EXERCICE 1 : Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (CD), (AB) et (IE) sont concourantes Coordonnées des points de la figure : A(4 ; 0), B(0 ; 3),
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et L le barycentre de (B 3), (D,-1) Le but de la question est de démontrer que les droites (CD), (LJ) et (KI) sont concourantes 1) En vous aidant de la partie A :
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EXERCICE 1 : Le but de l'exercice est de démontrer que les droites (CD), (AB) et (IE) sont concourantes.
Coordonnées des points de la figure : A(4 ; 0), B(0 ; 3), C(1 ; 3), D(4 ; 2), E(0 ; 2).1. L'équation de la droite (EI) :
comme les abscisses de E et I sont différentes, l'équation est de la forme y = mx + p avec m = yI?yE xI?xE = 0?21?0 = - 2 et p = yE - mxE = 2 - (- 2)?0 = 2 ; donc l'équation de la droite (EI) est y = - 2x + 2.
L'équation de la droite (AB) :
comme les abscisses de A et B sont différentes, l'équation est de la forme y = mx + p avec m = yB?yA xB?xA = 3?00?4 = ?3
4 et p = yB - mxB = 3 - ?3
4?0 = 3 ; donc l'équation de la droite (AB) est y = ?3
4x + 3.
2. Les coordonnées du point F, intersection de ces deux droites vérifient le système d'équations
y??2x?2 y??3 4x?3 . On a alors - 2x + 2 = ?34x + 3 équivaut à - 2x + 3
4x = 3 - 2 équivaut à ?5
4x = 1 équivaut à
x = ?45 = - 0,8 ; et y = - 2??4
5 + 2 = 8
5 + 2 = 18
5 = 3,6. Donc F(- 0,8 ; 3,6).
3. Pour démontrer que les points C, D et F sont alignés, on détermine le coefficient directeur des droites (CD) et
(CF) : coefficient directeur de (CD) : m = yC?yD xC?xD = 3?21?4 = ?1
3. coefficient directeur de (CF) : m = yC?yF xC?xF = 3?3,61???0,8? = ?0,6
1,8 = ?6
18 = ?1
3.Les deux coefficients directeurs sont égaux, donc les droites (CD) et (CF) sont parallèles, et les points C, D et F
sont alignés.4. Ainsi, les trois droites (EI), (AB) et (CD) sont concourantes en F.
EXERCICE 2 : On considère le repère orthonormé (O ; I, J) et les points A(6 ; 0) et M(2 ; 0).
OABC est un carré ; OM = CN et OMDN est un rectangle. Les droites (BD) et (MN) se coupent en H.1. Les coordonnées des points B(6 ; 6), N(0 ; 4) et D(2 ; 4).
2. a) L'équation de la droite (MN) :
comme les abscisses de M et N sont différentes, l'équation est de la forme y = mx + p avec m = yM?yN xM?xN = 0?42?0 = - 2 et p = yN - mxN = 4 - (- 2)?0 = 4 ; donc l'équation de la droite (MN) est y = - 2x + 4.
L'équation de la droite (BD) :
comme les abscisses de B et D sont différentes, l'équation est de la forme y = mx + p avec m = yB?yD xB?xD = 6?46?2 = 1
2 et p = yB - mxB = 6 - 1
2?6 = 3 ; donc l'équation de la droite (BD) est y = 1
2x + 3.
b) Les coordonnées du point H, intersection de ces deux droites vérifient le système d'équations
y??2x?4 y?1 2x?3 . On a alors - 2x + 4 = 12x + 3 équivaut à - 2x - 1
2x = 3 - 4 équivaut à ?5
2x = - 1 équivaut à
x = 25 = 0,4 ; et y = - 2?2
5 + 4 = ?4
5 + 4 = 16
5 = 3,2. Donc H(0,4 ; 3,2).
3. Pour démontrer alors que le triangle MHB est rectangle en H, on calcule les longueurs des côtés du triangle :
MH = ??xH?xM?2??yH?yM?2 = ??0,4?2?2??3,2?0?2 = ?2,56?10,24 = ?12,8 ; MB = ??xB?xM?2??yB?yM?2 = ??6?2?2??6?0?2 = ?16?36 = ?52 = 2?13 ; HB = ??xB?xH?2??yB?yH?2 = ??6?0,4?2??6?3,2?2 = ?5,62?2,82 = ?39,2 ;On a HB² + MH² = 39,2 + 12, 8 = 52 = MB² ; donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle