Calcul du PGCD Définition : Le PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de deux entiers est le plus grand nombre capable de diviser 2 entiers de manière
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Calcul du PGCD Définition : Le PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de deux entiers est le plus grand nombre capable de diviser 2 entiers de manière
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Pour trouver le PGCD, on ne prend que les nombres premiers communs, et ce, affectés de la plus petite puissance : PGCD(120; 84) = 22 × 3 Exercice : calculer
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La méthode précédente, connue sous le nom d'algorithme d'Euclide, permet le calcul effectif du pgcd de deux entiers naturels Sa programmation est facile
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Multiples, diviseurs, PPCM (Plus Petit Commun Multiple) et PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) 1°) Remarque préalable : ce qui est dit ici concerne les
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Option Algèbre et Calcul Formel Calcul du pgcd de deux entiers 1 Algorithme d' euclide On se propose d'étudier l'e cacité respective de di érents algorithmes
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Leçon 142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul Applications Développements : Algorithme de Berlekamp, Décodage des codes BCH Bibliographie :
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I) Calcul du PGCD par soustractions successives • Définition: Pour deux entiers a et b, le PGCD(a,b) est le plus grand de leurs diviseurs communs • Propriété
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2) Méthodes de calcul du PGCD: A) Méthode des soustractions successives : Soient a et b deux nombres entiers naturels tel que a ≥ b , PGCD (a ; b) = PGCD
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Calcul du PGCDDéfinition :
Le PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de deux entiers est le plus grand nombre capable de diviser 2 entiers de manière complète sans laisser de reste et ceci doit être valable pour le premier comme pour le deuxième de ces entiers.Exemple 1 : Le PGCD de 12 et de 18 c'est 6. Comment peut on arriver à définir ce PGCD ?On utilise la décomposition en facteur premier pour réaliser un tel calcul12 = 22 . 3 18 = 2 . 32
J'utilise une fois chaque facteur présent dans les 2 nombres décomposésLe facteur 2 et le facteur 3 sont présents dans la décomposition de 12 et 18Donc je prends 2 et 3 que je multiplie pour obtenir le PGCD2. 3 = 6 Exemple 2 :
Le PGCD de 120 et de 630120 = 23 . 3 . 5630 = 2 . 32 . 5 . 7Dans cet exemple on remarque les facteurs communs sont :
2 3 et 5 Le 7 n'est pas utilisé car il n'est pas présent dans les deux Décomposition.PGCD de 120 et 630 = 2 . 3 . 5 = 30 120 se divise par 30 le quotient est 4630 se divise par 30 le quotient est 21ApplicationSi je dois transformer la fraction je sais que je peux diviser par 30 et ma fraction sera complètement réduite en
Remarque :
Si nous sommes en présence de deux décompositions et que le résultat de cesdécompositions nous donne des facteurs premiers répétés avec des exposants différents,
on doit prendre les facteurs premiers qui ont le plus petit exposant.Exemple : Je dois trouver le PGCD de 13824 et 1440Je décompose en facteur premier ces 2 nombres :13824 = 29 . 33 et 1440 = 25 . 32 . 5
Je remarque que j'ai le facteur 2 et le facteur 3 apparaissent dans ces décompositionsavec des exposants qui ont une valeur différente.Dans ce cas, je prends les facteurs dont l'exposant est le plus petit.Pour réaliser le PGCD ci-dessus, je prendrai donc le 25 car il est plus petit que le 29
Et le 32 car il est plus petit que le 33.
Résultat de cette recherche de PGCD.PGCD de 13824 et 1440 25 . 32 = 32 x 9 = 288Contrôle 13824 : 288= 48 1440 : 288= 5Règle à retenir pour calculer un PGCD.