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Correction de l"épreuve de mathématiques du CRPE 2016 du sujet du PG1

Denis Vekemans

PREMIÈRE PARTIE

A. Volume de la piscine

1. Étude graphique

a) Par lecture graphique, il semble que lorsque la largeur dela piscine vaut 3 mètres, le volume de cette piscine soit proche de 19 mètres cube , au mètre cube près. b) Par lecture graphique, il semble que lorsque le volume de la piscine vaut 27 mètres cube, la largeur de cette piscine soit proche de 3,6 mètres , au dixième de mètre près.

c) Par lecture graphique, il semble que lorsque la largeur dela piscine vaut entre 4 et 5 mètres, le

volume de cette piscine soit approximativement compris entre 33 et 52 mètres cube , au mètre cube près.

2. Étude algébrique

a) Le volume de la piscineV(x) (en mètres cube) est égal à l"aire du trapèzeABCD(en mètres

carré) multipliée par la distanceAE(en mètres). L"aire du trapèzeABCD(en mètres carré) est donné par la formule :(AB+CD)×AD 2= (1,1 + 1,5)×1,6×x

2= 2,08×x.

La distanceAE(en mètres) estx.

Le volume de la piscine (en mètres cube) est, par conséquent,V(x) = 2,08×x×x= 2,08×x2.

b) D"après la formule précédente, siV(x) = 52 (en mètres cube), alors 2,08×x2= 52, puis

x=? 52

2,08= 5.

Ainsi, algébriquement, lorsque le volume de la piscine vaut52 mètres cube, la largeur de cette piscine est de 5 mètres

B. Mise en eau

1. Il a été choisix= 5. Ainsi, le volume de la piscine est de 52 mètres cube, d"après la question

A.2.b).

?. Université du Littoral Côte d"Opale; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville; 50, rue Ferdi-

nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France 1

CRPEPG12016

a) Le volume non rempli d"eau de la piscine (en mètres cube) est le volume du pavé droit ADHEA ?D?H?E?(toujours en mètres cube) qui est le produit de l"aire du rectangleADHE (en mètres carré) et de la hauteurAA?(en mètres). L"aire du rectangleADHE(en mètres carré) est donné par la formuleAB×AD= 5×8 = 40.

La hauteurAA?(en mètres) est de 0,1.

Le volume non rempli d"eau de la piscine (en mètres cube) est,par conséquent, 0,1×40 = 4. En conclusion, le volume d"eau dans la piscine (en mètres cube) est de 52-4 = 48.

b) Dans le tableau de proportionnalité suivant, on synthétise les données et on résout la situation :

Durée (en minutes)11

3 8 000 3 Volume d"eau débité (en mètres cube)18648 000 Il faut donc un temps de8 0003= 2 666 +23minutes (car 8 000 = 2 666×3 + 2) pour remplir les 48 mètres cube (ou 48 000?de la piscine) de la piscine.

Cependant, 2 666 +

2

3minutes;

c"est aussi 2 666 minutes et 2 fois 20 secondes (car 1

3de minute c"est 20 secondes);

ou 2 666 minutes et 40 secondes; ou 44 heures 26 minutes et 40 secondes (car 2 666 = 44×60 + 26); ou 1 jour 20 heures 26 minutes et 40 secondes que l"on peut arrondir à la minute près par

1 jour 20 heures et 27 minutes

2. a) Le volume d"eau perdu de la piscine en une semaine (en mètres cube) est le volume d"un pavé

droit dont la base a pour aire celle du rectangleADHE(en mètres carré) et de la hauteur

0,05 (en mètres).

L"aire du rectangleADHE(en mètres carré) est donné par la formuleAB×AD= 5×8 = 40. Le volume d"eau perdu de la piscine en une semaine (en mètres cube) est, par conséquent,

0,05×40 = 2.

b) La perte hebdomadaire d"eau correspond à2

48(soit environ 4,2%, arrondi au dixième de

pourcent) du volume d"eau initial dans la piscine. 3.

AnnéeCharges pour l"eau de la piscine en euros

2015207

2016207×1,03 = 213,21

2017213,21×1,03 = 219,6063

2018219,6063×1,03 = 226,194489

2019226,194489×1,03 = 232,98032367

2020232,98032367×1,03 = 239,9697333801

En 2020, M. Durand va dépenser 239,97 euros, arrondi au centime d"euro.

C. Dallage du sol autour de la piscine

1. Soitdle côté d"une dalle (en centimètres).

D"après l"énoncé,dest un diviseur de 120 = 23×3×5, de 500 = 22×53mais aussi de 800 = 25×52.

Denis Vekemans -2/9-Mathématiques

CRPEPG12016

D"après le cours,dest un diviseur duPGCD(120,500,800) = 22×5 = 20.

Ainsi,dest à choisir parmi 1,2,4,5,10 ou 20.

2. a) On choisitd= 20. La surface à paver peut être décomposée de la façon suivante :

- quatre carrés de 120cm×120cm, soit quatre fois 6×6 dalles; au total, 144 dalles pour ces quatre carrés; - deux rectangles de 120cm×800cm, soit deux fois 6×40 dalles; au total, 480 dalles pour ces deux rectangles; - deux rectangles de 120cm×500cm, soit deux fois 6×25 dalles; au total, 300 dalles pour ces deux rectangles. Le tout cumulé, le pavage requiert 144 + 480 + 300 = 924 dalles. b) Pour paver une dalle de 20cm×20cm, il faut 4×4 = 16 dalles de 5cm×5cm. Si on choisit doncd= 5, il faut donc 16×924 = 14 784 dalles.

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1Soitxle nombre choisi au départ.

2. Le programme 1 fournit la valeur (2x+3)×(2x+3)-9 = (2x+3)2-9 = 4x2+12x+9-9 = 4x2+12x.

Le programme 2 fournit la valeur (4x)×(x+ 3) = 4x2+ 12x. Les deux programmes fournissent donc toujours le même résultat.

1.a) Pourx= 3, les programmes donnent 4×32+ 12×3 = 36 + 36 = 72.

1.b) Pourx=-5

4, les programmes donnent 4×?

-54? 2 + 12×? -54? =?254? -15 =-354.

3. Un produit est nul si et seulement si l"un de ses facteurs est nul. Les programmes vont donc fournir

0 quand (4x)×(x+ 3) = 0, c"est-à-dire six= 0 ou six=-3

Exercice 2

Affirmation 1fausse! En effet, sia=b= 0,1 et 0,1 est bien un nombre décimal car son développe-

ment décimal s"écrit avec un nombre fini de chiffres, alorsa×b= 0,01 est à la fois inférieur àaet à

b. Affirmation 2vraie! En effet, (n+1)2-(n-1)2= (n2+2n+1)-(n2-2n+1) =n2+2n+1-n2+2n-1 =

4nest bien un multiple de 4 carnest entier naturel.

Affirmation 3fausse! En effet, sinvaut 3 et 3 est bien un entier naturel, (n-1)×(n+ 1)-1 vaut

2×4-1 = 7 qui n"est pas le carré d"un entier naturel.

Exercice 3

On note :

-Rl"événement "Tirer une boule rouge"; -Vl"événement "Tirer une boule verte"; -Jl"événement "Tirer une boule jaune"; -Bl"événement "Tirer une boule bleue";

Denis Vekemans -3/9-Mathématiques

CRPEPG12016

-Ml"événement "Tirer une boule marron".

1. D"après la loi de Laplace,P(R) =3

25= 0,12,P(V) =425= 0,16,P(J) =525= 0,2,P(B) =725= 0,28,

etP(M) =6

25= 0,24.

2. Si on rajoutenboules bleues, la probabilité de l"événementBdevientP(B) =7 +n

25 +n. On désire

que cette probabilité soit supérieure ou égale à 0,4, ce qui s"écrit :7 +n

25 +n≥0,4, i.e. 7 +n≥

(25 +n)×0,4 = 10 + 0,4×n, i.e. 0,6×n≥3, i.e.n≥3

0,6= 5.

Il faut rajouter au moins 5 boules bleues pour obtenir une probabilité de tirer une boule bleue supérieure ou égale à 0,4.

3. Si on rajoutepboules rouges, la probabilité de l"événementBdevientP(B) =7

25 +p. On désire que

cette probabilité soit inférieure ou égale à 0,2, ce qui s"écrit :7

0,2= 10.

Il faut rajouter au moins 10 boules rouges pour obtenir une probabilité de tirer une boule bleue inférieure ou égale à 0,2.

Exercice 4

1. À l"échelle 1 : 10, le segment [AB] sera représenté par un segment d"une longueur 6,5cm, le segment

[BC] sera représenté par un segment d"une longueur 3,3cm, le segment [CA] sera représenté par

un segment d"une longueur 5,6cmet une longueur de 39cmsera représentée par une longueur de

3,9cm.

Algorithme de construction :

- tracer segment [AB] de longueur 6,5cm, - tracer le cercle Γ

Ade centreAet de rayon 5,6cm,

- tracer le cercle Γ

Bde centreBet de rayon 3,3cm,

- les cercles Γ Aet ΓBse coupent en deux points et on nommeCl"un de ces deux points, - tracer le cercle de centreAet de rayon 3,9cm, ce cercle coupe le segment [AB] en le pointR, - tracer la perpendiculaire à la droite (AC) passant parR, cette droite coupe le segment [AC] en le pointS.

Denis Vekemans -4/9-Mathématiques

CRPEPG12016

?A B 6.5 ?C 5.6 3.3 ?R? S 3.9

2. La réciproque du théorème de Pythagore dans le triangleABC, du fait queAC2+CB2= 562cm2+

33

2cm2= 3136cm2+ 1089cm2= 4225cm2= 652cm2=AB2, induit que le triangleABCest

rectangle enC.

Ainsi, les droites (RS) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AC). Par conséquent,

les droites (RS) et (BC) sont parallèles (deux perpendiculaires à une même troisième sont parallèles).

3. Dans le triangleABCen considérant les parallèles (RS) et (BC), le théorème de Thalès donne

AC

AS=ABAR?

=BCRS? Puis 56cm

AS=65cm39cmetAS=56×3965cm= 33,6cm.

4. Par définition de la fonction sinus, sin

?ARS=AS AR=33,639≈0,862. La calculatrice fournit alors

ARS≈59◦, arrondi au degré près.

TROISIÈME PARTIE

Situation 1 : moyenne section

1.a) Donner deux méthodes pour dénombrer (c"est-à-dire exprimer la quantité totale) les collections

proposées.

Configuration 1 :

- le comptage (un, deux, trois, ...), - le subitizing (reconnaissance directe de collections de petit effectif),

- la décomposition additive ("un et deux, c"est trois, et encore deux, c"est cinq" (quatrième case en

partant de la gauche) ou "un et trois, c"est quatre" (troisième case en partant de la gauche), ...).

Configuration 2 :

- le comptage (un, deux, trois, ...),

Denis Vekemans -5/9-Mathématiques

CRPEPG12016

- la reconnaissance directe des constellations usuelles (ici, les constellations du dé),

- la décomposition additive ("deux et deux, c"est quatre" (deuxième case en partant de la gauche)

ou "deux et un, c"est trois, et encore deux, c"est cinq" (cinquième case en partant de la gauche),

Donner deux erreurs que les élèves sont susceptibles de faire en réalisant les collections (il n"est plus

forcément question de dénombrer ici).

Configurations 1 et 2.

- Dans le comptage, les erreurs classiques sont

- un défaut d"énumération (le fait de pointer une et une seulefois chaque élément d"une collec-

tion), - une méconnaissance de la chaîne orale ("un, deux, quatre, ..." au lieu de "un, deux, trois, quatre, ..."), - un défaut de synchronisation des deux points précédents,

- un défaut dans l"attribution du dernier mot nombre à la quantité ("j"en ai pointé quatre, donc

j"en ai cinq"), - Dans les décompositions additives, une mauvaise connaissance des décompositions des nombres.

- Dans une procédure comme la correspondance terme à terme qui n"extrait pas la quantité (qui

n"est donc pas de dénombrement, mais qui cependant relève d"une procédure tout à fait pertinente

pour résoudre la tâche), la taille des objets, par exemple, peut perturber l"élève et engendrer des

erreurs. Configutaion 1?si on imagine un élève dont la procédure réside dans le fait decalquer la

configuration de la collection initiale, il faut réellementréussir à faire abstraction de la taille des

objets pour reconnaître la même constellation pour le modèle et sa production. Conséquence,

l"élève risque de proposer une production qui encombreraitl"espace autant que le modèle et non

pas de même cardinal.

Configutaion 2?si on imagine un élève dont la procédure réside dans le fait desuperposer un

objet sur chaque point de la constellation du dé. Au vu des tailles des objets et des points, un objet risque de cacher deux points et non pas un.

1.b) Les deux élèves semblent avoir compris la consigne : ilsconstituent des collections de même cardinal

que le modèle.

Apparemment, Louise a déjà conscience que deux collectionspeuvent avoir même cardinal sans avoir

la même disposition ce qui n"est pas le cas pour Kévin.

De plus, Louise a sans doute procédé par comptage alors que Kévin a sans doute réalisé la tâche sans

dénombrer. Il n"est pas possible de comparer les pertinences de chacune de ces deux procédures, mais

cependant, elles dénoncent des approches différentes de la situation.

2. Facilités qu"apporte le choix d"utilisation d"une boîte:

- tant qu"une cloison reste vide, c"est que la réalisation decette collection n"a pas été effectuée (ceci

aide donc pour organiser la tâche de l"élève),

Denis Vekemans -6/9-Mathématiques

CRPEPG12016

- les séparations permettent aux collectons de rester en place et ne sont normalement plus déplacées

par la suite (l"enseignement peut donc visualiser rapidement si l"élève effectue correctement la

tâche ou pas, sans forcément lui demander d"expliquer en casde réussite, et ceci facilite aussi la

gestion de classe), Inconvénients qu"apporte le choix d"utilisation d"une boîte :

- l"utilisation d"une boîte rend impossible la superposition des objets sur chaque représentation

(verticale) de ces objets (ce qui invite probablement à procéder en utilisant le nombre),

- les objets positionnés par l"élève vont se superposer (comme dans le quatrième compartiment de

la boîte en partant de la gauche) et il va être difficile pour l"enseignant de valider rapidement

la réponse de l"élève (il aurait été plus judicieux de choisir des objets plus petits pour éviter les

superpositions),

Situation 2 : cycle 3

1.a) Quentin procède en proposant un premier essai pour considérer douze têtes : six chameaux et six

dromadaires, ce qui lui totalise dix-huit bosses (les bossessont représentées :??pour deux bosses

et?pour une bosse; mais aussi dénombrées : 2 pour deux bosses et 1pour une bosse). Il fait ensuite

un deuxième essai en remplaçant un dromadaire par un chameau(trace de correction sur le sixième

dromadaire en partant de la gauche) qui lui totalise alors dix-neuf bosses (le 18 est barré pour laisser

place au 19). Et il finit par remplacer encore un dromadaire par un chameau (trace de correction sur

le cinquième dromadaire en partant de la gauche) qui lui totalise alors vingt bosses (le 19 est barré

pour laisser place au 20). Enfin, il conclut correctement en affirmant qu"il faut quatre dromadaires (et donc huit chameaux, mais ceci est tacite car non exigé) pour totaliser vingt bosses.

1.b) Avec 152 têtes et 216 bosses, la technique de Quentin peut être reproduite (sans les représentations

des têtes et bosses, ce qui serait extrêmement long)? - Essai avec 76 dromadaires et 76 chameaux?76+152 = 228 bosses (j"ai considéré que le premier essai de Quentin consistait à prendre moitié chameaux, moitié dromadaires),

- Essai avec 77 dromadaires et 75 chameaux?77+150 = 227 bosses (j"ai considéré que sa procédure

allait consister à remplacer itérativement un chameau par un dromadaire, mais rien ne permet de

dire qu"il n"aurait pas fait évoluer sa procédure), - Essai avec 78 dromadaires et 74 chameaux?78 + 148 = 226 bosses, - Essai avec 79 dromadaires et 73 chameaux?79 + 146 = 225 bosses, - Essai avec 80 dromadaires et 72 chameaux?80 + 144 = 224 bosses, - Essai avec 81 dromadaires et 71 chameaux?81 + 142 = 223 bosses, - Essai avec 82 dromadaires et 70 chameaux?82 + 140 = 222 bosses, - Essai avec 83 dromadaires et 69 chameaux?83 + 138 = 221 bosses, - Essai avec 84 dromadaires et 68 chameaux?84 + 136 = 220 bosses, - Essai avec 85 dromadaires et 67 chameaux?85 + 134 = 219 bosses,

Denis Vekemans -7/9-Mathématiques

CRPEPG12016

- Essai avec 86 dromadaires et 66 chameaux?86 + 132 = 218 bosses, - Essai avec 87 dromadaires et 65 chameaux?87 + 130 = 217 bosses, - Essai avec 88 dromadaires et 64 chameaux?88 + 128 = 216 bosses.

2.a) Ramia représente tout d"abord chacune des douze têtes par un cercle : ces cercles sont alignés sur

une première ligne. Elle associe ensuite d"office une bosse à chaque tête qu"elle situe juste en dessous

de la tête (en effet, chaque animal possède au minimum une bosse) : ces douze bosses se situent sur

une deuxième ligne. Enfin, elle complète (on ne sait pas comment, mais on peut imaginer qu"elle

surcompte en les représentant) par les huit bosses manquantes sur une troisième ligne jusqu"à obtenir

les vingt bosses. Pour conclure, il ne lui reste plus qu"à dénombrer les animaux à une bosse et ceux

à deux bosses, ce qu"elle exécute correctement en proposant"Il y a 4 dromadaires et 8 chameaux".

2.b) Avec 546 têtes et 700 bosses, la technique de Ramia peut être reproduite (sans les représentations

des têtes et bosses, ce qui serait extrêmement long)? - On associe 546 bosses en en attribuant une à chaque tête, - il reste 700-546 = 154 bosses à attribuer, - et ceci donne 154 chameaux et 546-154 = 392 dromadaires.

Situation 3 : cours moyen 2

- Domaine de compétences : la proportionnalité.

On se place dans l"hypothèse où les élèves ont réussi à identifier une situation relevant de propor-

tionnalité (le volume d"eau est proportionnel à la hauteur d"eau dans le pavé droit, mais est-ce si

évident). Qui plus est, l"énoncé met en fonction non pas directement la situation de proportionnalité,

mais la propriété de proportionnalité des écarts (la haussede volume d"eau est proportionnelle à la

hausse de hauteur d"eau dans le pavé droit).

On situe aussi dans l"hypothèse où les élèves ont compris quele pavé droit représenté est une réduction

de l"aquarium (sinon, une hausse de 4 cm pour répondre à la première question est sans fondement).

Enfin, on imagine que le niveau d"eau peut monter de 14cm"sans déborder". - Trois procédures envisageables pour un élève de CM2 :

1.La règle de trois: "Verser quatre litres d"eau dans l"aquarium génère une hausse de deux

centimètres du volume d"eau. Verser deux litres d"eau (la moitié de quatre litres) dans l"aquarium

génère donc une hausse d"un centimètre du volume d"eau (la moitié de deux centimètres). Verser six

litres d"eau (le triple de deux litres) dans l"aquarium génère donc une hausse de trois centimètres

du volume d"eau (le triple d"un centimètre)."

Cette règle de trois utilise la propriété multiplicative dela fonction linéaire et unretour à l"unité

(on se ramène à la hausse de volume générée par une hausse d"un centimètre).

2.Le coefficient de proportionnalité: "Une hausse de 2cmde la hauteur d"eau génère un

accroissement du volume de 4?. Pour aller de 4 à 2, on divise par 2 (les unités (?/cm) sont laissées

de côtés car elles ne parleraient certainement pas à l"élèvede CM2). Ainsi, une hausse de volume

de 6?, engendre une hausse de 3cm(obtenu en divisant 6 par 2) sur la hauteur d"eau."

Denis Vekemans -8/9-Mathématiques

CRPEPG12016

3.Une procédure mixte maniant à la fois la propriété additive de linéarité et la propriété

multiplicative de linéarité: "Verser quatre litres d"eau dans l"aquarium génère une hausse de

deux centimètres du volume d"eau. Mais six litres, c"est quatre litres plus la moitié de quatre

litres. Cela engendre donc une hausse de la hauteur d"eau de deux centimètres plus la moitié de

deux centimètres, soient trois centimètres."

Denis Vekemans -9/9-Mathématiques

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