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Exercice 1 : Le flocon de Koch 1 Etude du nombre de côtés 1) C1 est le nombre de segments à la première étape donc C1 = 3 D'après la figure du livre on a 

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Exercice 2 Flocon de Von Koch Le flocon de Von Koch est une courbe fractale Pour le construire, on part d'un triangle équilatéral, on découpe chacun des 

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Exercice 1 (Le flocon de Koch) 1 Procédé itératif de construction a Décrire précisément la transformation suivante : // //

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Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch 1 Etude du nombre de côtés a Faisons un tableau sans donner d'explication n 1 2 3 4 Cn 3 12 48 192

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puis en fonction de n et n déduire e Le flocon de neige de Helge von Koch doc Groupe MathéTIC 1 3/10/2004 Page 2 b) Exprimer l'aire d'un triangle 

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Des suites associées aux flocons de Von Koch page 1 / 4 Pour cette étude on décide que le réel 1 est la longueur de chaque côté du premier flocon et on utilise 

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Exercice 1 : 1 Autant discuter le signe de x le Exercice 2 : 1 ∀n, sin (π 2 n ) ≤ 1 et vers des limites différentes Exercice 3-bis : Flocon de Von Koch 1

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Le triangle correspond au flocon de von Koch avec un degré de détail valant naturellement les résultats de l'exercice précédent et les fonctions affixe et point

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Il neige des flocons de Von Koch Pour obtenir un flocon de Von Koch, on considère un triangle équilatéral de 9 cm de côté sur lequel on procède au 

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iveau

Le flocon de neige de Helge von Koch

Fiche du professeur

N : 3e BCD

Sjuets et objectifs : Etude de deux suites géométriques. Notion de convergence et de divergence d'une suite

Cnonaissances préliminaires

Suites arithmétiques et géométriques

Notion de limite d'une suite

Enoncé

On considère les figures ci-dessous.

Etape 0 Etape 1 Etape 2

nt la longueur vaut A chaque étape de la construction on remplace chaque segment par quatre segments do 1 3 de celui qu'on remplace comme indiquée sur ent les figures n sa) Soi le nombre de segments à l'étape n, n l la longueur d'un segment à l'étape n et n p la longuale du flocon à l

Exprimer d'abord et

nn eur tot'étape n sl en fonction deet 11nn sl n p en fonction de n pour tout 0n. puis en fonction de n et n déduiree

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Groupe MathéTIC 1 3/10/2004

b) Exprimer l'aire d'un triangle équilatéral en fonction de la longueur d'un côté. c) Soit l'aire du flocon à l'étape n, n a

Exprimer a en fonction de n pour tout .

n 0n d) Représenter graphiquement les suites n n p et n n a e) Démontrer que les suites n n p et n n a sont strictement croissantes.

Dans la suite, on suppose que 1d.

e) Existe-t-il un nombre entier tel que ? ? ? n 6 10 n p 9 10 n p 12 10 n p

Justifier la réponse.

Quelle semble être la limite de

n p quand n tend vers l'infini ? f) Calculer a et . 1020
,a 30
a Quelle semble être la limite de quand n tend vers l'infini ? Démontrer. n a

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Réponse

a) 2

010211

3;443;443;434

n nn sssssss 011 012 2

333333

n n n ldldld ldlll 4 343
33
nn n nnn d psld

A l'aide d'un tableau :

Etape 0 1 2 3 n

Nombre de

segments n s

3 12 48 192 34

n

Longueur

d'un segment l n d 3 d 9 d 27
d 3 n d

Périmètre

du flocon n p 3d 124
3 d d 48
9 d 192
27
d 4 3 3 n n pd b) Aire d'un triangle équilatéral en fonction de la longueur d'un côté : 2 3 4 Ac c) A l'aide d'un tableau :

Etape 0 1 2 3 n

Nombre de

triangles supplémentair es

1 3 12 48

1 341
n n

Longueur d'un

segment d 3 d 9 d 27
d 3 n d

Somme des

aires des triangles supplémentair es b n 2 3 4 d 2 3 3 43
d 2 3 12 49
d 2 3 48
427
d 2 1 3 34
43
n n d

Aire du flocon

n a 2 3 4 d 10 aab 1 21
aab 2 32
aab 3 0 1 n ni i aab

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2 2212
0 1 4 33
33323
9 ;34

4445203

n n i n i i d adadd d) On définit d'abord les deux suites par mode explicite dans l'éditeur Y= :

Représentationgraphiquede

n n p

Représentationgraphiquede

n n a

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e) 1 4 :0 3 n nnn n nppdp 2 1 4 3 9 :0 12 n nnn n d naaa d) A l'aide de la V200 69

4510;6910;9310

nn npnpnp 12 n

Il semble que : lim

n n p

Définition de li m

n n p 00 0: n

NnNnnpN

e)

102030

Il semble que : lim0,6928...

n n a

Démonstration :

0 0 4 33
2323
9 limlim0,69282032302... 5205
n n nn a

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