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Caractérisation vectorielle du

centre de gravité d'un triangle

Soit G le centre de gravité du triangle ABC

B' A' C' C B A G

On veut démontrer que :

0GCGBGA

GA GB GC

On trace le symétrique D de

G par rapport à A'.

On peut démontrer que le quadriletère GCDBest unparallélogramme.

Pour les vecteurs, cela signifie que :

B' A' C' C B A G CDGB

De plus, G est le milieu de [AD], donc :

0GDGA D

GCGBGAGCCDGA

GDGA 0 CDGB

On sait que

donc on obtient :et que 0GDGA

Mais qu'en est-il de la réciproque ?

Réciproquement, si un point T vérifie

Utilisons la relation de Chaslespour exprimer le vecteur TG :

D'où T = G

0 car G est le centre de gravité!

0

TCTBTA

0

GCTGGBTGGATG

03GCGBGATG

03 TG

Ansi, si un point T vérifie

0

TCTBTA

Alors T est le centre de gravité du triangle ABC. Retrouvons la position du centre de gravité à l'aide d'un calcul vectoriel

Le centre de gravité du triangle est

situé aux deux tiers de la médiane en partant du sommet. Introduisons A' milieu de [BC] :

0GCGBGA

0

ACGAABGAGA

0''''3

CAAABAAAGA

0'''23CABAAAGA

0'23 AAGA '32AAAG

0''CABA

B' A' C' C B A G

Conclusion

B' A' C' C B A G

1) Si G est le centre de gravité du triangle

ABC, alors :

2) Réciproquement, si un point vérifie

Alors, c'est le centre de gravité du triangle ABC.

3) G est situé au deux tiers de la médiane en partant du sommet.

Ce qui peut s'écrire :

0GCGBGA

0

TCTBTA

3 2 3 2 3 2

CCCGBBBGAAAG

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