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UniversiteReneDescartes

UFRdemathematiquesetinformatique

chapitre2

MethodedeGauss-Jordan

Calculdel'inversed'unematrice

Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre

licencedemathematiquesetlicenceMASS 1

MethodedeGauss-Jordan

VariantedelamethodedeGauss(gauss1):

alakemeetape,oncombinetoutesleslignes (sauflalignek)aveclalignek(aulieudene k) saufauniveaudupivota(k) kk

Exemple:

A=2 6 4214
335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5 2

A(1)=2

6

411=224

03=21 2 036
03 7

5ligne1/2

ligne2-3ligne1 ligne3-4ligne1 ligne2/32

A(2)=2

6

4107=310=3

012=3 4=3 004 43
7

5ligne1-12ligne2

ligne3-3ligne2 ligne3/4

A(3)=2

6 41001
010 2 001 13 7

5ligne1+73ligne3

ligne2-23ligne3

Onadirectementlesracinesdansla4ecolonne.

3 A=2 6 4a

11a12a13a14a21a22a23

a24a31a32a33 a343 7 5 A (2)=2 6 6 6

41a(2)

12a(2)

13 a(2) 14 0a(2)

22a(2)

23
a(2) 24
0a(2)

32a(2)

33
a(2) 343
7 7 7 5 A (3)=2 6 6 6

410a(3)

13 a(3) 14

01a(3)

23
a(3) 24

00a(3)

33
a(3) 343
7 7 7 5 A (4)=2 6 6 6 4100
a(4) 14 010 a(4) 24
001 a(4) 343
7 7 7 5

Iln'yadoncpasdephasederemontee.

Maisonfaitplusd'operations.

4

Algorithme

Commeprecedemmentpour:

-rechechedupivot(nonnuloumax) -nouvellelignek dierentpour: -nouvelleslignesi pourk=1an recherchedupivot(nonnuloumax) echangeeventueldelignes flepivotakk6=0g divisiondelalignekparakk pouri=1ansaufk, retrancheralalignei lanouvellelignekmultiplieeparaik (pourlescolonnesdek(ouk+1)an lessolutionssontdansla(n+1)emecolonne (xi=ai;n+1) 5

Complexite

Lenombred'operationsestdel'ordrede

n

3aulieude2n3

3

Averierenexercice.

Doncmoinsinteressantquel'algorithmede

Gauss.

l'inversed'unematrice. 6

Calculdel'inversed'unematrice

Onutiliselaproprietesuivante:

lejevecteurcolonnedeA1estXj=A12 6 6 6 6 6 40
0 1 03 7 7 7 7 7 5 etestdoncsolutiondusystemeAXj=2 6 6 6 6 6 40
0 1 03 7 7 7 7 7 5

Onvaresoudrelesnsystemesenm^emetemps

parlamethodedeGauss-Jordan2 6 4 100
A 010 0013 7

5conduiraa2

6 4100

010X1X2X3

001 3 7 5 etA1=hX1X2X3i 7

Calcul

AExemple

2 4a

11a12a13

100
a

21a22a23

010 a

31a32a33

0013 52
4214
100
335
010 452
0013 5 2 6

41a(2)

12a(2)

13 b(2) 1100
0a(2)

22a(2)

23
b(2) 2110
0a(2)

32a(2)

33
b(2) 31013
7 52

411=22

1=200 03=21 3=210 036
2013
5 2 6

410a(3)

13 b(3)

11b(3)

120

01a(3)

23
b(3)

21b(3)

220

00a(3)

33
b(3)

31b(3)

3213
7 52

4107=3

11=30 012=3 12=30 004 1213
5 2 6 4100
b(4)

11b(4)

12b(4)

13 010 b(4)

21b(4)

22b(4)

23
001 b(4)

31b(4)

32b(4)

333
7 52
4100

19=123=27=12

010

7=611=6

001

1=41=21=43

5 A 11 122

419187

14122
3633
5

VerierqueAA1=I

Lavericationestplusfacilequelecalcul!

s^urquelecalculestcorrect. 8

Lamoitiedel'espaceutiliseestinutile.On

n'utiliseraqu'unematriceetonrangeraaufur etamesurelesnouvellescolonnesdeBala placedescolonnesdeAdevenuesinutiles.

AExemple

2 4aquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13