-(n+1)? =2(n+1)3-3n(n+1)-2(n+1)6 (n+1)(2n2+4n+2-3n-2)

6=(n+1)(2n2+n)6=n(n+1)(2n+1)6

PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR

1. LE SYMBOLE SOMMEΣ

•S3(n), on utilise la sommen∑

k=1[(k+1)4-k4] = (n+1)4-1 n∑ k=1[(k+1)4-k4] =n∑ k=1(k4+4k3+6k2+4k+1-k4) =n∑ k=1(4k3+6k2+4k+1) =4n∑ k=1k3+6n∑ k=1k2+4n∑ k=1k+n∑ k=11=4S3(n) +6S2(n) +4S1(n)+n

On en déduit que :

4S3(n) +6S2(n) +4S1(n) +n= (n+1)4-1?

4S2(n) = (n+1)4-1-6S2(n)-4S1(n)-n

= (n+1)4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1) = (n+1)? (n+1)3-n(2n+1)-2n-1? = (n+1)(n3+3n2+3n+1-2n2-n-2n-1) = (n+1)(n3+n2) =n2(n+1)2

Théorème 3 :Somme géométrique

Pour tous naturelspetntels quep?n

et pour tout réel ou complexextel quex?=1, on a : n∑ k=pxk=xp×1-xn+1-p

1-x=premier terme×1-xNbre de termes1-x

Démonstration :PosonsSn=n∑

k=pxk.

•On utilise une somme télescopique :

S n-xSn=n∑ k=pxk-n∑ k=pxk+1=n∑ k=p(xk-xk+1) =xp-xn+1 •On factorise :Sn(1-x) =xp(1-xn+1-p)x?=1?Sn=xp×1-xn+1-p1-x

Exemple :S=n∑

k=32k=23×1-2n-2

1-2=23(2n-2-1) =2n+1-8

Théorème 4 :Factorisation standard

Pour tout naturelnet pour tous réels ou complexesaetb, on a : a n-bn= (a-b) n-1∑ k=0an-k-1bk= (a-b)(an-1+an-2b+···+abn-2+bn-1)

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

1. LE SYMBOLE SOMMEΣ

Démonstration :On pose :Sn=n-1∑

k=0an-k-1bk, on a alors :

•aSn=n-1∑

k=0an-kbk=an+n-1∑ k=1an-kbkk→k+1=an+n-2∑ k=0an-k-1bk+1

•bSn=n-1∑

k=0an-k-1bk+1=n-2∑ k=0an-k-1bk+1+bn k=0an-k-1bk+1-n-2∑ k=0an-k-1bk+1-bn=an-bn

1.5 Sommes doubles

Définition 2 :Lorsqu"on somme sur deux indices, on parle de somme double. Soit(aij)une suite double de nombres réels ou complexes et soit deux entiers naturelsnetp, on note :

1?i?n1?j?pa

ij=n∑ i=1p j=1a ij=p j=1n∑ i=1a ijsomme des termes d"un tableaun×p. 1?i ?j?na ij=n∑ j=1 j i=1a ij=n∑ i=1n∑ j=i aijsomme triangulaire d"un tableaun2. 1?i Remarque :On peut noter :∑quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12