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Par lecture graphique, déterminer les limites aux bornes ouvertes de l'ensemble de définition 1° a) Calculer la limite en ∞ Exercice Soutien BTS Blanc

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[PDF] BTS limites exercices

Ex2 : On donne la courbe de deux fonctions et définies sur ∞; 3 ∪ 3 ; ∞ Par lecture graphique, déterminer les limites aux bornes ouvertes de l'ensemble de

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Par lecture graphique, déterminer les limites aux bornes ouvertes de l'ensemble de définition 1° a) Calculer la limite en ∞ Exercice Soutien BTS Blanc

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Ex1 : On donne la courbe de deux fonctions et définies sur ∞;3 ∪3;∞ . Par lecture graphique, déterminer les limites aux bornes ouvertes de l"ensemble de définition, puis dresser le tableau de variation. Préciser les éventuelles asymptotes. Ex2 : On considère la fonction définie sur 0;∞ par : 3 4 3 1

On note

sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1° a) Calculer la limite en ∞. Interpréter graphiquement.

b) Etudier la position de la courbe par rapport à la droite D d"équation 3. ☺ On calculera 3, puis on étudiera le signe de 3.

2° a) Déterminer la dérivée, et montrer que

b) Etudier le signe de ′

3° Dresser le tableau de variations complet de la fonction .

Ex3 : On donne le tableau de variation d"une fonction définie sur 1;∞

De plus, on sait :

coupe l"axe des abscisses en deux points d"abscisse 2 et 5

La droite d"équation 6 est asymptote à

en ∞.

Tracer les asymptotes et une courbe possible

1 3

0 1

Ex4 : (d"après ex171p90)

Soit la fonction définie sur 2;∞ par

2 4 2

1° Montrer que la droite D d"équation 2 est une asymptote oblique à la courbe

représentative de la fonction

2° Etudier la position de par rapport à .

3° Démontrer que "#$

Que peut-on en déduire pour la courbe

4° Compléter la figure avec les asymptotes.

5° On donne

a) Calculer ′ pour ∈ 2;∞ et retrouver le résultat donné par un logiciel de calcul formel. b) Etudier le signe de ′

6° Dresser le tableau de variation complet.

Ex2 : On donne la courbe de deux fonctions et définies sur ∞;3∪3;∞ .

Par lecture graphique, déterminer les limites aux bornes ouvertes de l"ensemble de définition, puis dresser le tableau

de variation. Préciser les éventuelles asymptotes.

Limites :

10; "#$→' 1

Asymptotes :

la droite d"équation 1 en ∞et en ∞; la droite d"équation 3

Tableau de variations :

∞ 3 ∞

1 1

2°

Limites : "#$

0; "#$→'

Asymptotes : la droite d"équation 0 en ∞; la droite d"équation 3 en ∞; la droite d"équation 3

Tableau de variations :

∞ 3 4 ∞ 0 + 0 2 Ex2 : On considère la fonction définie sur 0; +∞[ par : =3 + 4 + 3 + 1

1° a) Calculer les limites en +∞. Interpréter graphiquement.

est une fonction rationnelle,

3+ 4 + 3

+ 1= "#$→' 3 = "#$→'3 = 3 Ainsi = 3 et la droite d"équation = 3 est asymptote à (en +∞) b) Etudier la position de la courbe )* par rapport à la droite D d"équation + = ,.

On calcule :

- 3 =3 + 4 + 3 + 1- 3 =3 + 4 + 3 - 3 + 1 + 1=4 + 1

On étudie le signe :

0 +∞ 4

²+1

0 +

-3 0 + D"où est au-dessus de D sur ]0 ; +∞[ coupe D au point d"abscisse 0

2° Dérivée :

Pour ∈ [0 ; +∞[ = 3² + 4 + 3 . = 6 + 4 = ² + 1 / = 2

6 + 4×

+ 1- 2 ×

3+ 4 + 3

+ 1 6 (+ 4+ 6 + 4 - 6(- 8- 6 + 1=-4 + 4 + 1

De plus 4

1 -

1 + = 4

1 + - -

= 4

1 - = 4 - 4²

D"où

=4 1 - 1 + + 1²

2° b) Signe de *′

2 0 1 ∞ 4 1 1 1² + 0

3° Tableau de variation de la fonction *

0 1 ∞ + 0 5

3 3

Ex3 : On donne le tableau de variation d"une fonction définie sur 1;∞

De plus, on sait que :

coupe l"axe des abscisses en deux points d"abscisse 2 et 5

La droite d"équation 6 est asymptote à

en ∞.

Tracer les asymptotes et une courbe possible

1 3 ∞ 0 1 Ex4 : (d"après ex171p90) Soit la fonction définie sur 2;∞ par 2 4 2

1° Démontrer que la courbe

admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.

Ecart :

24
2

Limite en ∞ de l"écart :

2 ∞3456 "#$→' 4 2 0 →'7 28 0
Ainsi la droite d"équation 2 est asymptote oblique à

2° Etudier la position de

par rapport à . 2 ∞ 4 2

2 || +

Ainsi, la courbe est au-dessus de la droite

3° Démontrer que 9:;

2→<*

2 ∞ .

Que peut-on en déduire pour la courbe

2 0>?3456 "#$→@4 2 ∞ 2 4

D"où "#$

→@A 2

B ∞

Ainsi "#$

∞ et la droite D d"équation 2 est asymptote à .

4° Compléter la figure avec les asymptotes.

5° a) Calculer ′

pour ∈] - 2 ;+∞[ et retrouver le résultat donné par un logiciel de calcul formel. b) Etudier le signe de ′

6° Dresser le tableau de variation complet.

5° a) dérivée

Pour ∈] - 2 ;+∞[

= 1 - 4 ×-1 + 2 = 1 -4 + 2 + 2 - 4 + 2 + 2 + 2- 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 b) signe de ′ -2 0 +∞ +4 +2)² || - 0 +

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On note

1° a) Calculer la limite en ∞. Interpréter graphiquement.

2° a) Déterminer la dérivée, et montrer que

3° Dresser le tableau de variations complet de la fonction .

De plus, on sait :

La droite d"équation 6 est asymptote à

Tracer les asymptotes et une courbe possible

1 3

Ex4 : (d"après ex171p90)

Soit la fonction définie sur 2;∞ par

1° Montrer que la droite D d"équation 2 est une asymptote oblique à la courbe

2° Etudier la position de par rapport à .

3° Démontrer que "#$

Que peut-on en déduire pour la courbe

4° Compléter la figure avec les asymptotes.

5° On donne

6° Dresser le tableau de variation complet.

Limites :

Asymptotes :

Tableau de variations :

1 1

Limites : "#$

Tableau de variations :

1° a) Calculer les limites en +∞. Interpréter graphiquement.

3+ 4 + 3

On calcule :

On étudie le signe :

²+1

0 +

2° Dérivée :

6 + 4×

3+ 4 + 3

De plus 4

1 + = 4

1 + - -

1 - = 4 - 4²

D"où

2° b) Signe de *′

3° Tableau de variation de la fonction *

3 3

De plus, on sait que :

La droite d"équation 6 est asymptote à

Tracer les asymptotes et une courbe possible

1° Démontrer que la courbe

Ecart :

Limite en ∞ de l"écart :

2° Etudier la position de

2 || +

Ainsi, la courbe est au-dessus de la droite

3° Démontrer que 9:;

2→<*

2 ∞ .

Que peut-on en déduire pour la courbe

D"où "#$

B ∞

Ainsi "#$

4° Compléter la figure avec les asymptotes.

5° a) Calculer ′

6° Dresser le tableau de variation complet.

5° a) dérivée

Pour ∈] - 2 ;+∞[

6° tableau de variation

Exercice supplémentaire

Soit la fonction définie sur 1 ;+∞[ par