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Exo7
Séries entières
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
1.å+¥n=1(lnn)nzn
2.å+¥n=1(pn)nzn
3.å+¥n=0(ln(n!))2zn
4.å+¥n=112
ch1n +cos1n n4zn 5.å+¥n=1C
n2nn nzn 6.å+¥n=1(ln(n!))an!bzn
7.å+¥n=0an1+bnzn,(a;b)2(R+)2
Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de
convergence de la série proposée.1) (**)
å+¥n=21n(n1)xn2) (**)å+¥n=03nn+2xn3) (** I)å+¥n=0xn2n+14) (**)å+¥n=0n(2n+1)!xn
5) (*)
å+¥n=0x4n(4n)!6) (**)å+¥n=0(chn)xn7) (** I)å+¥n=1ånk=11k xn7)å+¥n=0n2+4n1n!(n+2)xn9) (** I)
å+¥n=1n(1)nxn10) (*)å+¥n=1(1)nx4n14n11) (**)å+¥n=0(n2+1)2n+1xn12) (**)å+¥n=0(1)n+1nx2n+1
13) (***)
å+¥n=0anxnoùa0=a1=1 et8n2N,
a n+2=an+1+an14) (**)
å+¥n=0anxnoùanest le nombre de couples(x;y)d"entiers naturels tels que x+5y=n. Développer en série entière les fonctions suivantes :1) (*)
1(x1)(x2)2) (*** I)1x
22tx+1,t2R3) (*)ln(x25x+6)
4) (**)arctanxsina1xcosa,a2]0;p[5) (**)1(x1)(x2):::(xp)6) (*** I)(arcsinx)2
7) (*)
Rx0cos(t2)dt8) (*** I)Rx
¥dtt
4+t2+19) (**)cosxchx.
1 sinxx six6=01 six=0. Montrer quefest ce classeC¥surR.
disque fermé de centre 0 et de rayonR.å+¥n=0anznune série entière de rayonR>0 et telle quea0=1 (ou plus généralementa06=0).
1. Montrer qu"il e xisteune et une seule suite (bn)n2Ntelle que8n2N,ånk=0akbnk=d0;n. 2.Montrer que la série entière
å+¥n=0bnzna un rayon strictement positif.
0cosnt dt. Rayon de convergence et somme de la série entière associée à la suite
(Wn)n2N.å+¥n=11n
cos2np3 xnpourxdans]1;1[. å+¥n=0xn4n21pourxdans]1;1[et en déduire les sommeså+¥n=014n21etå+¥n=0(1)n4n21. généralun. la série entièreå+¥n=0Tr(An)zn.
0et2dt. En développantFen série entière par deux méthodes différentes,
montrer que pour tout entier natureln, nk=0(1)nk1(2k+1)k!(nk)!= (1)n22nn!(2n+1)!. 2 b n+1=3an+4bn. Rayons et sommes deå+¥n=0a nn!xn etå+¥n=0b
nn!xn.å+¥n=11nC
n2nxn. nb n n2Nait une limiteréellek. (En particulieran=n!+¥o(bn)sik=0 etann!+¥bnsik=1).On suppose de plus que la série entière
associée à la suite(an)n2Na un rayon de convergence égal à 1 et que la série de terme généralandiverge.
1.Montrer que lim
x!1å+¥n=0anxnå +¥n=0bnxn=k.2.Applications.
(a) Equi valentsimple quand xtend vers 1 deå+¥n=1lnnxn. (b)Déterminer lim
x!1(1x)på+¥n=0np1xnoùpest un entier naturel non nul donné. Soit(an)n2Nune suite à valeurs dansf1;1g. Pourxréel on posef(x) =å+¥n=0a nn!xn. On suppose que pour tout entier naturelpet tout réel positifx,jf(p)(x)j61. Déterminerf. ;p2 , on posef(x) =tanx. 1. Montrer qu"il e xisteune suite de polynômes (Pn)n2Ntelle que pour tout entier natureln,f(n)=Pnfet que lesPnsont à coefficients entiers naturels. (Utiliser tan0=1+tan2). 2. En utilisant la formule de T AYLOR-LAPLACE, montrer que la série de TAYLORà l"origine defa un rayon de convergenceRsupérieur ou égal àp2 3.On note anles coefficients du développement précédent etgla somme de la série entière associée à la
suite(an)n2N. Montrer que pour tout entier naturel non nuln,(n+1)an+1=ånk=0akank. En déduire que
pour toutxdep2 ;p2 ,f(x) =g(x)et queR=p2 4.Calculer a0,a1,a2,...,a7.
5.Vérifier que la fonction x7!thxest développable en série entière. Préciser le rayon et la valeur des
coefficients en fonction desan. R x0et2=4dt.
n2N. produit denéléménts deE((a1=1 conventionnellement),a2=1,a3=2,a4=5, ...). Montrer que pour toutn>2,an=ån1k=1akank. 2.Soit fla série entière associée à la suite(an). On suppose momentanément le rayonRde cette série
strictement positif. Montrer que pour toutxde]R;R[,(f(x))2f(x)+x=0. 3.Calculer Retf.
4.En déduire an.
Correction del"exer cice1 N1.Soit z6=0. Pourn>e1=jzj, on ajzjlnn>1 et donc la suite((lnn)nzn)ne tend pas vers 0 quandntend
vers+¥. Ainsi, pour tout nombre complexe non nulz, la série proposée diverge grossièrement.
R=0.2.Soit z6=0. Pourn>1jzj2, on ajzjpn>1 et donc la suite((pn)nzn)ne tend pas vers 0 quandntend vers
+¥. Pour tout nombre complexe non nulz, la série proposée diverge grossièrement.R=0.3.D"après la formule de S TIRLING
(ln(n!))2n!+¥ln2ne np2pn=n+12 lnnn+ln(p2p)2n!+¥n2ln2n.
La série entière proposée a même rayon de convergence que la série entière associée à la suite(n2ln2n).
Comme lim
n!+¥(n+1)2ln2(n+1)n2ln2n=1, la règle de d"ALEMBERTpermet d"affirmer que
R=1.4.n4ln12
ch1n +cos1n ) =n!+¥n4ln1+124n4+o1n4=n!+¥124
+o(1): Donc 12 ch1n +cos1n n4n!+¥e1=24etR=1.5.Pour n2N, posonsan=Cn+12n+2(n+1)n+1.
a n+1a 1+1n n n!+¥4ne et donc lim n!+¥an+1a n =0. D"après la règle de d"ALEMBERT,R= +¥.6.On a vu que ln (n!)n!+¥nlnn. Donc la série entière proposée a même rayon de convergence que la série
entière associée à la suite(nlnn)an!b . Puis b et donc, d"après la règle de d"ALEMBERT 5 sib>0,R= +¥, sib=0,R=1 et sib<0,R=0.7.Si a=0,R= +¥. On supposea6=0. • Sib>1,an1+bnn!+¥ ab net doncR=ba • Sib=1,an1+bn=an2 etR=a. • Si 06b<1,an1+bnn!+¥anetR=a.Dans tous les cas
R=Max(1;b)a
sia>0 etR= +¥sia=0.Correction del"exer cice2 N1.La règle de d" ALEMBERTmontre que la série proposée a un rayon de convergence égal à 1.
1ère solution.Pourx2]1;1[, on posef(x) =å+¥n=21n(n1)xn.fest dérivable sur]1;1[et pourxdans
]1;1[, f0(x) =å+¥n=21n1xn1=å+¥n=1xnn
=ln(1x).Puis, pourx2]1;1[,f(x) =f(0)+Rx
0f0(t)dt= (1x)ln(1x)+x.
2ème solution.Pourx2]1;1[,
f(x) =å+¥n=21n11n xn=xå+¥n=2xn1n1å+¥n=2xnn =xln(1x)+ln(1x)+x.8x2]1;1[,å+¥n=2xnn(n1)=xln(1x)+ln(1x)+x.2.La règle de d" ALEMBERTmontre que la série proposée a un rayon égal à 1. Pourx2]1;1[nf0g
2å+¥n=2xnn
=311x+2x2(x+ln(1x))
8x2]1;1[,å+¥n=03nn+2xn=(311x+2x
2(x+ln(1x))six2]1;1[nf0g
0 six=0.3.La règle de d" ALEMBERTmontre que la série proposée a un rayon égal à 1.
• Soitx2]0;1[. n=0x n2n+1=+¥å n=0(px)2n2n+1=1px n=0(px)2n+12n+1=1px (ln(1+px)ln(1px)) argth(px)px • Soitx2]1;0[. n=0x n2n+1=+¥å n=0(1)n(x)n2n+1=1px+¥å n=0(1)n px2n+12n+1=arctan(px)px 68x2]1;1[,å+¥n=0xn2n+1=8
>:argth(px)px six2]0;1[1 six=0
arctan(px)pxsix2]1;0[.4.La règle de d" ALEMBERTmontre que la série proposée a un rayon égal à+¥. Pourxréel,
f(x) =12å+¥n=02n+11(2n+1)!xn=12
å+¥n=01(2n)!xn12
å+¥n=01(2n+1)!xn.
• Six>0, f(x) =12å+¥n=01(2n)!(px)2n12
pxå+¥n=01(2n+1)!(px)2n+1=12
ch(px)1px sh(px) • Six<0, f(x) =12å+¥n=0(1)n1(2n)!
px2n12 pxå+¥n=0(1)n1(2n+1)! px2n+1= 12 cos(px)1pxsin(px)8x2R,å+¥n=0nxn(2n+1)!=8
>:12 ch(px)1px sh(px) six>00 six=0
12 cos(px)1pxsin(px) six<0.5.Immédiatement R= +¥et8x2R,å+¥n=0x4n(4n)!=12
(cosx+chx).6.ch nn!+¥e n2 et doncR=1e . Pourxdans1e ;1e n=0(chn)xn=12 n=0(ex)n++¥å n=0 xe n! 1211ex+11xe
=12 2e+1e xx 2e+1e x+11xch1x
22xch1+1:
8x21e ;1e ,å+¥n=0(chn)xn=1xch1x22xch1+1.7.La série proposée est le produit de C AUCHYdes séries entièreså+¥n=0xnetå+¥n=1xnn
qui sont toutes deux de rayon 1. DoncR>1. Mais d"autre part, pour tout entier naturel non nuln,an=ånk=11k >1 etR61. FinalementR=1. De plus, pourxdans]1;1[,f(x) =11xln(1x) =ln(1x)x1.8x2]1;1[,å+¥n=1ånk=11k
xn=ln(1x)x1.78.La règle de d" ALEMBERTmontre que le rayon de convergence est égal à+¥.
Pournentier naturel donné,n2+4n1n!(n+2)=n3+5n2+3n1(n+2)!puis n3+5n2+3n1= (n+2)(n+1)n+2n2+n1= (n+2)(n+1)n+2(n+2)(n+1)5n5
= (n+2)(n+1)n+2(n+2)(n+1)5(n+2)+5Donc, pour tout réelx,
f(x) =å+¥n=0(n+2)(n+1)n(n+2)!xn+2å+¥n=0(n+2)(n+1)(n+2)!xn5å+¥n=0n+2(n+2)!xn+5å+¥n=01(n+2)!xn: