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Correction de l"épreuve de mathématiques du CRPE 2017 du sujet du PG2

Denis Vekemans

PREMIÈRE PARTIE

A.Premier projet d"aménagement

1. Le périmètre du trapèzeABCDestAB+BC+CD+DA.

Le triangleBECest rectangle enE, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle et cela donneBC2=BE2+EC2. On déduit queBC=?BE2+EC2et en remplaçant par les données numériques, on obtient BC=? (30m)2+ (70m-50m)2

1 300m

= 10×⎷ 13m (BE=ADpar propriété du rectangleABED; puisEC=CD-DEcarEest un point du segment [CD], ce qui donneEC=CD-ABcarAB=DEpar propriété du rectangleABED). La longueur de clôture nécessaire est donc de

50m+ 10×⎷13m+ 70m+ 30m????

périmètre du trapèze-3,1m???? largeur du portail = (10×⎷

13 + 146,9)m.

En arrondissant au mètre près, cela donne 183m.

2. Les aires des différents espaces ...

•Un espace réservé au potager représenté par le triangle rectangleBCE. L"aire estEC×EB2et en remplaçant par les données numériques, on obtient (70m-50m)×(30m) 2 = 300m2.

Ici, nul besoin d"arrondir au mètre carré : le résultat est exact.?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-

nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1

CRPEPG22017

•Un espace de plantations florales représenté par le demi-disque hachuré de diamètre [AB].

L"aire est

π×?AB

2? 2 2, et en remplaçant par les données numériques, on obtient

π×?(50m)

2? 2 2 =π×625 2m2. En arrondissant au mètre carré, cela donne 982m2. •Un espace engazonné sur le reste du jardin.L"aire est

AB×AD-π×?AB

2? 2 2, et en remplaçant par les données numériques, on obtient (50m)×(30m)-π×?(50m) 2? 2 2 = (1 500-π×625 2)m2. En arrondissant au mètre carré, cela donne 518m2.

B.Plantations

1. Au prix de 5 euros le mètre carré, l"ensemencement des 520m2de gazon coûte 5×520 euros, soit

2 600 euros.

Le prix facturé étant de 1 950 euros, la remise est donc de 650 euros. Ces 650 euros représentent

25 % des 2 600 euros de départ car650

2 600=14=25100.

La remise accordée est de 25 %.

2. Le prix des 75 plants de salade à 0,22 euros le plant est de 75×0,22 euros, soit 16,50 euros.

Sachant qu"il a payé pour les plants de salade et pour les pieds de tomates entre 50 et 55 euros

et qu"il a payé 16,50 euros pour les plants de salade, on déduit qu"il a payé entre 50-16,50 et

55-16,50 euros, soit entre 33,50 et 38,50 euros, pour les pieds de tomates.

Pour un pied de tomate, il a donc payé entre33,50

50et38,5050euros, soit entre 0,67 et 0,77 euros.

C.Étude d"un agrandissement du potagerÀ partir de maintenant, l"unité de mesure de longueur choisie est le mètre et l"unité d"aire choisie est

le mètre carré.

Remarque : le terme agrandissement est ici à prendre au sens littéraire, non au sens mathématique.

1. a. CommeMest un point du segment [AB], la longueurAMest comprise entre 0 et 50, donc

x?[0;50]. b. L"aire du trapèzeMBCGest égale à(MB+CG)×AD

2. Or,MB=AB-AM= 50-x,

CG=DC-DG=DC-AM= 70-x. Donc, en remplaçant par les valeurs numériques, l"aire du trapèzeMBCGest égale à((50-x) + (70-x))×30

2= 1 800-30×x.

Denis Vekemans -2/9-Mathématiques

CRPEPG22017

2. a. Dans la cellule B2, on rentre la formule "=1800-30*A2". Cette formule recopiée sur la plage

C2 :G2 génère le résultat escompté.

b. L"aire de la plantation florale est

π×?AM

2? 2

2, c"est-à-direπ×x28.

La formule à rentrer dans la cellule B3 est donc "=PI()*B1*B1/8".

3. a. La représentation graphiqueC1correspond à l"aire du potager. La représentation graphique

C

2correspond à l"aire de la plantation florale. La représentation graphiqueC3correspond à

l"aire de l"espace gazonné. b. Un point de concours entreC2etC3est atteint pour une valeur dexproche de 38. Cela signifie que lorsqueAMest proche de 38, les aires de la plantation florale et de l"espace gazonné sont

égales (et valent approximativement 575).

c. Lorsque l"aire du potager vaut 400, par lecture graphique, on déduit queAMest proche de

47. Toujours par lecture graphique, l"aire de la plantationflorale est alors proche de 850 et

l"aire de l"espace gazonné est alors proche de 550.

4. Lorsque l"aire du potager vaut 750, cela signifie que la valeurxest telle que 1 800-30×x= 750

(voir 1.b), c"est à dire quex=1 800-750

30= 35.

Quandx= 35, l"aire de la plantation florale estπ×352

8=π×1 2258(voir 2.b), ce qui vaut 481

en arrondissant à l"unité près. Et toujours quandx= 35, l"aire de l"espace gazonné est 35×30-π×352

8= 1050-π×1 2258,

ce qui vaut 569 en arrondissant à l"unité près.

Denis Vekemans -3/9-Mathématiques

CRPEPG22017

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

Affirmation 1"Dans un club sportif, les trois quarts des adhérents sont mineurs (ils ont moins de 18

ans) et le tiers des adhérents majeurs a plus de 25 ans. Un adhérent sur six a donc entre 18 ans et

25 ans."

Vrai! Dans le club sportif, si les trois quarts sont mineurs, le quart restant est constitué de majeurs.

Or, un tiers de ce quart de majeurs a 25 ans ou plus, donc deux tiers de ce quart de majeurs ont

moins de 25 ans. Les majeurs de moins de 25 ans représentent donc le sixième de la totalité des

membres (car2

3×14=16).

Affirmation 2"Durant les soldes, si on baisse le prix d"un article de 30 %, puis de 20 %, alors le prix

de l"article a baissé de 50 %."

Faux! En effet, pour un article de 100 euros, ...

D"une part, quand il baisse de 30 %, son prix est 100×(1-30

100) euros, soit 70 euros. Puis quand il

baisse à nouveau de 20 %, son prix devient 70×(1-20

100) euros, soit 56 euros.

D"autre part, quand il baisse de 50 %, son prix est 100×(1-50

100) euros, soit 50 euros.

Comme 50?= 56, l"affirmation est fausse.

Affirmation 3"On considère une série statistique de moyenne égale à 5. On complète la série en

ajoutant 5 comme valeur supplémentaire. La moyenne de la série ne change pas".

Vrai! Soientx1,x2,...,xnlesnvaleurs de la série avant complétion. L"énoncé dit que la moyenne de

cesnvaleurs vaut 5, ce qui signifie quex1+x2+...+xn n= 5. On déduit quex1+x2+...+xn= 5×n.

Après complétion,x1,x2,...,xnet 5 lesn+1 valeurs de la série. La moyenne de cette série est alors

=5×n? ???x1+x2+...+xn+5 n+ 1=5×n+ 5n+ 1

5×(n+ 1)

n+ 1 = 5

Affirmation 4"Pour obtenir le carré d"un nombre entier, il suffit de multiplier le nombre entier qui le

précède par le nombre entier qui le suit et d"ajouter 1". Vrai! Soitn?Zle nombre dont on veut calculer le carré,n2.

Le nombre qui précèdenestn-1; le nombre qui suitnestn+ 1; multiplier le nombre qui précède

npar le nombre qui suitnet ajouter 1 fournit donc (n-1)×(n+ 1)? =n2-1+1 =n2.

Exercice 2

Denis Vekemans -4/9-Mathématiques

CRPEPG22017

1. La moyenne des précipitations (enmm) sur avril 2016 vaut

4×0 + 6×0,3 + 4×1,3 + 4×1,7 + 3×2,5 + 3×7 + 2×13 + 1×21 + 2×28 + 1×42

4 + 6 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1

0 + 1,8 + 5,2 + 6,8 + 7,5 + 21 + 26 + 21 + 56 + 42

30
=187,3 30
= 6,2 en arrondissant au dixième près.

2. La valeur médiane des précipitations (enmm) sur avril 2016 vaut 1,7 : pendant au moins la moitié

des jours d"avril 2016 les précipitations sont de 1,7mmou moins et pendant au moins la moitié des

jours d"avril 2016 les précipitations sont de 1,7mmou plus.

3. L"étendue des précipitations (enmm) sur avril 2016 est 42-0 = 42 : valeur la plus haute relevée

diminuée de la valeur la plus basse relevée.

4. On observe 2 + 1 + 2 + 1 = 6 jours où les précipitations (enmm) sur avril 2016 sont supérieures ou

égales à 13.

5. Sur l"aéroport, il est tombé une hauteur d"eau égale à 187,3mmou 0,187 3msur le mois d"octobre

2016 (voir 1.).

Le volume d"eau tombé sur la piste de l"aéroport durant le mois d"octobre est donc 3 200m×50m×

0,187 3m, soit 29 968m3, soit encore 29 968 000L(car 1L= 1dm3et 1m3= 1 000dm3).

Exercice 3

Programme ALa figure tracée est un rectangle dont les dimensions sont de 300 pixels par 70 pixels.

Programme BLa figure tracée est un losange dont le côté mesure 100 pixels et dont un des angles

mesure 50 degrés (l"autre angle mesure 130 degrés).

Exercice 4

Un batelier descend une rivière de 120kmennjours et la remonte enn+ 1 jours (un jour de plus pour remonter que pour descendre).

1. Pendant la descente, il parcourt donc

120
nkmpar jour. Pendant la montée, il parcourt donc120n+ 1km par jour.

2. La distance parcourue par jour pendant la remontée est inférieure de 6kmà celle parcourue par jour

pendant la descente, donc120 nkm-120n+ 1km= 6kmet donc120n-120n+ 1= 6 ou120n-6 =120n+ 1.

Denis Vekemans -5/9-Mathématiques

CRPEPG22017

3. 120
n-6 =120n+ 1 c"est-à-dire

120-6×n

n=120n+ 1 c"est-à-dire (120-6×n)×(n+ 1) = 120×n(produit en croix) c"est-à-dire (20-n)×(n+ 1) = 20×n(on divise de part et d"autre par 6) c"est-à-dire ????20×n+ 20-n2-n=????20×n(on développe et on simplifie) c"est-à-dire 20 =n2+n c"est-à-dire 20 =n×(n+ 1) (on factorise parn)

4. Par tâtonnement on recherche les valeurs den?Ntelles que 20 =n×(n+ 1).

Sin= 4,n×(n+ 1) = 20, cela convient!

Sin≥5,n×(n+ 1)≥30, cela ne convient pas! Conclusion, l"unique solution estn= 4 : 4 jours de descente et il parcourt 30kmpar jour de descente;

5 jours de remontée et il parcourt 24kmpar jour de remontée.

Denis Vekemans -6/9-Mathématiques

CRPEPG22017

TROISIÈME PARTIE

Situation 1 : évaluations nationales CE2

1) a.Élève 1Chaque boîte de 6 oeufs est représentée par 6. Les treize boîtes sont représentées. L"élève

sait que pour trouver le nombre total d"oeufs, il peutadditionner itérativement6(treize fois).

Élève 2Il dessine 6 oeufs groupés sur une ligne par boîte. Les treize groupes de 6 oeufs sont

représentées. Il semble que l"élève aitcomptéles oeufs sur le dessin pour les dénombrer.

Élève 3Il propose uncalcul multiplicatif posé13×6 (treize fois six oeufs).

b.Élève 1Relativement au sens des opérations, il sait résoudre par uneadditionun problème

relevant de groupements de collections. Il sait aussimodéliserce problème par une écriture mathématique correcte : 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6.

Concernant son résultat 87 au lieu de 78, il s"agit sans douted"un défaut dans l"écriture du

nombre (interversion des poistions des deux chiffres permettant d"écrire le nombre).

Élève 2Il saitcompterles oeufs d"une collection organisée. Il sait écrire correctement le cardinal

total de la collection.

Élève 3Relativement au sens des opérations, il sait résoudre par unemultiplicationun pro-

blème relevant de groupements de collections de même cardinal. Il en maîtrise unetechnique

opératoire. Il sait aussimodéliserce problème par une écriture mathématique correcte :

13×6 (treize fois six oeufs).

Son résultat est correct.

2) a.Élève 4Relativement au sens des opérations, il sait qu"un problèmerelevant de groupements de

collections de même cardinal peut être traduit par unemultiplicationet cette multiplication proposée est la bonne : 13×6 (treize fois six oeufs).

Élève 5Il sait réaliser une addition posée de 13+6 sans se tromper même si cette opération n"a

pas grand chose à voir avec la situation proposée.

Élève 6Relativement au sens des opérations, il sait que le problèmerelevant de groupements de

collections peut être résolu par uneadditionet il propose la bonne addition : 6+6+6+6+

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6.

b.Élève 4Cet élève ne maîtrise pas la technique opératoire de la multiplication : il multiplie les

unités ensemble 3×6 = 18, il pose donc 8 et retient 1; il multiplie ensuite les dizaines ensemble,

mais il n"y a que le 1 et rajoute sa précédente retenue pour trouver 2. La technique utilisée

s"apparente à la technique opératoire de l"addition lors dutraitement de chiffres de même statut.

Élève 5Cet élève n"a pas associé à la situation la bonne opération. C"est un réflexe courant chez

l"élève que d"additionner les valeurs proposées dans l"énoncé pour produire un résultat lorsqu"il

n"a pas compris le problème.

Élève 6À artir de l"écriture 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6, il obtient une

valeur équivalente qui est 24+24+24+6, ce qui est correct, mais il semble qu"il réalise cette

Denis Vekemans -7/9-Mathématiques

CRPEPG22017

addition comme si elle était posée en colonne mal disposée (le 6 des unités considéré comme

6 dizaines) : 4 + 4 + 4 = 12 dans la colonne des unités (oubli du 6), je pose 2 et je retiens 1;

puis 1+2+2+2+6 = 13 (prise en compte du 6, mais en statut de dizaines au lieu d"unités), que je pose pour obtenir 132.

3) On peut lui demander de produire un dessin qui représenterait la situation, comme ceux produits

par les élèves 2 et/ou 6. Le dessin de cette situation devraitlui permettre de se rendre compte que

l"addition 13 + 6 ne répond pas à la question posée et pourraitmême faire émerger des procédures

correctes de résolution.

4) Modifier l"énoncé? C"est très large ...

Je propose : "Un fermier range 6 oeufs dans chaque boîte. Quand il a fini, il compte ses boîtes et en trouve 13. Quelle multiplication te permettrait de déterminer le nombre d"oeufs rangés par le fermier? Écris ta multiplication dans le premier cadre et donne ta réponse dans le deuxième cadre". Le fait d"imposer la multiplication devrait inciter l"élève à la proposer.

Situation 2 : Euromaths CM2 (2009)

1) Compétences travaillées dans ces exercices.

Relativement à la proportionnalité ... À partir d"un prix unitaire et d"une quantité, donner le prix de

la quantité. À partir du prix et de la quantité, donner le prixunitaire.

Relativement au calcul ... Multiplier un nombre décimal par10 ou 100. Diviser un nombre décimal

par 10 ou 100.

2)a. Théo écrit 100×0,7 = 0,700 si on fait fi des unités de mesure. C"est faux! Il se base surune

procédure valable pour la multiplication d"un entier par 100 qui consiste à écrire deux chiffres 0 à

droite de l"écriture chiffrée du nombre. Cependant, cette règle devient caduque sur la multiplication

d"un décimal comme 0,7 par 100.

2)b.Procédure d"Eugénie... Pour multiplier un nombre décimal par 100, on décale la virgule de deux

rangs vers la droite, quitte à compléter cette écriture en utilisant un zéro (ou plusieurs) de position

pour signifier une absence de chiffre dans cette classe.

Remarque : la version de cette règle proposée par Eugénie esttout à fait correcte, même si celle-ci

n"est pas complètement explicitée. Cette règle se justifie sur l"aspect décimalde notre système de numération.

Justification... 0,7×100, c"est 7 dixièmes multipliés par 100, or 1 dixième multiplié par 100, c"est

une dizaine (10 dixièmes c"est une unité par définition du dixième, donc 100 dixièmes c"est 10 unités

ou 1 dizaine), donc 7 dixième multiplié par 100, c"est sept dizaine, soit 70. Situation 3 : technique opératoire de la multiplication

1.Calcul 18×3 709 = 29 672 est correctement effectué. 3×3 709 = 11 127 aussi. Mais ces deux

résultats sont mal positionnés dans l"addition : l"auteur de ce calcul a oublié detenir compte

du0×3709 = 0. La réponse correcte est 114,237 2.

Denis Vekemans -8/9-Mathématiques

CRPEPG22017

Calcul 26×2 531 = 15 186 est correctement effectué. 4×2 531 = 10 124 aussi. Et 1×2 531 = 2 531

évidemment aussi. Mais ces trois résultats sont mal positionnés dans l"addition : l"auteur de ce

calcul a oublié dedécalerles résultats l"un après l"autre (6×2 531 = 15 186 sont bien des unités,

mais 4×2 531 = 10 124 devrait avoir statut de dizaines et 1×2 531 = 2 531 devrait avoir statut de centaines). La réponse correcte est 369 526. Calcul 38×625 = 5 000 est correctement effectué. 4×625 = 2 500 aussi. Ces deux résultats

sont bien positionnés dans l"addition, mais l"auteur de ce calcul a oublié detenir compte de la

virguleà placer dans le résultat final. La réponse correcte est 3 000.

Calcul 44×317 = 1 268 est correctement effectué. 2×317 = 634 aussi. Ces deux résultats sont

bien positionnés dans l"addition, l"auteur de ce calcul a oublié detenir compte de la retenue de 6 + 4 = 10 où l"on doit poser 0 et retenir 1. La réponse correcte est 76,08.

2. Un contrôle par l"ordre de grandeur...

Calcul 1Le résultat obtenu doit être supérieur à 30×3 = 90. Calcul 3Le résultat doit être proche de 60×50 = 3 000. Remarque : c"est même exactement3 000, mais c"est un hasard.

Denis Vekemans -9/9-Mathématiques

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