[PDF] Intégration et primitives - Lycée dAdultes PDF 08_Cours_Integration

18 mar 2014 · 2 3 Primitive vérifiant une condition initiale Calculette TI 82 : Pour calculer la valeur exacte de cette intégrale (83 − 2 × 4 + 3 × 2) − (− 1

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Les TI-80 et TI-81 ne disposent pas d'un programme de calcul d'intégrales Exemples d'utilisation sur TI-80, TI-81, TI-82, TI-83 et TI-85 Utilisation du

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TI-83 de se placer sur le point d'abscisse 1 +¨ TI-83, mais il est également possible de faire une Il reste à calculer les valeurs de cette primitive en -1

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On se propose de calculer dans le plan muni d'un repère orthogonal l'aire du domaine limité par f Sur calculatrice TI 83, on tape fnInt(e^T/(1+T^2),T,1,3)

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Calcul intégral et calculatrice dont on ne connaît pas de primitive, en Terminale 1 Pour calculer l'intégrale ( ) ∫= 3 0 dxxf I Casio Graph 35, 65 Ti -83, 84

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GRAPH 35+, GRAPH 65 ou GRAPH 80, TI 82 fr, 83 ou 84+) dans le cadre d' une fonction G est une primitive de la fonction g définie sur ]0 ; + ∞[ par g(x) = ln x b) Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire A du domaine plan

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(TI 82 fr, 83 ou 84+) dans le cadre d'une étude de fonction Voici un a) Utiliser le résultat précédent pour déterminer une primitive F de la fonction f sur ]0 ; + ∞[ b) Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire A du domaine plan

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5 soit G une primitive quelconque de f, on cherche à quoi ressemble nécessairement G pour cela, on Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 6] et la représenter sur le graphique 3 On considère un programme pour TI disp "A " 83 100 f(x) 0 2,8 10 30 60 82,8 100 2 ∫ 1 0f(x)dx = [0,8 × x3 3+ 0,2 × x2 2 ] 1 0= [ 8

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Les principaux raccourcis clavier de l'unité nomade TI-Nspire CAS Les fonctions de ce premier paragraphe permettent d'effectuer les calculs algébriques Primitive Utiliser le modèle ou (expr, var) Voir exemple page précédente

DERNIÈRE IMPRESSION LE18 mars 2014 à 14:21

Intégration et primitives

Table des matières

1 Notion d"intégrale2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole. . . . 3

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Définition cinématique de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Primitive6

2.1 Théorème fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Primitive vérifiant une condition initiale. . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Primitive des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Règles d"intégrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Exemples de calcul de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Intégrale d"une fonction continue11

3.1 Calcul à partir d"une primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Propriétés algébriques de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5 Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Calcul du volume d"un solide15

4.1 Présentation d"une méthode de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Calcul du volume d"une sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Volume d"un cône. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAULMILAN1 TERMINALES

1 NOTION D"INTÉGRALE

1 Notion d"intégrale

Le but de l"intégration est de calculer la surface délimitée par une courbe et l"axe des abscisses.

1.1 Définition

Définition 1 :Soitfune fonctioncontinue et positivesur un intervalle [a;b].

SoitCfsa courbe représentative.

Le plan est muni d"un repère orthogonal(O,I,J).

On appelle

Unité d"aire (u.a.): l"aire du rectangle bâti à partir des points O, I et J. Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbeCf, l"axe des abs- cisses, et les droites d"équationx=aetx=b(a?b). Ce domaine est l"ensemble des pointM(x;y)du plan tels que : a?x?bet 0?y?f(x)

Intégraledefsur[a;b]:lamesurede

l"aire en u.a. du domaine situé sous la courbeCf.

On la note :?

b af(x)dx

1 u.a?

b af(x)dx O Cf IJ a b

Remarque :

?b af(x)dxse lit : " somme ou intégrale deaàbdef(x)dx». La variable "x" est une variable muette, c"est à dire qu"elle n"est plus présente lorsque le calcul est effectué. La variablexpeut être remplacée par :t,u, ou toute autre lettre à l"exception deaetb.

Exemple :On donne la représentation

suivante d"une fonctionfsur [-2;3] ainsi que les mesures : OI = 2 cm et

OJ = 3 cm. Calculer :

L"unité d"aire.

?3 -2f(x)dxpuis l"aire en cm2 12

1 2 3-1-2-3

OIJ

L"unité d"aire vaut : 2×3=6 cm2

Pour calculer l"intégrale, il faut calculer l"aire sous la courbe enunité d"aire soit le nombre de rectangles. Il y a 7 rectangles pleins un demi rectangle en haut à

PAULMILAN2 TERMINALES

1.2 EXEMPLE DE CALCUL D"INTÉGRALE:LA QUADRATURE DE LA PARABOLE

gauche et un triangle en haut à droite de côté respectifs 2 et 1 soit2×12=1 rec- tangle. On en déduit donc : 3 -2f(x)dx=8,5 etA=8,5×6=51 cm2

1.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole

Le problème :Calculer l"intégrale de la fonction carréefsur[0;1]. Il s"agit donc de calculer l"aireAsous la parabole dans l"intervalle [0;1]. L"idée de Riemann est d"encadrer cette aire par deux séries de rectangles. On divise l"intervalle [0;1] ennparties. Sur chaque petit intervalle?i n,i+1n? , on détermine la valeur minimale et maximale de la fonction carrée. Comme cettefonction est croissante sur [0;1], la valeur minimale estf?i n? et la valeur maximalef?i+1n? On obtient alors ces deux séries de rectangles comme la figure ci-dessous :quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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