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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne
Nombres réels
Bernard Ycart
Vous savez déjà compter, et vous connaissez les propriétés des réels. Une seule nouveauté dans ce chapitre, la notion de borne (supérieure ou inférieure) d"un en- semble. Au-delà des définitions, vous allez commencer à vous habituer aux " epsilons strictement positifs », à comprendre comme des quantités pouvant prendre des valeurs arbitrairement petites. À part ça, pas grand chose de neuf ni de difficile dans ce chapitre d"introduction à l"analyse.Table des matières
1 Cours 1
1.1 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Approximation des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Construction des bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Entraînement 13
2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Compléments 24
3.1 Papier normalisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 La constante de Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Nombres incommensurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Les frères Banu-Musâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 La numérisation des raisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Les coupures de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Point fixe d"une application croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8 novembre 2011
Maths en LigneNombres réelsUJF Grenoble1 Cours
1.1 Opérations
Nous ne présenterons pas de construction axiomatique de l"ensembleRdes nombresréels. Cette section rappelle quelques notations, les propriétés des opérations (addition,
multiplication) et de la relation d"ordre. Nous utilisons les notations classiques suivantes pour les ensembles emboîtés de nombresN?Z?Q?R?C.Notation Ensemble Exemples NEntiers naturels0,1,2,3,...ZEntiers relatifs-2,-1,0,1,2,...QRationnels1.2,1/2,0.0012,355113 ,...RRéels⎷2,π,e,...CComplexes1 + 2i,1 + i⎷3,2eiπ/3,...L"exposant ?signifie " privé de0». Ainsi,R?=R\ {0},N?={1,2,3,...}. Pour les calculs usuels (à la main, sur les calculettes ou par ordinateur), ce sont forcément des nombres décimaux, donc rationnels, que l"on manipule. Pourtant l"en- sembleQn"est pas un cadre de calcul mathématiquement suffisant, pour plusieurs raisons, qui seront énoncées dans la suite de ce chapitre. La première, reconnue dès l"antiquité grecque, est que certaines quantités, qui pourtant apparaissent couramment en géométrie élémentaire, ne s"expriment pas comme rapports d"entiers. La plus simpleest la diagonale d"un carré de côté1, à savoir⎷2: nous verrons plus loin que⎷2n"est
pas un nombre rationnel;3⎷5,π, ouen"en sont pas non plus.
Les propriétés de l"addition, de la multiplication et de la relation d"ordre sont rap- pelées ci-dessous.Addition
•Associativité :?x,y,z?R, x+ (y+z) = (x+y) +z •Élément neutre :?x?R, x+ 0 = 0 +x=x •Opposé :?x?R, x+ (-x) =x-x= 0 •Commutativité :?x,y?R, x+y=y+x L"ensemble des réels muni de l"addition est ungroupe commutatif. MultiplicationL"ensembleR?(ensemble des réels privé de0), muni de la multiplica- tion, est un autre groupe commutatif. •Associativité :?x,y,z?R, x(yz) = (xy)z •Élément neutre :?x?R, x1 = 1x=x •Inverse :?x?R?, x(1/x) = (1/x)x= 1 •Commutativité :?x,y?R, xy=yx •Distributivité :?x,y,z?R, x(y+z) = (xy) + (xz) L"ensemble des réels muni de l"addition et de la multiplication est uncorps commutatif.Relation d"ordre
1 Maths en LigneNombres réelsUJF Grenoble•Réflexivité :?x?R, x6x •Transitivité :?x,y,z?R,(x6yety6z) =?x6z •Antisymétrie :?x,y?R,(x6yety6x) =?x=y •Ordre total :?x,y?R, x6youy6xLes trois premières propriétés définissent une relation d"ordre. Ici l"ordre est total car
deux réels quelconques peuvent toujours être comparés.Pour des raisons de commodité, on utilise aussi couramment les notations>,<,>:Notation Définition
x>y y6xx < y x6yetx?=yx > y x>yetx?=yOn utilise aussi les ensembles de réels notésR+,R-,R+?etR-?.Ensemble Définition Notation
Réels positifs ou nuls{x?R, x>0}R+Réels strictement positifs{x?R, x >0}R+?Réels négatifs ou nuls{x?R, x60}R-Réels strictement négatifs{x?R, x <0}R-?La relation d"ordre est compatible avec l"addition par un réel quelconque, et avec la
multiplication entre réels positifs. • ?x,y,z?R, x6y=?x+z6y+z • ?x,y,z?R, x < y=?x+z < y+z • ?x,y?R,?z?R+, x6y=?xz6y z • ?x,y?R+?,?z?R+?, x < y=?xz < y z Comme conséquence de ces relations de compatibilité, on obtient les règles suivantes qui permettent de combiner des inégalités. ?x,y,z,t?R,(x6yetz6t) =?x+z6y+t On peut donc ajouter deux inégalités de même sens (attention : on ne peut pas ajouter deux inégalités de sens opposés ni soustraire deux inégalités de même sens). ?x,y?R,?z,t?R+,(x6yetz6t) =?xz6y tOn peut multiplier deux inégalités de même sens, si elles concernent des réels positifs ou
nuls. (attention : on ne peut pas mutiplier deux inégalités de sens opposés, ni diviser desinégalités de même sens, ni multiplier des inégalités qui concernent des réels négatifs).
Pour se ramener à des inégalités de même sens, ou à des réels positifs, il peut être utile
de changer de signe ou de passer à l"inverse. • ?x,y?R,(x6y) =?(-x>-y) • ?x,y?R+?,(x6y) =?(1/x>1/y) 2 Maths en LigneNombres réelsUJF Grenoble1.2 Bornes Définition 1.SoitAune partie deRetMun réel. On dit queMest unmajorantde Asi : ?x?A , x6M .De même,m?Rest unminorantdeAsi :
?x?A , m6x . On dit qu"un ensemble de réelsAadmet unplus grand élément(respectivement plus petit élément) s"il existex?Atel que pour touty?A,y6x(respectivement :y>x). Donc le plus grand élément (s"il existe il est nécessairement unique) est à la fois
un majorant deAet un élément deA. Le fait que l"ordre surRsoit total entraîne que tout ensemblefinide réels admet un plus petit élément et un plus grand élément. Si {a1,...,an}est un ensemble fini de réels, nous noteronsmin{a1,...,an}le plus petit etmax{a1,...,an}le plus grand élément. Nous réserverons les notationsminetmax aux ensembles finis. Un ensembleinfinide réels n"admet pas nécessairement de pluspetit ou de plus grand élément. Voici quelques exemples.Ensemble Plus petit élément Plus grand élément
N0NonZNon Non{1/n, n?N?}Non1{(-1)n(1-1/n), n?N?}Non Non{(-1)n(1 + 1/n), n?N?} -2 3/2{(-1)n+ 1/n, n?N?}Non3/2{(-1)n-1/n, n?N?} -2NonNon seulementNn"a pas de plus grand élément mais de plus aucun réel n"est plus grand
que tous les éléments deN. Par contre, les 5 derniers ensembles du tableau ci-dessus sontbornésau sens suivant. Définition 2.SoitAunepartiedeR(un ensemble de réels). On dit queAest : •majorées"il existe un majorant deA, •minorées"il existe un minorant deA, •bornéesiAest à la fois majorée et minorée. SiMest un majorant deA, alorsM+1,M+2et plus généralement tout réel plus grand queMsont aussi des majorants. Nous admettrons pour l"instant le théorème suivant, dont nous donnerons une démonstration dans la section 1.6.Théorème 1.SoitAune partie non vide deR.
1. SiAest majorée, alors l"ensemble des majorants deAadmet un plus petit élé-
ment. 3Maths en LigneNombres réelsUJF Grenoble2. SiAest minorée, alors l"ensemble des minorants deAadmet un plus grand
élément.
Définition 3.SoitAune partie non vide deR.
1. SiAest majorée, on appelleborne supérieuredeAet on notesup(A)le plus
petit des majorants deA.2. SiAest minorée, on appelleborne inférieuredeAet on noteinf(A)le plus grand
des minorants deA. Du fait que l"ordre des réels est total, la borne supérieure et la borne inférieure, si elles existent, sont nécessairement uniques. LorsqueAadmet un plus grand élément, la borne supérieure deAest ce plus grand élément. LorsqueAadmet un plus petitélément, la borne inférieure deAest ce plus petit élément. On étend la définition de
supetinfaux ensembles non majorés et non minorés par la convention suivante.1. SiAn"est pas majorée,sup(A) = +∞
2. SiAn"est pas minorée,inf(A) =-∞
Reprenons comme exemples les 6 ensembles du tableau précédent.Ensemble Borne inférieure Borne supérieure
N0 +∞Z-∞+∞{1/n, n?N?}0 1{(-1)n(1-1/n), n?N?} -1 1{(-1)n(1 + 1/n), n?N?} -2 3/2{(-1)n+ 1/n, n?N?} -1 3/2{(-1)n-1/n, n?N?} -2 1Dans le cas oùAest majorée et n"admet pas de plus grand élément, alorssup(A)
n"appartient pas àA, mais on trouve néanmoins des éléments deAarbitrairement proches de la borne supérieure.Proposition 1.SoitAune partie non vide deR.
1. SiAest majorée, alors
?ε >0,?a?A ,sup(A)-ε6a6sup(A)2. SiAest minorée, alors
?ε >0,?a?A ,inf(A)6a6inf(A) +ε Démonstration: Commesup(A)est le plus petit des majorants,sup(A)-εne peut pas être un majorant. Il existe donc un élément deAsupérieur àsup(A)-ε. Commesup(A) 4Maths en LigneNombres réelsUJF Grenobleest un majorant, cet élément est inférieur àsup(A). Le raisonnement pourinf(A)est
analogue. Nous allons souvent rencontrer dans ce cours des réelsεstrictement positifs ar- bitrairement petits. On peut s"en faire une idée concrète en pensantε= 0.001, ou bienε= 10-6. Prenons comme exempleA={1/n2, n?N?}. La borne inférieure est inf(A) = 0. La proposition 1 permet d"affirmer que pour toutε >0, il existe un élément de l"ensemble inférieur àε. Et d"ailleurs l"équivalence ci-dessous permet de l"exhiber.