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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S? Nouvelle-Calédonie& Wallis etFutuna - 28 novembre 2017Exercice 14 points
Commun à tous lescandidats
Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.PartieA : Enutilisant le bus
On suppose dans cette partie que Sofia utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre
son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoireTBqui suit la loi
uniforme sur[12 ; 15].1.On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi uniforme sur un intervalle[a;b], alors pour
αetβtels quea?α?β?b, on aP(α?T?β)=β-α b-a. CommeTBsuit une loi uniforme sur[12 ; 15],P(12?TB?14)=14-1215-12=23.
2.La durée moyenne du trajet est donnée par l"espérance mathématique de la variable aléatoire.
On sait que si une variable aléatoireTsuit une loi uniforme sur un intervalle[a;b], alorsE(T)=a+b
2; donc la durée moyenne du trajet estE(TB)=12+152=13,5 minutes.
PartieB : Enutilisant son vélo
On suppose à présent que Sofia choisit d"utiliser son vélo.La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée parla variable aléatoireTVqui suit la loi
normale d"espéranceμ=14 et d"écart-typeσ=1,5.1.Si une variable aléatoireTsuit une loi normale de paramètresμetσ, alorsP(T<μ)=0,5.
CommeTVsuit la loi normale de paramètresμ=14 etσ=1,5, alorsP(TV<14)=0,5.2.La probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma est
P(12?TV?13)≈0,409 (trouvé à la calculatrice).PartieC : En jouantaux dés
Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dééquilibré à 6 faces.
Si elle obtient 1 ou 2, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note :Bl"évènement "Sofia prend le bus»;
Vl"évènement "Sofia prend son vélo»; Cl"évènement "Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre aucinéma».1.Sofia prend le bus quand elle obtient 1 ou 2 en lançant le dé, donc avec une probabilité de1
3. On résume les données dans un arbre pondéré : B 1/3C 2/3 C1/3 V 2/3C 0,409C0,591
D"après la formule des probabilités totales :P(C)=P(B∩C)+P(V∩C)≈13×23+23×0,409≈0,49.
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.Sachant que Sofia a mis entre 12 et 14 minutes pour se rendreau cinéma, la probabilité, arrondie
à 10
-2, qu"elle ait emprunté le bus estPC(B)=P(B∩C)P(C)≈2
90,49≈0,45.
Exercice 25 points
Commun à tous lescandidats
On considère la fonctionfdéfinie sur ]0 ;+∞[ parf(x)=?ln(x)?2 x. On noteCla courbe représentative defdans un repère orthonormé.1.On cherche la limite de la fonctionfen 0 :
lim x→0 x>0ln(x)=-∞ =?limx→0 x>0? ln(x)?2=+∞ lim x→0 x>01 x=+∞??????? =?limx→0 x>0? ln(x)?2x=+∞et donc limx→0 x>0f(x)=+∞ On en déduit que la droite d"équationx=0 est asymptote verticale à la courbeC.2. a.On sait que pour touta>0, ln??
a?=12ln(a).On en déduit que, pourx>0,?ln??
x??2=?12ln(x)? 2 =14?ln(x)?2.On a donc pour toutxde]0 ;+∞[:
4?ln??
x??x? 2 =4?ln?? b.En utilisant cette écriture def(x), on cherche la limite def(x) en+∞: lim x→+∞? x=+∞On poseX=?
x limX→+∞ln(X)
X=0???????
=?limx→+∞ln?? x??x=0 donc limx→+∞f(x)=0.On en déduit que l"axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonc-
tionfau voisinage de+∞.3.On admet quefest dérivable sur]0 ;+∞[et on notef?sa fonction dérivée.
a.Pour toutxde]0 ;+∞[,f?(x)=21 xln(x)×x-?ln(x)?2×1 x2=ln(x)?2-ln(x)?x2. b.On étudie le signe def?(x) au moyen d"un tableau. ln(x)>0??x>1 et 2-ln(x)>0??2>ln(x)??e2>x??xCorrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
4.D"après le tableau de variations précédent, on peut dire quel"équationf(x)=1 admet une solu-
tion unique sur]0 ;+∞[et que cette solutionαappartient à l"intervalle]0 ; 1[.?f(0,4)≈2,1>1
f(0,5)≈0,96<1=?α?]0,4 ; 0,5[?f(0,49)≈1,04>1 f(0,50)≈0,96<1=?α?]0,49 ; 0,50[Exercice 33 points
Commun à tous lescandidats
PartieA
Soit la fonctionfdéfinie sur l"ensemble des nombres réels parf(x)=2ex-e2x etCsa représentation graphique dans un repère orthonormé. On admet que, pour toutxappartenant à[0 ; ln(2)],f(x) est positif.PropositionA :
L"aire du domaine délimité par les droites d"équationsx=0 etx=ln(2), l"axe des abscisses et la courbe
Cest égale à 1 unité d"aire.
Commelafonctionfestpositivesur[0; ln(2)],l"airedudomaineestégaleàA=? ln(2) 0 f(x)dx. La fonctionfa pour primitive la fonctionFdéfinie surRparF(x)=2ex-e2x 2.DoncA=F(ln(2))-F(0)=?
2×2-4
2? 2-12? =12.PropositionA fausse
PartieB
Soitnun entier strictement positif.
Soit la fonctionfndéfinie sur l"ensemble des nombres réels parfn(x)=2nex-e2xetCnsa représen-
tation graphique dans un repère orthonormé. On admet quefnest dérivable et queCnadmet une tangente horizontale en un unique pointSn.PropositionB :
Pour tout entier strictement positifn, l"ordonnée du pointSnestn2. C nadmet une tangente horizontale au pointSnd"abscisseαoùfn(α)=0. f Donc le pointSna pour abscisse ln(n); son ordonnée est f(ln(n))=2neln(n)-e2ln(n)=2n2-n2=n2.PropositionB vraie
Exercice 43 points
Commun à tous lescandidats
On considère la suite des nombres complexes
(zn)définie pour tout entier naturelnparzn=1+i (1-i)n.1.Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn.
a. zn+4 zn=1+i (1-i)n+4 1+i (1-i)n= 1+i (1-i)n+4×(1-i)n1+i=1(1-i)4 (1-i)4=?(1-i)2?2=?1-2i+i2?2=(-2i)2=4i2=-4. Donczn+4 zn=-14?R. b. zn+4 zn=-14??zn+4=-14znqui entraîne-----→OAn+4=-14---→OAnet on en déduit que les vecteurs-----→OAn+4et---→OAnsont colinéaires, ce qui signifie que les points O,AnetAn+4sont alignés.
Nouvelle-Calédonie & Wallis et Futuna328 novembre2017Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.On sait que pour deux nombres complexesz1etz2non nuls, arg?z1z2?
=arg(z1)-arg(z2)[2π]. arg(1+i)=π4[2π]et arg(1-i)=-π4[2π]donc arg(1-i)n=-nπ4[2π]
On a alors : arg
?1+i (1-i)n? =arg(1+i)-arg((1-i)n)[2π]=?π4? -nπ4? [2π]=(n+1)π4[2π] Le nombreznest réel si et seulement si son argument est égal àkπaveck?Z: (n+1)π4=kπ??n+1=4k??n=4k-1 aveck?Z.
Le nombreznest réel si et seulement sin=4k-1 aveck?Z.Exercice 55 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Soit (un)la suite définie paru0=3,u1=6 et, pour tout entier natureln:un+2=54un+1-14un.
PartieA :
On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite(un)à l"aide d"un tableur.On a reproduit ci-dessous une partie d"une feuille de calcul, où figurent les valeurs deu0et deu1.
1.La formule àsaisir dans la cellule B4, puis àrecopier vers lebas, permettant d"obtenir des valeurs
de la suite (un)dans la colonne B est= 5*B3/4 - B2/42.On complète le tableau donné dans le texte avec des valeurs approchées à 10-3près deun:
AB 1nun 203316