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Thierry Champion - Univ. Toulon - 2017/201826

3 Suites numériques

3.1 Introduction

Dé fi nition 29. Une suite numérique est une famille de nombres réels indexée par l'ensemble des entiers naturels.

Notation 10.

La suite

x n n N , qu'on peut aussi écrire x n n 0 , est la suite dont le premier terme est x 0 , le deuxième terme est x 1 et cetera

La notation

y n n 1 désigne la suite x n n 0 dont le terme de rang n est x n y n +1

Remarque 27.

Mathématiquement, on peut considérer qu'une suite ( x n n N est la fonction numé- rique f dé fi nie sur N qui associe à l'entier n le nombre x n , c'est-à-dire f N R n x n

Exemple 37.

suite constante : soit b un nombre réel fi xé, la suite ( x n n N b n N dont tous les termes sont égaux à b est désignée comme étant la suite constante égale à b . On a donc : n N , x n b suite arithmétique : soit a un réel non nul et b un réel fi xé, la suite ( x n n N an b n N est la suite arithmétique de raison a et de premier terme b suite géométrique : soit q un réel di ff

érent de 0 et de 1, et soit

c un réel non nul, alors la suite ( x n n N cq n n N est la suite géométrique de raison q et de premier terme c suite harmonique : la suite harmonique est la suite ( x n n 1 dont le terme de rang n est donné par la formule x n = 1 +1

2+13+ ... +1n=

n k =1 1 k.

3.1. Propriété- Suites arithmétiques.

Soit a un réel non nul et b un réel fi xé, alors on a l'équivalence n N , x n an b x 0 b, n N , x n +1 x n a, autrement dit la suite arithmétique de raison a et de premier terme b est caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x n +1 de rang n + 1 s'obtient à partir du terme x n de rang n en lui additionnant la constante a

Exemple 38.

On suppose qu'une population microbienne est composée de 1000 individus à l'instant

0, et que chaque heure cette population augmente de 100 individus. Combien compte-t-elle d'individus

au bout de 10 heures? Au bout de 1000 heures?

Thierry Champion - Univ. Toulon - 2017/201827

3.2. Propriété- Suites géométriques.

Soit q un réel di ff

érent de 0 et de 1, et

c un réel non nul, alors on a l'équivalence n N , x n cq n x 0 c, n N , x n +1 q x n autrement dit la suite géométrique de raison q et de premier terme c est caractérisée par le fait que pour tout entier n le terme x n +1 de rang n + 1 s'obtient à partir du terme x n de rang n en le multipliant par la constante q

Remarque 28.

La raison

q de la suite géométrique ( x n n N cq n n 0 est donc égal au quotient x n +1 xn de deux termes consécutifs de cette suite.

Exemple 39.

On suppose qu'une population microbienne est composée de 1000 individus à l'instant

0, et que chaque heure cette population augmente de 2%. Combien compte-t-elle d'individus au bout

de 10 heures? Au bout de 1000 heures?

3.2 Limite d'une suite

Dé fi nition 30.

On dit d'une suite numérique

x n n N qu'elle admet une limite dans les trois cas suivants : soit l un nombre réel, on dit que la suite x n n N tend vers l si on a 0 k N n k, x n l autrement dit la suite x n n N converge vers l si pour tout réel 0 il existe un rang k

à partir

duquel tous les termes x n de rang n supérieur à k sont dans l'intervalle l ,l . Le nombre l est alors appelé limite de la suite x n n N . On note alors lim n x n l on dit que la suite x n n N tend vers si on a M R k N n k, x n M, autrement dit la suite x n n N tend vers si pour tout réel M il existe un rang k

à partir

duquel tous les termes x n de rang n supérieur à k sont dans l'intervalle M, . On note alors lim n x n on dit que la suite x n n N tend vers si on a M R k N n k, x n M, autrement dit la suite x n n N tend vers si pour tout réel M il existe un rang k

à partir

duquel tous les termes x n de rang n supérieur à k sont dans l'intervalle ,M . On note alors lim n x n

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Dé fi nition 31.

Lorsque la suite

x n n N n'admet pas de limite, on dit qu'elle est divergente

Notation 11.

Au lieu de "la suite

x n n N tend vers l " on peut aussi dire "la suite x n n N converge vers l " ou "la suite x n n N admet l pour limite".

Au lieu de "la suite

x n n N tend vers " on peut aussi dire "la suite x n n N diverge vers " ou "la suite x n n N admet pour limite" (idem pour

Exemple 40.

On considère les suites (

1 n n 1 et ( n n N

Notation 12.

Par convention, on utilisera par la suite les identités suivantes : l R , lquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15