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MOOC " Des rivières et des hommes »

Calcul de la profondeur uniforme - séquence 2.1

On va traiter le problème pour la section trapézoïdale schématisée ci-dessous. La largeur au

plafond l est de 20 m, la pente des talus vaut p = 8/4=2, la pente de fond S

0 vaut 0.0016 et la

rugosité du chenal est donnée par le coefficient de Manning n = 0.025.

1. Calculer le débit pour une profondeur donnée

Il s"agit d"une application directe de la formule de Manning-Strickler : 21
0 3235
21

03211S

P A nSRAnQ==

où A représente l"aire mouillée de la section et P le périmètre mouillé. Pour une section

trapézoïdale, on les calcule comme suit : ()hplhA+=

212phlP++=

On peut remplacer A et P par ces expressions dans la formule de Manning-Strickler, pour obtenir une expression du débit qui ne dépend plus que des données l, p et h : ()21

032235

35
)12(1 S phlhplh nQ Pour calculer le débit correspondant à une profondeur de 4.179 m, on peut procéder de deux manières différentes :

Méthode 1

On commence par calculer A et P, et puis on introduit ces valeurs dans l"équation de

Manning-Strickler :

( )( )92.39904.044.1121.2859

025.010016.069.385.118

025.01121

3235
21
0

3235====SPA

nQm³/s Au passage, on voit ici l"effet des erreurs d"arrondi : on ne retrouve pas exactement le débit de

400 m³/s donné dans l"exemple, mais une valeur très proche qui, arrondie, donne bien 400

m³/s.

Méthode 2

On utilise directement l"expression plus détaillée de l"équation de Manning-Strickler, en

remplaçant h, p, l, S

0 et n par leurs valeurs :

()()( )92.39904.044.1171.26384.10

025.010016.0)21179.4220(179.4220179.4

025.0121

3223535=´=+´´+´+=Qm³/s

On retrouve bien la même valeur finale !

2. Calculer la profondeur uniforme pour un débit donné

Ici, c"est un peu plus compliqué, car on ne peut écrire une équation simple qui donne la

profondeur h en fonction des autres paramètres. On va donc devoir procéder par itérations, à

partir de l"expression suivante : ( )3521 0322
35
)12( hplSphlnQh+++=

Il s"agit simplement de l"équation de Manning-Strickler dans laquelle on a " isolé » le terme

h

5/3. On va donc, à partir d"une première estimation de la profondeur hest, vérifier cette

estimation en calculant la valeur de vérification h vérif : 53
35
21

0322)12(

+++=estest vérifhplSphlnQh

Si on prend comme première estimation h

est = 2 m, on trouve ( )( )( )397.42404.0)94.28(025.0400

22200016.0)212220(025.0400

53
3532
53

3521322

´+´+´´+´´=vérifhm

On voit que h

vérif est différent de notre estimation de départ hest : il faut donc poursuivre les itérations. On recommence donc, avec comme nouvelle valeur de h est la valeur de hvérif trouvée précédemment, on obtient ( )( )( )157.479.2804.0)66.39(025.0400

397.42200016.0)21397.4220(025.0400

53
3532
53

3521322

´+´+´´+´´=vérifhm

En poursuivant les itérations, on trouve les valeurs du tableau ci-dessous. On voit qu"après 5

itérations, on a convergé vers la bonne solution. Tout ceci reste bien évidemment valable avec

une autre valeur de départ pour h est.

Itération hest (m) hvérif (m)

1 2 3 4

5 2.000 4.397 4.157 4.182 4.179 4.397 4.157 4.182 4.179 4.179

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