B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaire Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux Démonstration Soient a et b deux réels
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B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaire Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux Démonstration Soient a et b deux réels
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La somme de deux nombres de même parité est un nombre pair nombre impair peut s'écrire comme la différence des carrés de deux entiers naturels
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Les racines carrées étant des nombres positifs, A et B sont donc deux nombres positifs : ils sont donc rangés dans le même ordre que leur carrés A2 = 18 2
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RACINE CARREE D'UN NOMBRE POSITIF 1 I) Définition et conditions d' existence de la racine carrée d'un nombre 1) Définition Il existe deux nombres tel
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Est-ce que tout nombre entier peut s'écrire sous la forme d'une somme de deux carrés ? Quels sont les nombres n tels que n = a2 + b2, avec a et b des entiers
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Si un nombre entier n est la somme de deux carrés différentsi le nombre fj m n ' j i carré; si m est impair et égal à 2 i + i , nous aurons 2î*(fl — b)K Donc 2
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appliqué à q donc q est lui aussi divisible par 2 bilan si il existait un nombre rationnel dont le carré est 2 on pourrait trouver : deux nombres entiers et tels que :
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premiers chiffres et ses trois derniers forment deux nombres consécutifs 183 et 184 Certains nombres entiers sont égaux à la somme de deux carrés C'est le
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carré se termine par 2 Est-il possible que le carré d'un entier soit égal au double du carré d'un autre : 2 2 2n m = ? Conclusion On constate que le nombre
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Racine carréeA- DéfinitionLa racine carrée d'un réel positif x est le nombre positif noté xdont le carré est égal à x.
Ainsi, pour tout réel positif x,
x2=x et x≥0.Attention : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée, en effet leur carré est positif.Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits; il est utile de lesreconnaître immédiatement : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, etc...En général on ne peut écrire que des valeurs approchées des racines carrées sous formedécimale. Ainsi :
2≈1,414; 3≈1,732; 5≈2,236B- Racines carrées et opérations 1- Propriété préliminaireDeux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux.DémonstrationSoient a et b deux réels positifs tels que a² = b².
On a alors a² - b² = 0, soit (a + b)(a - b) = 0. D'où les deux possibilités :-soit a + b = 0 et a = -b ce qui est impossible si a et b sont positifs-soit a - b = 0 et a = b.
2- PropriétésSoient a et b deux réels positifs. Comparons
ab et a×b.On a :
ab2 =ab en appliquant la définition des racines carrées, et a×b2 =a2×b2
=abOn en déduit que : ab=a×b.La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de cesnombres.On démontre qu'il en va de même pour les quotients.Si a et b sont deux nombres positifs avec b≠0, alors
a b= a b.AttentionIl n'y a pas de propriétés similaires pour l'addition et la soustraction.Le carré de
ab est a + b.Par contre le carré de
ab est ab2=a22 abb2=ab2 abComme les expressions
ab et ab n'ont en général pas le même carré, elles ne sont paségales. 3- Utilisation des carrés parfaitsSi a et b sont deux nombres positifs, on a l'égalité
a2b=ab.KB 1 sur 2
En effet, a2b=a2b=abCette égalité permet de transformer certaines racines carrées et parfois de les ajouter ou de lessoustraire en faisant apparaître un facteur commun.Etudions les nombres
12 et 27.En remarquant que 12 et 27 sont divisibles par des carrés parfaits (12 = 4 × 3 et 27 = 9 × 3),nous pouvons écrire :
12=4 ×3=4×3=2 3 et 27=9 ×3=9×3=3 3.
Ainsi, la somme de
12 et 27 est 1227=2 333=53.C- Dénominateurs rendus rationnelsLorsque des quotients contiennent des racines carrées au dénominateur, il peut être intéressantde les faire disparaître du dénominateur, par exemple pour effectuer des additions. On utilise pour cela la propriété de simplification des quotients : on ne change pas la valeurd'un quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. 1- Premier casSoient a et b deux réels, b étant positif et non nul. On a alors l'égalité : a
b=a b b . Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par b.Exemple
1 2=1 ×2 2×2=2 2.2- Deuxième casSoient a et b deux réels positifs différents. On a l'égalité :
1 ab=a-b a-b. Il a suffi de multiplier le numérateur et le dénominateur par a-b pour obtenir : 1 ab=1 a-b a-b.L'idée est de faire apparaître l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² sous la forme