[PDF] [PDF] I Diviseurs communs et PGCD

[PDF] PGCD et Fractions irréductibles

FRACTIONS IRREDUCTIBLES Pré-requis Le seul diviseur commun de 22 et 15 est 1, ce qui se traduit par un PGCD égal à 1 Simplification d'une fraction

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PGCD et Fractions I Diviseurs d'un nombre Voir activité : Diviseur ou pas diviseur ? Telle est la question Division euclidienne de 45 par 4 : Poser; quotient 

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PGCD(45; 28) = 1 ´ 45 et 28 sont deux nombres premiers entre eux III Fractions irréductibles Définition Une fraction est irréductible si elle est simplifiée le plus 

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Simplifie cette fraction pour la rendre irréductible (avec le détail ) 2/ Utilise le résultat précédent pour calculer A B Exercice 6 (3 points) Un pâtissier dispose de 

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1) Calculer le plus grand diviseur commun aux deux nombres 20 755 et 9 488 2) Ecrire en détaillant les calculs le nombre M sous la forme d'une fraction

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Calculer le pgcd de 784 et 136 avec la méthode des divisions et en déduire la simplification de la fraction 784 136 Exercice 6 Montrer que 756 et 241 sont 

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3) Donner la fraction irréductible égale à 4 435 6 209 Exercice 3 (Brevet 2005) 1°) Calculer le PGCD des nombres 675 et 375 2°) Ecrire la fraction 675 375

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Pour les critères de divisibilité, voir la fiche E du chapitre 0 : Fractions II – Diviseurs communs Définition : Un diviseur commun de deux nombres a et b est un 

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Le plus grand diviseur commun des nombres 1 045 et 935 est le dernier reste non nul donc PGCD(1045 ; 935) = 55 5 Rendre une fraction irréductible

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Révision 1 : Fractions, PGCD, Puissances, Notation Scientifique, Racines carrées I Fractions a c a c a b c b c b × × = = × × pour simplifier ou mettre au même 

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W.Laidet

I Diviseurs communs et PGCD

I.1 Diviseurs d"un entier naturel

Définition

Pour deux nombres entiers naturels non nulsaetd:

Dire quedest un diviseur deasignifie qu"il existe un entierktel que a=d×k Dans ce cas,kétant non nul, c"est aussi un diviseur dea.

Exemple :

7 est un diviseur de 84 car 84 = 7×12.

Par conséquent, 12 est aussi un diviseur de 84.

Remarque :

1 est un diviseur de tout nombre entier natureln, carn=n×1.

I.2 Diviseurs communs à deux nombres entiers

Définition

+Un diviseur commun à deux entiers naturelsaetbest un entier naturel qui divise à la foisaetb. +Le plus grand entier qui divise à la foisaetbest appelé le

Plus Grand Commun Diviseur

deaetb, et est notéPGCD(a;b).

Exemple 1 :

diviseurs de 12 112
26
34
diviseurs de 18 118
29
36

ëLes diviseurs communs à 12 et 18

sont : 1, 2, 3, 6.

ëPGCD(12;18) = 6.

Exemple 2 :

diviseurs de 45 145
315
59
diviseurs de 28 128
214
47

ë1 est le seul diviseur commun à 45

et 28.

ëPGCD(45;28) = 1.

W.LaidetII Nombres premiers entre eux

Définition

On dit que deux nombres entiers (non nuls)aetbsont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

Exemples :

.PGCD(12;18) = 6 ë12 et 18 ne sont pas des nombres premiers entre eux. .PGCD(45;28) = 1 ë45 et 28 sont deux nombres premiers entre eux.

III Fractions irréductibles

Définition

Une fraction est irréductible si elle est simplifiée le plus possible, c"est- à-dire si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemple :

.4528est une fraction irréductible puisque 45 et 28 sont des nombres premiers entre eux.

Propriété :

Si on simplifie une fraction par lePGCDde son numérateur et de son dénominateur, alors on obtient une fraction irréductible.

Exemple :

.1218n"est pas une fraction irréductible car 12 et 18 ne sont pas des nombres premiers entre eux. On peut donc la simplifier :

ëPGCD(12;18) = 6.

12

18=12÷

6

18÷6=23

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