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Exercices de Mathématiques 1 et 2 avec corrigés

Licence première année Science de la

matière.L1-SM-

Mme Chebbah née Bessai Naima

01/10/2018

Table des matières

1 Introduction 1

2 Ensembles-Applications- 3

2.1Les Ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Relations d"Equivalences et Relations d"Ordre 9

3.1 Relations d"Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Relations d"Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Structure algébrique 13

5 Limites,continuité et dérivabilité 19

6 Développement limité 31

7 Les éspaces véctoriels 39

8 Applications Linéaires 45

9 Matrices et Systèmes Linéaires 53

10 Les Intégrales Simples 65

iii ivTABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

Ce polycopié est destiné aux étudiants de première année du système Licence- Master -Doctorat (L.M.D),spécialité :Science de la Matière (SM) et Sciences et du module de Mathématiques1 et Mathématiques 2 proposés durant les travaux pratiques depuis 2004 .Et ça permet aux etudiants de mieux comprendre les Je tiens à remercier Mme Hamza Aicha et Mme Bourega Dalila d"avoir accépter d"exepertiser ce polycopié et d"avoir participer à son enrichissement par leurs avis et conseils. Tout commentaire ,proposition ou critique constructive permettant l"amé- lioration de ce travail sera recueilli avec un grad intéret. 1

2CHAPITRE 1.INTRODUCTION

Chapitre 2

Ensembles-Applications-

2.1 Les Ensembles

Exercice 1

SoientEun ensemble,A;B;C;Ddes sous ensembles deE:Montrer que :

1.AB,A\B=A,A[B=B,BA:

2.A\B=A\C()A\B=A\C

3. ComparerB1=A\(B[C)AvecB2= (A\B)[C

4. Simpli...er :B3=A\A[B\A[B[C

etB4=A[A\B[A\B\C

Remarque :Adésigne le complémentaire deA:

Solution 1

1).AB,A\B=A,A[B=B,BA:

Cela revient à montrer que :

a)AB,A\B=A b)AB,A[B=B c)AB,BA

Montrons a)AB,A\B=A

supposons queABet montrons que :A\B=Ac"est à dire :8 :A\BA et AA\B

On a toujours :A\BA, montrons que :AA\B

Pour cela soitx2A,commeABalorsx2B

On a :x2Aetx2BalorsxA\Bd"ouAA\B

Inversement: supposons queA\B=Aet montrons que :AB Pour cela soitx2A,commeA=A\Balorsx2A\Bce qui donne :x2B

Montrons b)AB,A[B=B

4CHAPITRE 2.ENSEMBLES-APPLICATIONS-

Supposons queABet montrons que :A[B=Bc"est à dire :8 :A[BB et BA[B

On a toujours :BA[B, montrons que :A[BB

Pour cela soitx2A[B)x2Aoux2Bet commeABalorsx2B

cela veut dire que :A[BB Inversement: supposons queA[B=Bet montrons que :AB

Pour cela soitx2A,commeAA[Balorsx2A[BorA[B=B

ce qui donne :x2B

Montrons c)AB,BA

supposons queABet montrons que :BA

Pour cela soitx2B)x =2Bet commeABalorsx =2A

cela veut dire quex2A

Inversement: supposons queBAet montrons que :AB

Pour cela soitx2A)x =2A,commeBAalorsx =2B

ce qui donne :x2B

2).A\B=A\C()A\B=A\C

Supposons que :A\B=A\Cet montrons que :A\B=A\C

On transforme l"égalitéA\B=A\Cpar complémentation on obtient :A[B=A[C

Composons par intersection avecA:A\A[B

=A\A[C

Appliquons la distributivité :

A\A [A\B =A\A [A\C

OrA\A=?

Par suite :A\B

=A\C Inversement: Supposons que :A\B=A\Cet montrons que :

A\B=A\C

On transforme l"égalitéA\B=A\Cpar complémentation on obtient :A[B=A[C

Composons par intersection avecA:A\A[B=A\A[C

Appliquons la distributivité :

A\A [(A\B) =A\A [(A\C)OrA\A=?

Par suite :(A\B) = (A\C)

3).ComparonsB1=A\(B[C)AvecB2= (A\B)[C

On a :B1=A\(B[C) = (A\B)[(A\C)Or :(A\C)C

Par suite :B1=A\(B[C)B2= (A\B)[C

4)!Simpli...ons:B3=A\A[B\A[B[C=A\A

[(A\B)\A[B[C= (A\B)\A[B[C= (A\B)\A\B[C= (A\B)\A\B[(A\B\C)

Or :(A\B)\A\B=?Ainsi :B3= (A\B\C)

!Simpli...ons:B4=A[A\B[A\B\C=A[A \(A[B)[A\B\C= (A[B)[A\B\C= (A[B)[A[B\C= (A[B)[A[B\(A[B[C)

Or :(A[B)[A[B=EAinsi :B4= (A[B[C)

Exercice 2

2.2.APPLICATIONS5

SoitEun ensemble etAetBdeux parties deE.On suppose que :

A\B6=;;A[B6=E;AB;BA

Calculer :

1.(A\B)\A\B

2. A\B \A\B 3.

A\B\A[B

4.(A\B)\A[B

5.(A\B)[A\B

[A\B[A[B

Solution 2

1.(A\B)\A\B

=A\B\B=A\ ;=; 2:A\B \A\B=A\B\A\B=A\A\B\B=;

3:A\B\A[B=A\B\A\B

=A\B\A\B=A\B\B=A\ ;=;

4:(A\B)\A[B= (A\B)\A\B

=A\B\A\B=A\A\B\B=;

5:(A\B)[A\B

[A\B[A[B = (A\B)[A\B [A\B[A\B (A\B)[A\B [A\B[A\B A\B[B [A\B[B = (A\E)[A\E=A[A=E

2.2 Applications

Exercice 3

1. Soitfl"applications deRversRdé...nie par

f(x) =2x1 +x2 :L"applicationfest-elle injective? surjective?

2. Soit l

0applicationfdé...nie par

f(x) =x+ 22x3 :Déterminerff,f1et(ff)1ainsi que leurs domaine de dé...nition .

6CHAPITRE 2.ENSEMBLES-APPLICATIONS-

3. Soit l

0applicationfdé...nie par

f(x) =1x

Déterminerffetf1:

4. Déterminerghethogpour les applications dé...nies deR+versR+par :

h(x) =pxetg(x) =x2

Solution 3

1) Soitfl"applications deRversRdé...nie parf(x) =2x1 +x2

L"applicationfn"est pas injective car :

f(2) =f12 =45 et26=12

L"applicationfn"est pas surjective car :

Poury= 2,f(x) = 2n"a pas de solution dansR:

2) Soit l

0applicationfdé...nie parf(x) =x+ 22x3:

Déterminonsff,f1et(ff)1ainsi que leurs domaine de dé...nition . D f=R32 ff(x) =f(f(x)) = x+ 22x3 + 22 x+ 22x3

3=5x44x+ 13

Domaine de dé...nition deffest : Dfof=R32

;134 !Calculons :f1(x)

Pour cela montrons quefest bijective.

ie :8y2R9x2R32 x unique = y=f(x)

Posonsf(x) =x+ 22x3=y)x=3y+ 22y1avecy6=12

Par suite :f1(x) =3x+ 22x1et le domaine de dé...nition def1est :Df1= R12 !Calculons :(ff)1(x) Pour cela : Posonsff(x) =5x44x+ 13=y)x=13y+ 44y+ 5quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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Licence première année Science de la

Mme Chebbah née Bessai Naima

01/10/2018

Table des matières

1 Introduction 1

2 Ensembles-Applications- 3

2.1Les Ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Relations d"Equivalences et Relations d"Ordre 9

3.1 Relations d"Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Relations d"Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Structure algébrique 13

5 Limites,continuité et dérivabilité 19

6 Développement limité 31

7 Les éspaces véctoriels 39

8 Applications Linéaires 45

9 Matrices et Systèmes Linéaires 53

10 Les Intégrales Simples 65

Chapitre 1

Introduction

2CHAPITRE 1.INTRODUCTION

Chapitre 2

Ensembles-Applications-

2.1 Les Ensembles

Exercice 1

1.AB,A\B=A,A[B=B,BA:

2.A\B=A\C()A\B=A\C

3. ComparerB1=A\(B[C)AvecB2= (A\B)[C

4. Simpli...er :B3=A\A[B\A[B[C

Remarque :Adésigne le complémentaire deA:

Solution 1

1).AB,A\B=A,A[B=B,BA:

Cela revient à montrer que :

Montrons a)AB,A\B=A

On a toujours :A\BA, montrons que :AA\B

Pour cela soitx2A,commeABalorsx2B

On a :x2Aetx2BalorsxA\Bd"ouAA\B

Montrons b)AB,A[B=B

4CHAPITRE 2.ENSEMBLES-APPLICATIONS-

On a toujours :BA[B, montrons que :A[BB

Pour cela soitx2A[B)x2Aoux2Bet commeABalorsx2B

Pour cela soitx2A,commeAA[Balorsx2A[BorA[B=B

Montrons c)AB,BA

Pour cela soitx2B)x =2Bet commeABalorsx =2A

Inversement: supposons queBAet montrons que :AB

Pour cela soitx2A)x =2A,commeBAalorsx =2B

2).A\B=A\C()A\B=A\C

Supposons que :A\B=A\Cet montrons que :A\B=A\C

Composons par intersection avecA:A\A[B

Appliquons la distributivité :

OrA\A=?

Par suite :A\B

A\B=A\C

Composons par intersection avecA:A\A[B=A\A[C

Appliquons la distributivité :

Par suite :(A\B) = (A\C)

3).ComparonsB1=A\(B[C)AvecB2= (A\B)[C

On a :B1=A\(B[C) = (A\B)[(A\C)Or :(A\C)C

Par suite :B1=A\(B[C)B2= (A\B)[C

4)!Simpli...ons:B3=A\A[B\A[B[C=A\A

Or :(A\B)\A\B=?Ainsi :B3= (A\B\C)

Or :(A[B)[A[B=EAinsi :B4= (A[B[C)

Exercice 2

2.2.APPLICATIONS5

A\B6=;;A[B6=E;A*B;B*A

Calculer :

1.(A\B)\A\B

A\B\A[B

4.(A\B)\A[B

5.(A\B)[A\B

Solution 2

1.(A\B)\A\B

3:A\B\A[B=A\B\A\B

4:(A\B)\A[B= (A\B)\A\B

5:(A\B)[A\B

2.2 Applications

Exercice 3

1. Soitfl"applications deRversRdé...nie par

2. Soit l

A\B6=;;A[B6=E;AB;BA