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5-1 PHY-144 : Introduction à la physique du génie Chapitre 5 : Cinématique de translation : mouvement curviligne.

5.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous continuons notre étude des corps en mouvement. Au chapitre 4, nous avons commencé cette étude avec le mouvement rectiligne. Mais, très souvent, le mouvement d'un objet n'est PAS rectiligne. Le mouvement est alors " curviligne ». Nous étudierons plus particulièrement deux types de mouvement curviligne. Tout d'abord, nous nous intéresserons au mouvement d'un projectile. Par la suite (au chapitre

6), nous caractériserons le mouvement d'un objet ou d'un point se déplaçant sur une

trajectoire circulaire. Tous les mouvements curvilignes de ce chapitre seront des mouvements dans un plan, c'est-à-dire qu'il ne sera pas nécessaire d'utiliser trois dimensions (x, y, z) pour les analyser.

5.2 Mouvement curviligne - généralités

Comme on l'a vu au chapitre 4, même si le mouvement d'un objet est parfois complexe, le mouvement de son centre de masse est souvent assez simple. La trajectoire

du centre de masse d'un boulet de canon lancé à partir d'une colline pourrait, par

exemple, ressembler à celle qu'on peut voir à la figure 5.1. y x Orx y trajectoire du boulet de canon vecteur position boulet de canon

Figure 5.1 : Mouvement curviligne.

5-2

5.2.1 La position

On a vu au dernier chapitre que la position d'un objet est définie par rapport à une référence. Par exemple, dans la figure 5.1, cette référence est le point O. Pour décrire la position d'un objet en mouvement rectiligne (chapitre 4), on utilisait un vecteur x?, qui était dirigé vers les x+ ou vers les x-. On voit que dans le cas d'un mouvement curviligne, un tel vecteur ne serait pas suffisant. Pour décrire la position d'un objet lors d'un mouvement curviligne dans le plan, on doit utiliser un vecteur à 2 dimensions, qu'on peut appeler r?. Si on utilise des coordonnées cartésiennes ( x, y) pour le représenter alors : vecteur position : r i jx y= +? ?? On peut aussi, si on le désire, utiliser simplement les coordonnées x et y pour décrire la position d'un objet (voir exemple 5.1). Exemple 5.1 : Quelle est la position du boulet de canon, à la figure ci-dessous? y x

Or20 m

trajectoire du boulet de canon vecteur position boulet de canon 100 m

La position du boulet à cet instant est :

r 20 m i 100 m j= +? ?? ou encore : x = +20 m, y = +100 m.

5.2.2 La vitesse

Rappelons la définition de la vitesse vue au chapitre 4. La vitesse est le taux de variation de la position par rapport au temps.

5-3 Comme au chapitre 4, " vitesse » et " vitesse instantanée » sont des synonymes.

Pour se représenter la vitesse, il faut comparer la position r? de l'objet à un instant " t » et sa position r? tout juste après (au temps " t + Δt »). Entre ces 2 positions, il y a eu un déplacement rΔ?. L'objet est à la position A au temps " t » et à la position B au temps " t +

Δt ». Si

le Δt est grand, on peut voir ce que serait le déplacement rΔ? entre la position A et la position B (voir figure 5.2). xOr(t) A r(t+Δt)

BΔr

Si on diminue l'intervalle de temps Δt :

xOr(t) A r(t+Δt) B Δr y Figure 5.2 : Le déplacement rΔΔΔΔ????devient tangent à la trajectoire lorsque ΔΔΔΔ t tend vers 0.

5-4 La vitesse est définie de la même façon qu'au chapitre 4, sauf qu'on utilise

rΔ? (déplacement en 2D) plutôt que

Șx? (déplacement rectiligne) .

0Șrv = limttΔ →Δ →Δ →Δ →ΔΔΔΔ

La vitesse est une division de rΔ? par un scalaire (Δt)... et on sait que l'action de diviser un vecteur par un scalaire ne change pas la direction du vecteur. Il faut donc conclure que la vitesse est dans la même direction que rΔ?, et on voit que rΔ?est tangent à la trajectoire lorsque

Δt tend vers 0. Bref,

La vitesse est un vecteur, toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement. y xO v Figure 5.3 : La vitesse est tangente à la trajectoire.

5.2.3 L'accélération

Rappelons la définition de l'accélération vue au chapitre 4. L'accélération est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. Șt 0Șva = limt→→→→ΔΔΔΔ 5-5 y xO v v(t+Δt) v(t)Δv Figure 5.4 : Le vecteur Șv???? n'est pas dans le sens du mouvement.

Comme on le voit à la figure 5.4,

Șv? (la variation du vecteur vitesse) n'est pas du tout dans la direction du mouvement, même lorsque

Δt tend vers 0. Le vecteur a? est dans

la même direction que le vecteur

Șv?.

L'accélération est un vecteur qui n'est pas nécessairement dans le sens du mouvement. Par exemple, si, pour notre boulet de canon, la résistance de l'air est négligeable, son accélération est montrée à la figure 5.5. y xO a a aa a Figure 5.5 : L'accélération du boulet de canon n'est pas dans le sens du mouvement. 5-6

5.2.4 Position, vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes

Le déplacement

rΔ? peut se décomposer en composantes " x » et " y » (figure 5.6).

Șr i jx y= Δ +Δ? ??

xOr(t) A r(t+Δt) B Δr yZOOMΔrB A Δy Δx

Figure 5.6 : VecteurrΔΔΔΔ????.

Alors

0Șt 0Șr i jv = lim = lim ( + )tx y

t t tΔ → →Δ Δ

Et comme la vitesse

v ?est un vecteur, on peut aussi l'écrire : v = i + jx yv v? ??.

On voit alors que :

0 0 lim et limx t y tx yv vt tΔ → Δ →Δ Δ= =Δ Δ.

y xO v vxv y

Figure 5.7 : Composantes de la vitesse.

5-7

Et on peut ajouter que l'accélération est :

0 0 j iȘva = lim =lim ( + )yx t tvv t t tΔ → Δ →

Et comme l'accélération

a ?est un vecteur, on peut l'écrire : a = i jx ya a+? ??.

On voit que

00 lim et limyx x t y tvva a t tΔ →Δ → Comparons maintenant le mouvement rectiligne et le mouvement curviligne :

Mouvement rectiligne :

0v = limtx

tΔ →Δ

0a = limtv

tΔ →Δ

Mouvement curviligne :

x 0 y 0 v = lim v = limt tx y t tΔ → Δ →Δ Δ x 0 y 0 a = lim a = limyx ttvv t tΔ → Δ → Dans le cas du mouvement curviligne, les relations entre x, v x et ax (ou entre y, vy et a y) sont exactement les mêmes que celles qui existent entre x, v et a pour le mouvement rectiligne. Tout se passe comme si le mouvement curviligne était une combinaison d'un mouvement rectiligne en " x » et d'un mouvement rectiligne en " y » ! Au chapitre 4, nous avions déduit 3 équations simples à partir de ces relations, dans le cas où l'accélération était une constante (MRUA). Si ax et ay sont des constantes, nous devrions déduire des équations tout à fait semblables soit :

Résumé : Mouvement curviligne,

ax et ay constantes. Si a x est constante : ( )fx ix x f iv v a t t= + -= + -= + -= + - 21

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5.1 Introduction

6), nous caractériserons le mouvement d'un objet ou d'un point se déplaçant sur une

5.2 Mouvement curviligne - généralités

Figure 5.1 : Mouvement curviligne.

5.2.1 La position

Or20 m

La position du boulet à cet instant est :

5.2.2 La vitesse

5-3 Comme au chapitre 4, " vitesse » et " vitesse instantanée » sont des synonymes.

Δt ». Si

BΔr

Si on diminue l'intervalle de temps Δt :

5-4 La vitesse est définie de la même façon qu'au chapitre 4, sauf qu'on utilise

Șx? (déplacement rectiligne) .

0Șrv = limttΔ →Δ →Δ →Δ →ΔΔΔΔ

Δt tend vers 0. Bref,

5.2.3 L'accélération

Comme on le voit à la figure 5.4,

Δt tend vers 0. Le vecteur a? est dans

Șv?.

5.2.4 Position, vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes

Le déplacement

Șr i jx y= Δ +Δ? ??

Figure 5.6 : VecteurrΔΔΔΔ????.

0Șt 0Șr i jv = lim = lim ( + )tx y

Et comme la vitesse

On voit alors que :

0 0 lim et limx t y tx yv vt tΔ → Δ →Δ Δ= =Δ Δ.

Figure 5.7 : Composantes de la vitesse.

Et on peut ajouter que l'accélération est :

Et comme l'accélération

On voit que

Mouvement rectiligne :

0v = limtx

0a = limtv

Mouvement curviligne :

Résumé : Mouvement curviligne,

2( ) ( )f i ix f i x f ix x v t t a t t= + - + -= + - + -= + - + -= + - + -

2 22 ( )fx ix x f iv v a x x= + -= + -= + -= + -

2( ) ( )f i iy f i y f iy y v t t a t t= + - + -= + - + -= + - + -= + - + -

2 22 ( )fy iy y f iv v a y y= + -= + -= + -= + -