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?Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane?

7 septembre2017

Exercice 17 points

Commun à tous lescandidats

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail :

le vélo ou les transports en commun.

PartieA

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n"est pas ensoleillée, Romane se déplaceen vélo 6 fois sur 10.

La probabilité qu"une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notéep.

Pour une journée donnée, on note :

•El"évènement "La journée est ensoleillée»; •Vl"évènement"Romane se déplace en vélo».

1.On construit l"arbre pondéré représentant la situation :

E p V0,9

V1-0,9=0,1

E

1-pV0,6

V1-0,6=0,4

2.D"après la formule des probabilités totales, la probabilité que Romane se déplace en vélo lors

d"une journée donnée est :

P(V)=P(E∩V)+P(

3.On constate que dans 67,5% des cas, c"est en vélo que Romane sedéplace entre son domicile et

son lieu de travail, doncP(V)=0,675. a.

P(V)=0,3p+0,6

P(V)=0,675?

=?0,3p+0,6=0,675??0,3p=0,075??p=0,075 0,3 doncp=0,25

b.Sachant que Romane s"est déplacée en vélo, la probabilité que la journée soit ensoleillée est :

P

V(E)=P(V∩E)

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son

domicile et son lieu de travail par une variable aléatoireTVsuivant une loi normale d"espéranceμVet

d"écart-type 1 minute.

Lorsqu"elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en

minutes, parunevariablealéatoireTCsuivant uneloinormaled"espéranceμCetd"écart-type3minutes.

1.On nommeCCetCVles courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires

T VetTCreprésentées dans la figure ci-dessous.

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24temps en minutes

Les deux courbessont symétriques par rapport aux deux droitesverticalest=14 ett=16 doncles lois normales ont pour espérances 14 et 16.

L"écart-type est un paramètre de dispersion autour de l"espérance; plus cet écart-type est petit,

plus la courbeest resserréeautour del"espérance. Donclacourbeayantpour espérance 14 corres-

pond à l"écart-type le plus petit, donc 1 qui correspond au trajet en vélo;μV=14 et doncμC=16.

2.La probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes est

P(10?TV?15) sachant queTVsuit la loi normale d"espérance 14 et d"écart-type 1; on trouve à la calculatrice :P(10?TV?15)≈0,8413.

3.Pour savoir quel mode de déplacement Romane doit privilégier si elle souhaite mettre moins de

15 minutes pour se rendre au travail, il faut comparerP(TV?15) àP(TC?15).

•P(TV?15)?P(10?TV?15) doncP(TV?15)?0,84. •P(TC?15)P(TC?15) donc il vaut mieux privilégier le vélo si Romane souhaitemettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail.

PartieC

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonc-

tionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notéeX, suivant une loi exponen-

tielle de paramètreλ, réel strictement positif.

La fonction de densité associée est donc la fonctionfdéfinie sur[0 ;+∞[parf(t)=λe-λt.

1.Soitbun réel positif.

La fonctionfa pour primitive sur[0 ;+∞[la fonctionFdéfinie parF(t)=-e-λt.

DoncP(X?b)=?

b 0

λe-λtdt=?

F(t)? b

0=F(b)-F(0)=-e-λb-?-e0?=1-e-λb.

7 septembre 20172Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On sait que la probabilité que l"ampoule fonctionne encore après 50 heures d"utilisation est 0,9 ce

qui veut dire queP(X?50)=0,9. P(X?50)=0,9??e-λ×50=0,9?? -50λ=ln(0,9)??λ=-ln(0,9) 50

b.La probabilité que la durée de fonctionnement de l"ampoule soit supérieure à 250 heures

sachant que l"ampoule a déjà fonctionné 200 heures estP(X?200)(X?250). La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement donc P (X?200)(X?250)=P(X?250-200)=P(X?50)=0,9

Exercice 23 points

Commun à tous lescandidats

Soit la suite de nombres complexes

(zn)définie par? z0=100 z n+1=i

3znpour tout entier natureln.

Pour tout entier natureln, on noteMnle point d"affixezn.

1.Les pointsMnetMn+2ont pour affixesznetzn+2.

z n+2=i

3zn+1=i3?

i3zn? =i29zn=-19zn

Le vecteur

OMn+2a pour affixezn+2et le vecteur----→OMna pour affixezn; orzn+2= -1

9zndonc

OMn+2= -1

9----→OMn. Les vecteurs-----→OMn+2et----→OMnsont colinéaires donc les points O,MnetMn+2

sont alignés quel que soitn.

2.Le pointMnappartient au disque de centre O et de rayon 1 si OMn?1. On sait que OMn=|zn|.

Soit (dn) la suite définie pour toutnpardn=|zn|.

On sait quezn+1=i

3zndonc??zn+1??=????i3zn????

=????i3????

×|zn|=13|zn|; donc, pour toutn,dn+1=13dn.

De plus,d0=|z0|=100.

La suite (dn) est définie pard0=100 etdn+1=1

3dn, pour toutn.

Donc la suite (dn) est une suite géométrique de premier termed0=100 et de raisonq=1 3. •-1D"après la définition dela limite d"une suite, on peut déduireque l"intervalle[0 ; 1[contient

tous les termes de la suite à partir d"un certain rang, ce qui répond à la question.

• On peut également déterminer le rangnà partir duquel tous les points sont situés dans le

disque (mais ce n"était pas explicitement demandé dans l"exercice). On cherchentel quedn<1. La suite (dn) est géométrique de premier termed0=100 et de raisonq=1

3donc, pour toutn,dn=d0×qndoncdn=100?13?

n

On résout l"inéquation :

d n<1??100?1 3? n <1???13? n <0,01??ln??13? n? ln(0,01) ln?13? Or ln(0,01) ln?13? ≈4,2 donc les pointsMnappartiennent au disque de centre O et de rayon 1 à partir den=5.

7 septembre 20173Antilles-Guyane

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice 35 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soit la fonctionfdéfinie et dérivable sur[1 ;+∞[parf(x)=1 xln(x). On noteCla courbe représentative defdans un repère orthonormé.

1.D"après le cours, limx→+∞ln(x)

x=0 donc limx→+∞f(x)=0 donc la courbe admet la droite d"équation y=0 (l"axe des abscisses) comme asymptote horizontale en+∞.

2.La fonctionfest dérivable sur[1 ;+∞[comme quotient de fonctions dérivables sur[1 ;+∞[:

f ?(x)=-1 x×x-ln(x)×1 x2=1-ln(x)x2.

3.On étudie le signe def?(x) sur[1 ;+∞[:

f ?(x)>0??1-ln(x) x2>0??1-ln(x)>0??1>ln(x)??e>x??xPartieB

On considère la suite

(un)définie parun=? 2 11 xn+1ln(x) dxpour tout entier natureln.

1.u0=?

2 11 xln(x)dx? 2 1 f(x)dx 1 xln(x)estdelaformeu?uquiapour primitive12u2;donclafonctionfapourprimitive sur[1; 2] la fonctionFdéfinie parF(x)=1 2? ln(x)? 2.

Doncu0=?

2 11 xln(x)dx=? F(x)? 2

1=F(2)-F(1)=12?

ln(2)? 2-12? ln(1)? 2=12? ln(2)? 2

La fonctionfest positive sur[1 ; 2]donc?

2 11 xln(x)dxest égale à l"aire, en unités d"aire, du domaine délimité par la courbeC, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=1 etx=2.

2.Pour toutxde[1 ; 2]: 1?x?2

??ln(1)?ln(x)?ln(2) la fonction ln est croissante sur[1 ; 2] ??0?ln(x)?ln(2) ??0?1 xn+1ln(x)?1xn+1ln(2)1xn+1>0 sur[1 ; 2]quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50