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ASSERVISSEMENT

I - SYSTEMES ASSERVIS ʹ NOTIONS

A. Structure d'un système asservi

Nous allons dans un premier temps lister les éléments nécessaires pour réaliser un système asservi.

1. Présentation

sortie à la valeur désirée. Nous allons, pour établir la structure d'un système automatisé commencer par

étudier le fonctionnement d'un système du laboratoire de SI dans lequel l'homme est la " partie commande

a) Exemple : "régulation" de la vitesse du chariot de golf

Le golfeur décide de la vitesse avec laquelle il veut que le chariot avance en agissant sur un potentiomètre,

qui va régler la tension moteur. Si le golfeur arrive dans une montée, le chariot (bien chargé) va ralentir. L'utilisateur va alors constater cette diminution de vitesse, puis pour maintenir son allure, il va agir sur le potentiomètre afin de demander plus de puissance au moteur et ainsi redonner de la vitesse au chariot. L'utilisateur devrait faire l'action inverse dans une descente. b) Schéma de structure On peut donc définir la structure de la "régulation" par le schéma suivant

Ici, les actions 'mesurer', 'comparer' et 'réguler' sont assurées par l'utilisateur. Un asservissement consiste

à exécuter la même chose mais de manière automatique avec des composants électronique (le plus

souvent). On retrouve alors la même structure dans un système asservi. Ce type de système est appelé aussi système bouclé.

Consigne écart

loi de commande

Perturbations Sortie

réglée c COMPARER REGULER

AMPLIFIER AGIR

Mesure de

la sortie m İ s

MESURER

Chaîne d'action

Chaîne d'information

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2. Constituants

(a) Partie commande ou régulateur:

Le régulateur se compose d'un comparateur qui détermine l'écart entre la consigne et la mesure et d'un

correcteur qui élabore à partir du signal d'erreur l'ordre de commande.

Dans exemple ci-dessus, équivalent 'humain' : . . . . . . . . . . . . . .: . . . . . . . . . . . . . .

(b) Actionneur:

C'est l'organe d'action qui apporte l'énergie au système pour produire l'effet souhaité. Il est en général

associé à un pré-actionneur qui permet d'adapter l'ordre (basse puissance) et l'énergie. (ex: . . . . . . . . . . . . .) (c) Capteur:

Le capteur prélève sur le système la grandeur réglée ( information physique ) et la transforme en un signal

compréhensible par le régulateur (le plus souvent une tension électrique). (équivalent humain : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

3. Informations

(a) Entrée Consigne (b) Sortie régulée système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c) Perturbation

On appelle perturbation tout phénomène physique intervenant sur le système qui modifie l'Ġtat de la sortie.

Un système asservi doit pouvoir maintenir la sortie à son niveau indépendamment des perturbations. ex :

(d) Ecart, Erreur

On appelle écart ou erreur, la différence entre la consigne et la sortie. Cette mesure ne peut être réalisée

que sur des grandeurs comparables (de même type, ex tension ou grandeurs numériques), on la réalisera

donc en général entre la consigne et la mesure de la sortie.

B. Régulation et asservissement

1. Régulation:

On appelle régulation un système asservi qui doit maintenir constante la sortie conformément à la consigne

(constante) indépendamment des perturbations. Ex: Régulation de température,

2. Asservissement

On appelle asservissement un système asservi dont la sortie doit suivre le plus fidèlement possible la

consigne (consigne variable). Ex: suivi de trajectoire par un missile,

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C. Paramètres importants d'un asservissement

Le cahier des charges que devra respecter un asservissement fera apparaitre 3 caractéristiques principales :

la précision, la stabilité et la rapidité.

1. Précision

On calcule l'erreur dans plusieurs situations. Celle la plus souvent rencontrée est lorsque l'on impose une

consigne constante (on parlera d'échelon), et l'on regarde l'erreur en régime établi. Il sagit dans ce cas de

l'erreur de traînage.

2. Stabilité

On dit qu'un système est stable si pour une entrée constante, la sortie reste constante quelles que soient les perturbations. Les courbes de 2 à 10 sont caractéristiques de la constante, la sortie évolue vers une sortie constante. instable, la sortie diverge.

Dépassement

Un critère efficient de la stabilité est le dépassement. Ce critère permet de définir la notion de stabilité

relative. consigne réponse

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Le dépassement est mesuré par le taux de dépassement. On définit le premier dépassement par : avec S , la valeur finale de la sortie et S (t1) la valeur de la sortie à ů'ŝnstant du premier dépassement.

3.Rapidité

La rapidité caractérise le temps mis par le système pour que la sortie atteigne sa nouvelle valeur. On définit, pour caractériser la rapidité, le temps de réponse à 5% bande des 5% de sa valeur finale. La détermination du temps de réponse à 5% sur les courbes de réponses ci-contre montre que la sortie 2 a le temps de réponse le plus faible, la courbe 1 est la plus lente.

Exemple : On donne la réponse ci-dessous.

Calculer le temps de réponse à 5%, le dépassement et l'erreur indicielle.

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x y Régime permanent réponse transitoire entrée x Système linéaire sortie y entrée

Ȝx Système

linéaire sortie Ȝy

Entrée Ȝx

Sortie Ȝy

II - SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS

continus et invariants (ce qui exclue les systèmes numériques). Dans ce chapitre, nous allons définir ce que

cela signifie.

A. Définitions

1. Système linéaire

Un système linéaire est un système où les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie peuvent se

mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles à coefficients constants. Les systèmes

Principe de proportionnalité

'ĞĨĨĞt est proportionnel à la cause : si y est la réponse à l'entrée x, alors ʄy est la réponse à ʄ.x.

Remarque: L'effet de proportionnalité n'est effectif que lorsque le système a atteint sa position d'équilibre

ou que le régime permanent s'est établi.

Principe d'additivité ou de superposition :

Si y1 est la réponse à x1, si y2 est la réponse à x2, alors la réponse à x1+x2 est y=y1+y2.

Le principe de superposition est important car il va nous permettre, connaissant la réponse d'un système à

La caractéristique Entrée/Sortie d'un système linéaire est une droite dont la pente ௒ ௑ est appelée gain du système. système. Y La réponse, en régime défi système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l'entrée Entrée Sortie

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des sollicitations simples de déterminer par additivité et proportionnalité la réponse à des sollicitations plus

complexes.

Principales non - linéarités

2. Systèmes continus

Un système est dit continu lorsque les variations des grandeurs physiques le caractérisant sont des fonctions

continues du type f(t) avec t une variable continue (en général le temps). On oppose les systèmes continus

aux systèmes discrets, par exemple les systèmes informatiques.

3. Système invariant

On dit qu'un système est invariant lorsque ses caractéristiques ne se modifient pas dans le temps.

Courbure

La quasi-totalité des systèmes présente des courbures plus ou moins prononcé. Dans la plupart des cas, le système est approché par une droite passant par mais il est aussi possible de linéariser autour point de fonctionnement. x y y x

Linéarisation

autour du point étude

Hystérésis

Un système présente une réponse en hystérésis lorsque le comportement en " montée » est différent de celui en " descente ». par exemple: cycle de magnétisation. Seuil Un système présente un seuil lorsque la sortie lue que lorsque ltrée dépasse un seuil mini. Un grand nombre de système présente un seuil de fonctionnement. Ex, en méca, ces seuils ont souvent pour origine des frottements secs. y

Saturation

Un système présente une saturation lorsque la sortie lue plus au-delleur limite. Ces saturations sont dues soit aux limites mécaniques du système (butées) soit à des limites des interfaces de puissance (saturation des ampli-Op). y saturation x x seuil

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B. Représentation des systèmes linéaires

Pour réaliser une commande automatique, il est nécessaire d'établir les relations existant entre les entrées

(variables de commande) et les sorties (variables d'observation). L'ensemble de ces relations s'appelle

"modèle mathématiques" du système.

1. Schéma physique

(schéma électrique, mécanique, électronique,...) Ce type de schéma utilise la normalisation de chaque technologie Schéma électrique - MCC Schéma mécanique - Masse Ressort amortisseur

2. Représentation par les équations différentielles.

Un système dynamique linéaire peut être représenté par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs Rq: dans le cas des systèmes réels m ш n .

Le problème de l'utilisation direct d'équation différentielles pour la conception de systèmes asservis est

que nous ne savons résoudre dans le cas général que les équations différentielles du premier et du second

3. Représentation par la transformée de Laplace

La transformation de Laplace permet de passer du domaine temporelle (variable le temps t) au domaine symbolique (variable : opérateur de Laplace p) est définie de la manière suivante : Z k M Y f l0 z(t) y(t) x Um i entrée x Système linéaire sortie y

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Les principales propriétés de la transformation de Laplace sont résumées dans le tableau suivant :

opération Temporelle Laplace addition f(t)+g(t) F(p)+G(p) linéarité a.f(t) a.F(p)

݀ݐ p.F(p)-f(0+)

Si f(0+) =0 (condition de Heaviside) l'opération de dérivation correspond à une multiplication par p : ௣ avec g primitive de f Si g(0+)=0, l'intégration (ou primitive) revient à diviser par p :

L(׬

Théorème de la valeur

finale

L'utilisation de la transformée de Laplace permet de ramener la résolution d'une équation différentielle a une

manipulation algébrique. En annexe 1, on donne les transformés de Laplace des fonctions usuelles.

Exemple d'application de Laplace : MCC

L'équation électrique du moteur est obtenue à partir du schéma électrique vu précédemment :

Um= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nous supposons les conditions initiales, nulles (conditions de Heaviside). L'équation temporelle devient :

Exemple 2 : Circuit RC

En Laplace, on obtient :

Us(p) =ଵ

Rq : A partir de l'expression de Laplace de Us(p), on peut retrouver l'expression de Us(t) (cf. annexe 2).

Équations temporelles :

ue(t)- R.i(t) -us(t)= =0 i=C ൈௗ௎௦

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