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Statistiquesinf´erentielles

?2006

Statistiquesinf´erentielles

1.Introduction-vocabulaire

Pour m

´ethodeestjug´eetroplongue.

(l'

´echantillon).

populationtotale.

2.Principedelath´eorie

E 1 ?E2 ?x2 ?s2 ???????sk.

L'ensemble

X= ?x1 ?x2 moyennes .Lath´eoriemontrealorsque

E?X?=m

?etsX=s ?n ?s ?n?.Autrementdit, lavariableal´eatoireX?m s ?nsuitapproximativementuneloinormaleN(0 ?1).

3.Estimationponctuelle

setlavariances2delapopulationtotale. xestuneestimationponctuelledelamoyennem. n n?1s donc: ?n n?1s fr 1 m:inconnu s:connu´Echantillonn ?x

Population

respectives:

Notonsmaintenant

successivementlesvaleurs x1,x2, ?s T= ?n s ?X?m?suitlaloinormaleN(0 ?1).Onauraalors,pourtoutt?0,

P(?t?T?t)=2P(t)?1

proc `ededelamani`eresuivante: ?Ona2P(t)?1=0 ?95???P(t)=0 obtenuepourt=1 ?96.Onadonc P ??1 ?96? ?n s(X?m)?1 ?96 ?=0 ?95 ???P??1 ?96s?n ?(X?m)?1 ?96s?n?=0 ?95 ???P?m?1 ?96s?n ?X?m+1 ?96s?n?=0 ?95 echantillonaitunemoyenneentre m ?1 ?96s?netm+1 ?96s?n P ??X?1 ?96s?n ??m??X+1 ?96s?n?=0 ?95 ???P?X+1 ?96s?n ?m?X?1 ?96s?n?=0 ?95 ???P?X?1 ?96s?n ?m?X+1 ?96s?n?=0 ?95 xde cet

´echantillonv´erifie

x?1 ?96s?n ?m?x+1 ?96s?n situedansl'intervalleenvisag´e x?1 ?96s?n ?x+1

95%(ouaveclerisque5%).

2

4.2Casg´en´eral

nombrepositifttelqueP(

Parexemple,2P(t)

?1=0 ?99sietseulementsiP(t)=0 ?995,cequicorrespond`at=2 ?58(d'apr`eslatabledelaloi normaleN(0 ?1)).

L'intervalle

x?ts?n ?x+ts?n? deconfiance2P(t) ?96,ou`a99%,ce quicorrespond`at=2 ?58. caract p:inconnue´Echantillonn ?f

Population

?p ??p(1?p) ?n?.

L'intervalle?

f?t ?f(1?f) n?1 ?f+t ?f(1?f) n?1? deconfiance2P(t) ?96,ou`a99%,ce quicorrespond`at=2 ?58. d'applications. ambigu

¨ıt´e:

testdevalidit´ed'hypothese. l'ensembledelapopulation. 3 nombrex´e unemassemoyennede780grammes. masse.

Onobtientlesr´esultatssuivants:

Massesdespieces

(engrammes)Nombredepieces [745?755[2 [755?765[6 [765?775[10 [775?785[11 [785?795[5 [795?805[2 ?7g. ?5g,onobtient[770 ?61;778 ?79]

7.1Pr´esentationduprobleme

r

´esultatobtenusurl'´echantillon?

7.2Hypothesenulle

l'hypothesenulle,not´eeH0:m=780.

Alors,lavariableal´eatoire

??n).

Cherchonshr´eelpositiftelque

p ?780?h?X?780+h?=0 ?95

Aveclam´ethodehabituelle,ontrouveh=4

?08,cequinouspermetdeconclure: p ?775 ?92?X?784 ?08?=0 ?95 ?92;784 ?08]. moyennesoitinf´erieure`a775 ?92ousup´erieure`a784 ?08. n=36etoncalculesamoyenne¯x.

Si¯x

?[775 ?92;784 ?08],onaccepteH0

Si¯x

?[775 ?92;784 ?08],onrejetteH0 4

Region critiqueRegion critique

0, 95

780775, 92784, 08

On accepte H0

r´egion critiqueauseuil a=5%. erreurdepremiereespece.

Eng´en´eral,onfixe

apriorilavaleurdea(ici´egal`a0 ?05).

Dansl'exemplequinousoccupe,ona¯x=774

?92etonrejettel'hypoth`ese H livraison.

7.4Erreurdesecondeespece

Ona p(774 ?62?X?785 ?38)=0 ?99

500pi`eces.

Region critiqueRegion critique

0, 99

780774, 62785, 38

On accepte H0

l' grave.

7.5Hypothesealternative

Siond´ecide,parexemple,deprendrem

r 5

7.6R´esum´e

suivant:

1.Constructiondutest

H

0,sinononl'accepte.

2.Utilisationdutest

b)Applicationdelar`egleded´ecision.

8.1Pr´esentationduprobleme

Massesdespieces

(engrammes)Nombredepieces [745?755[6 [755?765[12 [765?775[16 [775?785[11 [785?795[4 [795?805[1 fournisseurapourmoyenne774 ?7g.

Ladiff´erencede4

duchoixdes´echantillons?

8.2Unpeudeth´eorie

mA:inconnue s A=12 ?5 nA=36

¯xA=774

?7 s ?A=12 ?36

EchantillonmB:inconnue

s B=12 ?1 nB=50

¯xB=779

?6 s ?B=11 ?99

Echantillon

PopulationAPopulationB

Soit

Onseplacedanslecaso`u

XAsuitapproximativementlaloinormaleN(mA

?sA ??nA)etXAsuitapproximativement laloinormaleN(mB ?sB ??nB). 6 et A.

Onsupposequelesvariables

XAetXBsontind´ependantes.

AlorsD=

XB?XAsuituneloinormaleet

E(D)=E

?XB?XA?=E?XB??E?XA?=mB?mA

V(D)=V

?XB?XA?=V?XB?+V?XA?=s2

BnB+s2

AnA

L'´ecart-typedeDestdonc

s2

BnB+s2

AnA ?2 ?7,etDsuituneloinormaleN(mB?mA;2 ?7).

8.3Constructiondutest

?ChoixdeH0:mA=mB.

ChoixdeH1:mA?=mB.

AetB?.

?7),doncD ?2 ?1).En particulier,onap( ?t?D ?2 ?7?t)=0 ?95lorsquet=1 ?96,etdoncp(?5 ?29?D?5 ?29)=0 ?95.

Region critiqueRegion critique

0, 95

0-5, 295, 29

On accepte H0

?´Enonc´edelaregleded´ecision ?¯xA. sid ?[?5 ?29;5 ?29]onaccepteH0. sid ?[?5 ?29;5 ?29]onrejetteH0etonaccepteH1.

8.4Utilisationdutest

?Calculded

Onad=¯xB

?¯xA=779 ?6?774 ?7=4 ?9 ?Applicationdelaregleded´ecision

Comme4

?9 ?[?5 ?29;5 7

9.Undernierexemple

9.1D´enitionduprobleme

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