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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRE (Partie 2) I. Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme
ax 2 +bx+c=0 où a, b et c sont des réels avec a≠0 . Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax 2 +bx+c . Exemple : L'équation 3x 2 -6x-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ax 2 +bx+c , le nombre réel, noté Δ, égal à b 2 -4ac . Exemple : Le discriminant de l'équation 3x 2 -6x-2=0est : ∆ = (-6)2 - 4 x 3 x (-2) = 36 + 24 = 60. En effet, a = 3, b = -6 et c = -2. Propriété : Soit Δ le discriminant du trinôme
ax 2 +bx+c . - Si Δ < 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 n'a pas de solution réelle. - Si Δ = 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 a une unique solution : x 0 b 2a . - Si Δ > 0 : L'équation ax 2 +bx+c=0 a deux solutions distinctes : x 1 -b-Δ 2a et x 2 -b+Δ 2a. - Admis - Méthode : Résoudre une équation du second degré Vidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE Résoudre les équations suivantes : a)
2x 2 -x-6=0 b) 2x 2 -3x+ 9 8 =0 c) x 2 +3x+10=0 a) Calculons le discriminant de l'équation 2x 2 -x-6=0: a = 2, b = -1 et c = -6 donc Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 x 2 x (-6) = 49. Comme Δ > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : ()
1 1493 2222
b x a 2 149
2 222
b x a
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frb) Calculons le discriminant de l'équation
2x 2 -3x+ 9 8 =0 : a = 2, b = -3 et c = 9 8 donc Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4 x 2 x 9 8 = 0. Comme Δ = 0, l'équation possède une unique solution : x 0 b 2a -32×2
3 4 c) Calculons le discriminant de l'équation x 2 +3x+10=0: a = 1, b = 3 et c = 10 donc Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 x 1 x 10 = -31. Comme Δ < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. II. Factorisation d'un trinôme Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par
f(x)=ax 2 +bx+c . - Si Δ = 0 : Pour tout réel x, on a : f(x)=a(x-x 0 2 . - Si Δ > 0 : Pour tout réel x, on a : ()() 12 ()fxax xxx=--. - Admis - Remarque : Si Δ < 0, on n'a pas de forme factorisée de f. Méthode : Factoriser un trinôme Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8 Factoriser les trinômes suivants : a)
4x 2 +19x-5 b) 9x 2 -6x+1 a) On cherche les racines du trinôme 4x 2 +19x-5 : Calcul du discriminant : Δ = 192 - 4 x 4 x (-5) = 441 Les racines sont : x 1 -19-4412×4
=-5 et x 2 -19+4412×4
1 4On a donc : ()()
2 1 5 4 419541
4 5 xxxx xx
. Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses.
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frb) On cherche les racines du trinôme
9x 2 -6x+1 : Calcul du discriminant : Δ = (-6)2 - 4 x 9 x 1 = 0 La racine (double) est : x 0 -62×9
1 3On a donc : ()
2 2 2 1 3 9613 9 1 xxx x
III. Signe d'un trinôme Vidéo https://youtu.be/sFNW9KVsTMY Vidéo https://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q Remarque préliminaire : Pour une fonction polynôme de degré 2 définie par
f(x)=ax 2 +bx+c: - si a > 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le haut : - si a < 0, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le bas : Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ℝ par
f(x)=ax 2 +bx+c . - Si Δ < 0 : x -∞ f(x) Signe de a - Si Δ = 0 : x -∞ x 0 f(x) Signe de a O Signe de a - Si Δ > 0 : x -∞ x 1 x 2f(x) Signe de a O Signe de -a O Signe de a a>0a<0a>0a<0a>0a<0L'équationf(x)=0n'apasdesolutiondonclacourbedefnetraversepasl'axedesabscisses.L'équationf(x)=0aunesolutionuniquedonclacourbedefadmetsonextremumsurl'axedesabscisses.L'équationf(x)=0adeuxsolutionsdonclacourbedeftraversel'axedesabscissesendeuxpoints.
4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre une inéquation Vidéo https://youtu.be/AEL4qKKNvp8 Résoudre l'inéquation suivante :
x 2 +3x-5<-x+2On commence par rassembler tous les termes dans le membre de gauche afin de pouvoir étudier le signe du trinôme.
x 2 +3x-5<-x+2équivaut à
x 2 +4x-7<0Le discriminant de
x 2 +4x-7 est Δ = 42 - 4 x 1 x (-7) = 44 et ses racines sont : x 1 -4-442×1
=-2-11 et x 2 -4+442×1
=-2+11On obtient le tableau de signes : x -∞
-2-11 -2+11f(x) + O - O + L'ensemble des solutions de l'inéquation
x 2 +3x-5<-x+2 est donc -2-11;-2+11. Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. Un logiciel de calcul formel permet également de contrôler le résultat : Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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