Raisonnons par l'absurde et supposons que x1 + x2 est rationnel Il existe alors p ∈ Z Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle
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Raisonnons par l'absurde et supposons que x1 + x2 est rationnel Il existe alors p ∈ Z Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle
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i) La soustraction de deux nombres dans Í ne donne pas toujours un résultat dans Í Définition : Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel ( 1) est une opération interne : Le produit de deux nombres reste dans le même
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On remarque que 37 est aussi un nombre rationnel car 37 peut s'écrire sous la forme le produit de deux nombres relatifs négatifs est un nombre relatif positif
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On a démontré dès l'antiquité (Euclide) que 2 est un nombre irrationnel Quelques précisions sur les nombres décimaux et rationnels On suppose que 2 est un nombre rationnel ; il existe donc deux entiers naturels non nuls p et q On fait toujours attention à bien distinguer « valeur exacte » et « valeur approchée »
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Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas dans Q L'ensemble de ces ou irrationnelle, le produit de deux nombres irrationnels peut être rationnel ou va produire des rectangles de plus en plus petits dont les côtés sont toujours
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deux nombres rationnels, il en existe toujours un troisi`eme ≫ En effet, quels n ∈ N, o`u λ est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Cauchy Correction : leur produit comme étant la suite (xnyn)n Cet anneau
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Le premier exemple de nombre irrationnel est √2, sa découverte remonte à Pythagore1 Démontrer que l'ensemble des rationnels est-stable par somme, par produit et par quotient n sont presque toujours irrationnels, sauf n ∈ {1, 2, 3}
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Chapitre 1, exercice 3
1.Vrai :la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.
Demonstration.Soientx1;x22Rtels quex1est rationnel etx2est irrationnel. Montrons que x1+x2est un nombre irrationnel.
Raisonnons par l'absurde et supposons quex1+x2est rationnel. Il existe alorsp2Z;q2N tels que x1+x2=pq
Puisque, par hypothese,x1est rationnel, il existep02Z;q02Ntels que x 1=p0q 0:On a donc
x2= (x1+x2)x1=pq
p0q0=pq0qp0qq
0: Doncx2s'ecrit comme le quotient de deux entiers, avec l'entier au denominateur qui est non- nul (qq06= 0). C'est donc un rationnel. C'est une contradiction avec nos hypotheses (x2etaitsuppose irrationnel); on a donc obtenu une absurdite.2.Faux :la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.
Demonstration.Pour montrer que l'armation est fausse, il sut de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle. Posonsx1= 10p2 etx2=p2. Ce sont deux nombres irrationnels :x2est irrationnel d'apres le cours etx1= 10 + (p2) est la somme d'un rationnel et d'un irrationnel; c'est donc un nombre irrationnel d'apres la premiere question.Ces deux nombres sont egalement positifs.
Pourtant,x1+x2= 10 doncx1+x2est un nombre rationnel.3.Vrai :la racine carree d'un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
Demonstration.Soitx1un nombre irrationnel positif. Montrons que sa racine carree est irrationnelle.