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C C

Aix en Provence, 14 janvier 2004

C

La place du langage

dans les apprentissages mathématiques

à l"école

C C C

SOMMAIRE

✔ Communication 1 : ✔ Communication 2 : (Teresa ASSUDE) 15 ✔ Atelier A : ✔ Atelier B :

01*2 !,

✔ Atelier C : 31.4
5()0 6 ✔ Propositions de stages de formation continue. ,7 +77!8
9$ -)5 8<$ +77>
9$ )58-*8 -5 8 9$ %9 -A B)5B 9 C le mercredi05 janvier 2005 à l"IUFM, sur le site IUFM d"Aix en Provence, 2, avenue J. Isaac de 8h45 à 17h +77>8
" Langages et apprentissages mathématiques ; utilisation d"outils informatiques ». +77>D
Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 6

PARLER, LIRE ET ECRIRE EN

MATHEMATIQUES

Sierre g,ppgPIC

INTRODUCTION

. utiliser la lanLue usuelle v et . mettre en xlace des éléments du lanLaLe mathématique v E yes mathématiques sont une discixline qui utilise deu( lanLaLes b mais on xeut remarquer que les xroLrammes ne les xlacent xas sur le m)me xlan E l"un est qualifié de . lanLue usuelle v que l"on 1a utiliser dans le cadre des axxrentissaLes mathématiques b l"autre est un lanLaLe dont on mets en xlace quelques élémentsR ;n xeut donc affirmer que les acti1ités mathématiques de l"école xrimaire 1ont utiliser xrioritairement le 1ecteur de la lanLue franOaise tant dans la transmission des sa1oirs que dans la xrésentation des tra1au( à effectuer ou dans les xroductions des élè1es b mais il s"aLit en m)me temxs d"initier xroLressi1ement les élè1es au lanLaLe mathématique qu"ils seront amener à utiliser de xlus en xlus dans leur scolarité au collèLe" xuis au l»céeR ..."o+ deu( a(es xour l"articulation lanLaLe5mathématiques E · . contriUuer au dé1eloxxement des comxétences dans le domaine de la lanLue orale et écrite v E yes mathématiques" comme toutes les autres discixlines enseiLnées à l"école" sont un des lieu( d"axxrentissaLe de la lanLue franOaise E enseiLnement" consiLnes" xroductions des élè1es" traces écrites des acti1ités mathématiques et des axxrentissaLes" T · . tra1ailler les sxécificités du lanLaLe mathématiques et de sa s»nta(e xarfois xarticulière v E A cîté de la lanLue usuelle" et en utilisant celle:ci" il » a un lanLaLe nou1eau à axxrendre a1ec un . 1ocaUulaire v" des s»mUoles v" des sxécificités comme les . schémas v et les . Lraxhiques v" une s»nta(e qui lui sont xroxresR Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 4 y"imxortance d"une dimension orale en mathématiques y"écrit ne doit xas )tre le seul mode de communication des t3ches en mathématiques E . Il faut 1eiller à ce que les difficultés de lecture ne 1iennent xas L)ner les xroLrès en mathématiques dont sont caxaUles les élè1esR v . y"e(cès de tra1ail sur fiches doit )tre é1itéR v ..."o+ l"imxortance d"une dimension orale dans le tra1ail en mathématiques xour que l"élè1e xar1ienne à comxrendre la situation é1oquée et la question xosée" et commencer alors un 1éritaUle tra1ail mathématiqueR

PARLER EN MATHEMATIQUES

. T ne doi1ent xas )tre assimilés à des énoncés écritsR v · . la question xeut )tre xosée oralement à xartir d"une situation matériellement xrésentée au( élè1es" ce qui offre l"a1antaLe de xermettre ensuite une

1érification e(xérimentale de la réxonse élaUorée b v

Foir dans l"ou1raLe de PR Mrissiaud . Comment les enfants axxrennent à calculer v : éditions Petj" la xartie relati1e au( xroUlèmes et à la relation entre xroUlème xratique et xroUlème mathématiqueR ôcfR anne(e?R Foir aussi de nomUreu( xroUlèmes xroxosés dans les ou1raLes d"gP@gy E xroUlèmes d"anticixation d"un aAout ou d"un retrait" xroUlèmes de comxaraison de collections" xroUlèmes de xartaLe d"une collectionT · . la situation suxxort xeut )tre décrite oralement" accomxaLnée de quelques éléments imxortants écrits au taUleau b v y"écrit sert alors de mémoire du xroUlème et n"est xlus l"unique médiateur de la situationR · . si la situation est xroxosée sous forme d"un énoncé écrit" on xeut demander au( élè1es de la reformuler ou de l"e(xliciter oralement xour en faciliter la comxréhensionR v Ici c"est Uien l"écrit qui est utilisé xour communiquer la situation au( élè1es b

mais les reformulations orales ôde xréférence xar les élè1es? 1ont xermettre une

axxroxriation xar tous de la situation sans que la lecture de1ienne un oUstacle à l"entrée dans l"acti1ité mathématiqueR Foir dans . B"axxrends les maths - CS v de PR Mrissiaud la xroLression xroxosée

1ers les énoncés écrits E

1.

Problèmes avec caches :

Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 C peule la question est écrite b il s"aLit de xroUlèmes additifs dans lesquels les collections sont xrésentes sous la forme d"un dessin" l"élè1e créant lui:m)me le xroUlème xar masquaLe d"une xartie de la collection dessinéeR Sarmi les trois collections en xrésence" une seule est é1oquée xar le te(te ôcelle des oUAets masqués?" les deu( autres sont ôcollections des oUAets non cachés? ou ont été 1isiUlesôcollection comxlète?R 2.

Problèmes en images :

Ici la situation est rexrésentée xar un dessin sur lequel on 1oit une collection en xartie masquée xar un élément du dessin b un te(te écrit donne le nomUre total d"oUAets et demande le nomUre d"oUAets masquésR Sarmi les trois collections en xrésence" deu( sont é1oquées se xar le te(te ôcelle des oUAets masqués ainsi que la collection comxète?" la troisième ôcollections des oUAets non cachés? est 1isiUleR 3. Problèmes écrits dans lequel les trois collections sont

évoquées par un texte.

. T s"axxuie très sou1ent sur une désiLnation orale des nomUresR v . T l"oral et l"écrit ne mettent xas touAours en 1aleur la m)me informationR v pi le calcul se fait tout le temxs xar écrit" on risque de xri1iléLier certains asxects du nomUre ônumération écrite en chiffres? au détriment d"autres ônumération orale en mots nomUres? b mais le xassaLe s»stématique xar l"écrit risque aussi d"occulter certaines xrocédures de calcul fort utiles en calcul mental et s"axxu»ant sur la désiLnation orale des nomUresR Ici" le fait que les élè1es franOais soient confrontés à l"axxrentissaLe de deu( s»stèmes de numération fonctionnant a1ec des rèLles assej différentes ôxlus un Uon nomUre d"e(cextions xour la numération orale? doit entraDner une xlace imxortante de l"oral dans l"axxrentissaLe de ces numérationsR

Exemples :

· Calcul de 2C E 4C en commenOant xar additionner quarante et 1inLt" xuis en aAoutant à soi(ante la dijaine xro1enant de cinq xlus cinqR · Calcul de 4 ( 24 en s"axxu»ant sur la numération orale E quatre:1inLt" c"est quatre fois 1inLt" xlus seije de quatre fois quatre" cela fait quatre:1inLt: seijeR Il faut xenser à utiliser cette 1ariaUle oral5écrit dans trois moments o+ elle xeut a1oir une incidence sur les axxrentissaLes E · ya formulation du calcul" qui xeut fa1oriser certaines xrocéduresR · y"e(écution du calcul xar les élè1es E ils ne 1ont xas moUiliser les m)mes sa1oirs dans le calcul écrit et dans le calcul oralR Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 F · ya formulation du résultat qui xeut )tre un moment de tra1ail sur le xassaLe entre numération orale et numération écrite ôet récixroquement?R . yes moments de mise en commun" d"e(xlication des démarches et des résultats" d"échanLe d"arLuments à xroxos de leur 1alidité" se déroulent essentiellement de manière oraleR v . T maintenir un équiliUre entre les formulations sxontanées utilisées xar les élè1es et la 1olonté de mettre en xlace un lanLaLe xlus

élaUoréR v

Il ne faut xas dans ces moments:là que l"inter1ention de l"enseiLnant au ni1eau de la lanLue 1ienne . freiner l"e(xression des élè1es vR . yes moments de reformulation et de s»nthèse sont da1antaLe l"occasion de mettre en xlace un 1ocaUulaire et une s»nta(e correctsR v Cela conduit à en1isaLer des ni1eau( d"e(iLence et de riLueur dans l"utilisation de la lanLue orale qui 1ont déxendre essentiellement de la fonction de cet oral E · g(xlication" arLumentation E on tolèrera certaines formulations axxro(imati1es" aUusi1es" T · Peformulation" s»nthèse E on xrécise l"emxloi du 1ocaUulaire" on améliore la s»nta(e" T . yes interférences entre Gmots courantsG et Gmots mathématiquesG xeu1ent )tre sources de confusionR v . T mettre en é1idence" a1ec les élè1es" ces différentes siLnifications d"un m)me motR v ...resser une liste de tous ces mots utilisés en mathématiques dans un sens différent ou xlus xrécis que ceu( au(quels ce mot ren1oie dans le lanLaLe courant me semUle )tre un xréalaUle à un tra1ail 1éritaUle et e(xlicite sur ces questions de

1ocaUulaire a1ec les élè1es de l"école xrimaireR A ce suAet" on xourra utilement se

rexorter au( ou1raLes de l"AS@gS de la collection @;Hp ôI tomes?R . ya mise en xlace de 1ocaUulaire ne remxlace xas la construction du concextR v . Ce 1ocaUulaire n"a de sens que lorsque le concext est en construction et a déAà été utilisé imxlicitement xar les élè1esR v pur ce suAet on xourra utilement se référer au( tra1au( de Mritt:@ari Marth E . y"axxrentissaLe de l"aUstraction v et . ye sa1oir en construction v : gditions PetjR y"axxrentissaLe d"un concext mathématique" en Léométrie en xarticulier" ne xeut se limiter à l"étiquetaLe d"un oUAetR ye 1ocaUulaire n"a un intér)t que lorsque celui:ci Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 J de1ient nécessaire xour différencier un oUAet d"un autre" xour catéLoriser des oUAets qui ont les m)mes xroxriétés" T y"axxrentissaLe du 1ocaUulaire mathématique ne doit xas de1enir une fin b celui: ci doit )tre fonctionnelR gn Léométrie xar e(emxle" le 1ocaUulaire 1a inter1enir dans la descrixtion de fiLures b mais ces tra1au( sont indissociaUles des acti1ités de rexroductions" de rexrésentations et de constructions xour lesquelles la descrixtion

1a axxaraDtre comme un outil xertinent xour conser1er et transmettre des

informations relati1es à une fiLureR

Foir le matériel . ya moisson des formes v

K ômallette de formes Léométriques

accomxaLnés de xlusieurs fascicules d"acti1ités xour la classe de la maternelle au collèLe? et le tra1ail autour du 1ocaUulaire Léométrique induit xar ce matérielR

LIRE EN MATHEMATIQUES

. ya sxécificité des te(tes utilisés en mathématiques T nécessite un tra1ail xarticulier relatif à leur lectureT v yes te(tes utilisés en mathématiques ne sont xas les m)mes que ceu( rencontrés en littérature ou dans d"autres discixlines et leurs xarticularités doi1ent )tre xrises en comxte dans les axxrentissaLes E on ne lit xas de la m)me faOon E

· ye te(te d"un xroUlème b

· ya consiLne d"un e(ercice b

· ya descrixtion d"une fiLure Léométrique b · ye xroLramme de construction d"une fiLure Léométrique b · ya trace écrite d"une leOon de mathématiques dans le cahier ou dans le li1re b

· yes différentes sortes de taUleau( b

· yes différents t»xes de Lraxhiques b

· yes schémas b T

y"axxrentissaLe de la lecture 1a donc trou1er des xrolonLements dans la discixline . mathématiques v b mais il faut 1eiller en ce domaine à une déri1e qui consisterait à déconnecter ces axxrentissaLes relatifs à la lecture de leur Uut E on lit xour faire des mathématiques L Foir à ce suAet les nomUreu( fichiers dans lesquels on axxrend au( élè1es à lire des énoncés de mathématiques sans Aamais résoudre les xroUlèmes en question b on sait que ce t»xe de xratique n"a xratiquement aucun effet sur les comxétences des enfants dans la résolution de xroUlèmesR Ces axxrentissaLes de lecture ne doi1ent donc xas )tre des xréalaUles xour faire des mathématiques b ils doi1ent )tre mener conAointement a1ec la xratique des acti1ités mathématiques qui les moti1entR y"axxrentissaLe de la lecture de te(tes mathématiques xourra )tre encouraLé xar la xrésence en classe de suxxorts 1ariés contenant des écrits mathématiques mis à la disxosition des enfants b il faudrait les haUituer da1antaLe à aller chercher K ya moisson des formes - Mernard MgHHIMgyyI" K rue de la Serrouse" 2CKKC S;NIyyg, les FIOMgp Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 P l"information dans des li1res de mathématiques ôsans que ces ou1raLes aient été sxécifiquement écrit xour des enfants?" comme lorsqu"ils 1ont consulter un dictionnaire ou une enc»cloxédieR Foir l"utilisation des écrits mathématiques dans les Ateliers de Pecherche en @athématiques E utilisation d"un dictionnaire de mathématiques dans la 1idéo . ye xlaisir de chercher v

2" utilisation du cataloLue des xol»èdres ôdossier Sol»èdres dans

l"esxace - Sy;H - @ars KIPJ? xour rechercher le nom d"un xol»èdre faUriqué ou xour trou1er la descrixtion d"un nou1eau xol»èdre à construire a1ec un matérielR

ECRIRE EN MATHEMATIQUES

. T dé1eloxxer et Uien distinLuer trois t»xes d"écrits dont les fonctions sont différentes E les écrits de t»xe GrechercheG ôT?" les écrits destinés à )tre communiqués et discutés ôT? et les écrits de référenceôT?R v ...e xart leurs fonctions différentes" ces écrits de1ront xroLressi1ement )tre distinLués au ni1eau de . l"e(iLence s»nta(ique ou Lraxhique v" des inter1entions de l"enseiLnant sur ces écrits" de la riLueur des formulations utilisées"T C"est un écrit xri1é de l"élè1e" c"est à dire un écrit qui lui axxartient et dont l"enseiLnant est xri1éR . pi l"enseiLnant est amené à les consulter xour étudier le cheminement de l"élè1e" il ne doit ni les critiquer" ni les corriLerR v y"enseiLnant de1ra donc accexter sur ce t»xe d"écrit ôles Urouillons de l"élè1e? des incorrections" des ratures" des formulations aUusi1es" T tout ce qu"on ne tolèrera

xas dans un écrit xuUlicR Nne attitude contraire aurait xour effet de stériliser la

recherche en focalisant le tra1ail de l"élè1e sur le formalisme des écrituresR @ais il est imxortant aussi d"amener les enfants à s"axxroxrier cette distinction

entre écrit xri1é et écrit xuUlic b ce dernier de1ant resxecter des rèLles xarfois

arUitraires" mais qui facilitent la communication xarce qu"elles sont xartaLées xar tousR Ils utiliseront des suxxorts 1ariés ôaffiches" transxarents" T? b ils xermettront à l"enseiLnant de mettre en xlace les rèLles de la communication écrite en mathématique et la distinction entre écrit xuUlic et écrit xri1éR

2 SR g»sseric et alR : ye xlaisir de chercher - Fidéo xroduite xar le centre INQ@ de ...raLuiLnan" INQ@

de l"Académie de Mice Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 I . Ils doi1ent faire l"oUAet d"un souci de xrésentation" de lisiUilité" d"e(xlication" tout en sachant qu"ils seront l"oUAet d"un échanLe entre les élè1es au cours duquel des e(xlications comxlémentaires seront axxortéesR v ya formulation xourra donc encore comxorter des imxerfections de 1ocaUulaire et ou de s»nta(e b l"échanLe oral xermettra de xointer l"incidence de celles:ci sur la comxréhensionR ye soin" la lisiUilité et la clarté seront au centre du tra1ail sur ce t»xe d"écritR Ils 1ont rester dans la classe" ce sont des écrits qu"on lit et qu"on relira E . T constituer une mémoire du tra1ail de l"élè1e et de la classeR ôT? Ils doi1ent )tre rédiLés dans une forme correcteR v Cela ren1oie à l"imxortance des traces écrites" s»nthèses des axxrentissaLes b ces traces écrites rassemUlées dans un aide:mémoire ou un mémento de la classe

seront une référence xour les élè1es et xour la classe E un recueil d"écrits

mathématiques que l"on relira chaque fois qu"on en rencontrera le Uesoin à l"occasion de tra1au( mathématiquesR . y"e(iLence s»nta(ique ou Lraxhique ôT? ne doit xas faire oUstacle à l"oUAectif xrincixal qui reste l"acti1ité de réfle(ion mathématiqueR v Il ne faut xas que l"axxrentissaLe du lanLaLe mathématique déUouche sur un e(cès de formalisme qui serait xrématuré à l"école et xourrait occulter les axxrentissaLes mathématiques fondamentau(R yeur maDtrise n"est xas un oUAectif du c»cle 2R gn effet l"insistance xrématurée sur l"axxrentissaLe de ce s»mUolisme se fait sou1ent au détriment de la comxréhension de l"ordre qui est ici le xrincixal axxrentissaLe 1isé E sa1oir quel le xlus xetit ou le xlus Lrand nomUre" sa1oir ranLer des nomUresR Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 K0

ANNEXE 1 : LA PLACE DE LA

MANIPULATION DANS LES

APPRENTISSAGES

MATHEMATIQUES

;n xense sou1ent à la manixulation en mathématiques comme à un mo»en xresque maLique xour xro1oquer la moti1ation des élè1es et rendre . aLréaUle v une discixline qui serait indiLesteR Il me xaraDt imxortant de xrendre un minimum de distance a1ec cet a xrioriR gn effet si la manixulation n"est xas sé1èrement encadrée" il en résulte sou1ent la disxarition des mathématiques E · ya manixulation des collections risque xar e(emxle de transformer un xroUlème arithmétique en un xroUlème xratique que l"on 1a résoudre en manixulant les oUAets des collections et en é1acuant ainsi tout recours au nomUreR · ...e m)me il faut 1eiller à ne xas transformer" sous xréte(te de manixulation" un xroUlème de Léométrie en xroUlème de dessinT ya manixulation en mathématiques n"aura d"intér)t que dans la mesure o+ elle n"occulte xas le xroUlème mathématique b la manixulation ne rendra xas les mathématiques concrètes L yes mathématiques tra1aillent sur des entités aUstraites ônomUres" fiLures Léométriques" T? qui xeu1ent ser1ir à une modélisation du réel" mais ne saurait s"» suUstituerR ...onc on xourrait dire que" xour que la manixulation axxorte quelque chose en mathématiques" il faut à un moment ou à un autre que

celle:ci soit emx)chée b ce sera la condition du xassaLe à la rexrésentation" de

l"anticixation" du xassaLe des oUAets xh»siques au( oUAets Léométriques" T Il me semUle que la manixulation xeut se Austifier à deu( moments du xrocessus d"axxrentissaLe E oAAu déUut" afin de faciliter la rexrésentation du xroUlème xar les élè1esR oAA la fin" un retour au matériel xeut )tre xertinent xour 1alider des solutions construites xar les élè1es dans un cadre mathématiqueR gntre les deu(" des contraintes doi1ent inter1enir xour emx)cher la manixulation

et oUliLer les élè1es à chanLer de reListre et à résoudre un xroUlème mathématiques

et non un xroUlème matérielR Be rexrends ici le schéma que xroxose Pémi MPIppIAN... dans . Comment les enfants axxrennent à calculer v" Petj Mathan ôchaxitre P" xaLes K0C à K20? E Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 KK

SITUATION N° 1 :

Problème

pratique Solution matérielle du problème (par exemple réalisation de la collection pour un problème de quantités)

Résolution

pratique du problème

SITUATION N° 2 :

Problème

mathématique Solution mathématique du problème (par exemple un nombre pour un problème de quantités)

Résolution

mathématique du problème Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 K2

SITUATION N° 3 :

Problème

pratique

Solution matérielle du

problème (par exemple réalisation de la collection pour un problème de quantités)

Résolution

pratique du problème

Problème

mathématique Solution mathématique du problème (par exemple un nombre pour un problème de quantités)

Résolution

mathématique du problème

Représentation de

la réalité

Réalisation

matérielle de la solution

Contrôle

ya manixulation est une aide xour les élè1es qui seraient en difficulté au ni1eau de la rexrésentation du xroUlème b des contraintes Uien choisies 1iennent emx)cher

la résolution xratique du xroUlème xar les élè1es et les oUliLe à xasser xar la

résolution du xroUlème mathématique" mais l"e(istence xotentielle de la résolution xratique fa1orise la rexrésentation xar les élè1es de ce que siLnifie . résoudre le xroUlème vR Nne fois le xroUlème mathématique résolu" on xeut réaliser matériellement la solution trou1ée ôretour à la manixulation? et confronter a1ec la solution donnée xar la résolution xratique E 1alidationR ya référence à la résolution xratique" 1ia les moments de manixulation a donc une douUle fonction E · facilitation de la rexrésentation du xroUlème xratique xar un xroUlème mathématique b · auto:1alidation des solutions oUtenues lors de la résolution du xroUlème mathématiqueR Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 K6

ANNEXE 2 : QUELQUES PISTES

DE TRAVAIL

Ici nous xroxosons un in1entaire non e(haustif de xistes de tra1ail à e(xlorer autour du thème . yanLaLe et mathématiques v b nous esxérons )tre en mesure d"en dé1eloxxer certains au cours des xrochaines rencontresR ❖ ye 1ocaUulaire mathématique E oAPelatif à l"esxace oAPelatif à la Léométrie b oASour la numération b oA...ans les consiLnes b oA...ans les xroUlèmes arithmétiques b oASour la mesure des Lrandeurs b oAôT? ❖ ye s»mUolisme E oAyes oxérations b oAye siLne R b oAS et T b oAye codaLe fractionnaire b oAyes codaLes xroxres à la Léométrie b oAôT? ❖ yecture et résolution de xroUlèmesR ❖ ya formulation des réxonses xar les élè1es E le tra1ail de rédaction en mathématiquesR ❖ yes différents t»xes d"écrits en mathématiquesR ❖ ArLumenter en classe de mathématiquesR ❖ ...escrixtion d"une fiLure - SroLramme de constructionR ❖ yes situations de communication dans les axxrentissaLes E le rîle des xhases de formulationR ❖ ye rîle de la 1erUalisation ôcfR en xarticulier certaines 1idéos de maternelle?R ❖ ya xlace de l"oral dans les axxrentissaLes mathématiquesR E réser1é au calcul mental U Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 K4 ❖ ye tra1ail de la consiLne en mathématiqueR ❖ Vuels te(tes mathématiques xroxoser à la lecture des élè1es U ❖ yes traces écrites des axxrentissaLesR ❖ AlUums et mathématiques E oAyes alUums" lieu d"axxrentissaLe de di1ers sa1oirs mathématiques b oAyes mathématiques" outils xour la lecture de certains alUumsR ❖ yes taUleau( E oAH»xesR oAyectureR oAConstructionR ❖ yes Lraxhiques E oAH»xesR oAyectureR oAConstructionR ya xlace de la schématisation dans les axxrentissaLes mathématiquesR Cinquièmes rencontres de didactique des mathématiques à l"école - AIX 2004 6S

ACTE DE SOUVENIR ET

APPRENTISSAGES

MATHEMATIQUES

geresa A,,pP.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46