Exercice 1 : Dans le plan muni d'un repère ( O , I , J ) , placer les points : Le plan est muni un repère orthonormal ( O , I , J ) a)Placer Justifier votre réponse
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Exercice 1 :
Dans le plan muni d"un repère ( O , I , J ) , placer les points : A( - 2 ; 2 ) ; B( 3 ; 5 ) ; C( - 3 ; - 1 ) ; D( 4 ; - 2 ) et E( 3 ; 2 )Calculer les coordonnées des vecteurs
CD et EC , EA , BE , DA , AC , AB . Vérifier sur le dessin.Exercice 2 :
Soient A( - 5 ; 1 ) ; B( - 3 ; 2 ) et C( 1 ; 4 )
a)Calculer les coordonnées du vecteur AB b)Calculer les coordonnées du point D tel que :CD AB=
Exercice 3 :
Soient A( - 1 ; - 2 ) , B( 4 ; 0 ) , C( 4 ; 4 ) et D( - 1 ; 2 ) . Montrer que le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme.Exercice 4 :
Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) . Soient les points A( - 2 ; 1 ) , B( 2 ; 2 ) et C( 1 ; 4 ) .
a)Calculer les coordonnées du point D tel queBD AC=
b) Calculer les coordonnées du point E tel queBC AE=
c) Calculer les coordonnées du point F tel queAC FB=
Exercice 5 :
Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) .
Soient les points A( 1 ; 2 ) , B( 2 , 0 ) et C( 1 ; 4 ) a)Calculer les coordonnées du point D afin que ABCD soit un parallélogramme. b) Calculer les coordonnées du point E afin que ABEC soit un parallélogramme . c) Calculer les coordonnées du point F afin que BCAF soit un parallélogramme .d)Calculer les coordonnées des milieux des segments [ED] , [DF] et [FE] . Que constate-t-on ? Pourquoi ?
Exercice 6 :
Dans un repère ( O , I , J ) , on donne les points A( - 2 ; 4 ) , B( 3 ; 5 ) , C( - 4 , 0 ) et D( 4 ; - 3 ) .
Calculer les coordonnées du point M vérifiantCD MB MA=+
Exercice 7 :
Dans le plan muni d"un repère ( O , I , J ) , on considère les points A( 3 ; 2 ) , B( - 1 ; - 2 ) , C( 3 ; 0 ) et le
vecteuru ( 3 ; - 1 ) . Calculer les coordonnées des points A", B" et C", images respectives des points A ,
B et C dans la translation de vecteur
u .THEME :
CALCUL VECTORIEL
COMPOSANTES D"UN VECTEUR - EXERCICES
Exercice 8 :
Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) . Soient les points: A( - 1 ; 3 ) , B( 4 ; 2 ) , C( 5 , 0 ) et D( 3 ; - 1 )
a)Calculer les coordonnées du vecteur BACalculer les coordonnées du point E tel que
BA DE= . Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ?b)Calculer les coordonnées du milieu M du segment [EB] et les coordonnées du point F , symétrique de C
par rapport à M . Quelle est la nature du quadrilatère ECBF ? c)Montrer queAC FD=
Exercice 9 :
Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) .
Placer les points M( 3 ; 5 ) , E( - 4 ; 6 ) et R( 2 ; - 2 ). a)Calculer les coordonnées des vecteursRE et MR , ME puis les distances ME , MR et RE .
b)Quelle est la nature du triangle MER ? Pourquoi ? Donner la mesure de ses angles. c)Calculer les coordonnées des points T et S tels que :SR ME et RT ME==
Quelles sont les natures respectives des quadrilatères METR et MERS ?Exercice 10 :
Dans un repère orthonormal ( O , I , J ) , placer les pointsA( - 4 ; 3 ) , B( 0 ; 5 ) et C( 2 ; - 1 ) .
a)Calculer les coordonnées du vecteur ABb)Calculer les coordonnées des points D et E sachant que les quadrilatères ABCD et ABEC sont des
parallélogrammes . c)Calculer les coordonnées des points R et S, milieux respectifs des segments [BD] et [AE] . d)Montrer que les droites (RS) et (AB) sont parallèles. Exercice 11 : d"après Brevet des Collèges - 1991 Le plan est muni un repère orthonormal ( O , I , J ) . a)Placer les points A( 2 ; 5 ) , B( 8 ; 2 ) et C( - 2 ; - 3 ) b)Calculer les valeurs exactes des distances AB, AC et BC. En déduire la nature du triangle ABC. c)Quelles sont les coordonnées de D image de C dans la translation de vecteurAB? En déduire que le
quadrilatère ABDC est un rectangle. d)Déterminer les coordonnées du point M centre du cercle circonscrit à ce rectangle . Exercice 12 : d"après Brevet des Collèges - 1991 Soient A , B et D trois points du plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J )A( 1 ; 4 ) , B( - 1 ; 8 ) et D( 9 ; 8 )
a)Quelles sont les coordonnées des vecteurs ? BD et AD , AB b)Calculer les longueurs des segments [AB] , [AD] et [BD] . c)Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A . d)Construire le point C tel queAD AB AC+=
e)Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle . f)Déterminer les coordonnées du point C . Exercice 13 : Brevet des Collèges - Dijon - 1992 Dans le plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J ), on considère les points A( 5 ; 0 ) , B( 7 ; 6 ) , C( 1 ; 4 ) et D( - 1 ; - 2 ) . a)Faire une figure. b)Calculer les coordonnées des vecteursDC et AB
c)Calculer les distances AB et AD . d)Démontrer que ABCD est un losange . Exercice 14 : Brevet des Collèges - Rouen - 1992 ( O , I , J ) est un repère orthonormal du plan. a)Placer les points A( 4 . 2 ) , B( 6 ; - 4 ) , C( 0 ; - 2 ) , E( - 2 ; 4 ) b)Démontrer que le quadrilatère ABCE est un parallélogramme . c)Calculer les longueurs AB et BC. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCE ?Exercice 15 :
. ) 1 ; 1 - (u et ) 2 ; 3 M( Soient a)Déterminer les coordonnées du point M" image de M dans la translation de vecteur u. b)Déterminer les coordonnées du point M" image de M dans la symétrie de centre A( 1 ; 2 ).Exercice 16 :
Dans un repère orthonormal, on donne les pointsA( 1 ; 6 ) , B( 2 ; 1 ) et I( - 1 ; 4 )
a)Calculer les coordonnées des vecteursAB et IB , IA .
b)Calculer IA, IB et AB. c)En déduire que le triangle IAB est rectangle en I .d)Soit C le point de coordonnées ( - 3 ; 2 ). Démontrer que le point I est milieu du segment [AC].
e)Soit D le point symétrique de B par rapport au point I .Déterminer les coordonnées du point D.
Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.Exercice 17 :
Dans un repère orthonormal, placer les points : A( - 1 ; 2 ) , B( 2 ; 3 ) et C( 1 ; 0 ) a)Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC. b)Calculer les coordonnées du point D tel queDC AB=.
Démontrer alors que le quadrilatère ABCD est un losange. c)Soit I le milieu du segment [BC] .Déterminer les coordonnées du point I.
d)Soit E le symétrique de A par rapport au point I . Calculer les coordonnées du point E.Exercice 18 :
Dans le plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J ) , placer les points : A( 3 ; 0 ) , B( 0 ; 2 ) , C( 4 ; 3 ) et D( 5 ; 1 )a)Déterminer les coordonnées des points M, N, P et Q milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD]
et [DA]. b)Démontrer queQP MN=. Que peut-on en conclure ?
Exercice 19 : Brevet - Clermont-Ferrand - 1989
Construire un triangle BCD rectangle en B tel que BD = 2 et BC = 6 , l"unité étant le cm. a)Calculer DC ( on donnera une valeur exacte du résultat ).b)Placer sur la figure le point A symétrique du point D par rapport au point B, puis le point E symétrique
de C par rapport à B . Quelle est la nature du quadrilatère ACDE? Justifier. c)Construire le point F tel queDC AF= ( on expliquera la construction )
Quelle est la nature du quadrilatère AFCD ?
Démontrer que :
AF EA=
Que représente le point A pour le segment [EF] ?d)Soit I le point d"intersection des droites (CF) et (DE) . Montrer que C est milieu de [IF]. Calculer IF
et IE. e)Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ECF .Exercice 20 : Brevet - Amérique du Nord - 1991
Dans un repère ( O , I , J ) , représenter les points suivants ( unité : le cm ) A( 1 ; - 1 ) , B( 2 ; 3 ) , C( - 2 ; 2 ) et D( 4 ; 2 ) a)Placer le point E tel queAB CE=.
b)Placer le point F tel que AD AB AF+= c)Quelle est la nature du quadrilatère CDFE? Justifier votre réponse . d)Le quadrilatère ABFD est-il un losange ? Justifier votre réponse.Exercice 21 : d"après Brevet - Nice - 1981
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O , U , V ) . On considère les points A( - 5 ; 1 ) , B( 1 ; 5 ) , C( 3 ; 2 ) , D( - 3 ; - 2 ) et M( 6 ; 4 ) a)Placer ces points. b)Calculer les coordonnées des vecteursDC et BC AB, .
c)Calculer les distances AB, BC et AC.En déduire que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Quelles sont les coordonnées de son centre I ?
Quelles sont les longueurs de ses côtés ?
d)On désigne par M" le symétrique de M par rapport au point B . Calculer les coordonnées du point M".
e)Soit u ( - 1 ; - 5 ). On désigne par M" l"image de C dans la translation de vecteur u .Déterminer les coordonnées du point M".
f)Montrer que I est le milieu de [M"M"].Exercice 22 :
Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = OJ = 1 cm placer les points A(4 ; 5) B (-3 ; 4) et C (1, 1).
1) Faire la figure
2) Calculez CA, CB, AB . En déduire la nature du triangle ABC
3) Trouver les coordonnées du points D tel que CBDA soit un parallélogramme. Quelle est la nature de
CBDA ? Pourquoi ?
4) Calculer les coordonnées de S image de B par la translation de vecteur
AC5) Calculer les coordonnées de R image de A par la symétrie de centre C
6) Quelle est la nature de ABSR ? Pourquoi ?
7) Calculer l"aire de ABSR
Exercice 23 :
Dans un repère orthonormé (O,I,J) OI=OJ=1cm on considère les points A(-2;-3) ; B(-4;4); C(3 ; 6).
1) Faire un figure que l"on complétera tout au long du problème.
2) Calculer les coordonnées des vecteurs
AC et BC , AB
3) Calculer AB ; BC ; AC
Quelle est la nature du triangle ABC ? Pourquoi ?
4)Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.
Quelle est la nature de ABCD ? Pourquoi ?
5) Montrez que le triangle est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
6) Montrez que D appartient au cercle.
7) Soit E l"image de C par la translation de vecteur
AB. Calculer les coordonnées de E.
8) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ?
9) Calculez l"aire de ABEC ?
Exercice 24 : Brevet des Collèges - Besançon-Lyon-Metz-Nancy - 1997 Dans un repère orthonormal ( O , I , J ) tel que OI = OJ = 1 ( cm ) , on considère les points A( 2 ; 6 ) ; B (-3 ; 3 ) ; C( 2 ; 0 ) et D( 7 ; 3 )1.Calculer les coordonnées des vecteurs
.DC et AB Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.2. Calculer les distances AB et AD ( on donnera
les valeurs exactes . )Que peut-on dire du parallélogramme ABCD ?
Justifier.
3. Construire le point M centre du
parallélogramme ABCD.Calculer les coordonnées du point M .
4. a)Quelle est l"image du triangle AMD par la
symétrie centrale de centre M ? b)Citer une transformation qui permet de passer du triangle ACD au triangle ABC . Exercice 25 : d"après Brevet des Collèges - Orléans - 1995 Le plan est muni d"un repère orthonormal (O, I, J).L"unité est le centimètre.
1) Placer les points A( 3 ; 2,5) , B( 0 ; - 1 ) et C( - 1 ; 3,5 ).
2) Calculer les distances AB et BC. On gardera les valeurs exactes. En déduire une propriété du triangle
ABC.3) Placer le point M défini par :
CB CA CM+=.
Exercice 26 : d"après Brevet des Collèges - Clermont-Ferrand - 1996Dans le plan muni d"un repère orthonormal (O, I, J), l"unité étant le centimètre, on considère les points :
A( 2 ; 3 ) ; B( 5 ; 6 ) ; C( 7 ; 4 ) ; D( 4 ; 1 ).