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Remarque : pour nommer un quadrilatère, il faut lire les sommets en "tournant" autour qu quadrilatère Par exemple, le quadrilatère ci-dessus se nomme ABCD,  

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Connaître les quadrilatères [AC] et [BD] sont les diagonales du quadrilatère ABCD Pour nommer un quadrilatère, tu dois lire les sommets en "tournant"

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sommets consécutifs, en tournant toujours dans le même sens Code : polygone C'est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses côtés égaux deux 

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Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés On nomme ce quadrilatère ABCD (on lit les lettres en tournant autour du quadrilatère dans le sens des aiguilles 

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égaux , deux à deuxj, le quadrilatère est un parallélogramme ; la droite qui joint les milieux de Le parallélogramme HKGI, tournant autour de celle HG de ses

RÉSOLUES

Supposons que ce quadrilatère soit déjà construit et que ce soit le quadrilatère ABCD ( hg Le parallélogramme HKGI, tournant autour de celle HG de ses

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Où faut-il placer N pour que l'aire du quadrilatère MNPQ soit la plus petite possible ? Cet exercice peut servir à l'introduction de la notion de fonction

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Exemple de

réalisation091Le parallélogramme qui tourne

1Identification

TypeSupport de travail et de correction

ModalitéSalle informatique

Thème abordéNotion de fonction

Représentation graphique d"une fonctionNiveauCycle 4 2 ndePrérequisAire d"un triangle

Théorème de Pythagore

Développer une expressionObjectifIntroduire une notion

Réalisation techniqueDifficulté :

Vue(s) :

GraphiqueAlgèbreTableur

Cas 3D parallelogramme_qui_tourne_eleve.ggbQR Codehttp://url.univ-irem.fr/er51

2Captures d"écran

3Commentaires

Intérêt pédagogique :

Présenter une nouvelle notion sous différents aspects.

Exploitation possible en classe :

Ce fichier permet de corriger l"activité correspondant au problème ci-dessous :

SoitABCDun rectangle tel queAB=8 etBC=4,5.

Le parallélogramme qui tourne323

•S oitNun point libre du segment [BC].

S oitMun point de [AB] tel queAM=BN.

S oitPun point de [DC] tel queCP=BN.

S oitQun point de [AD] tel queDQ=CP.

Où faut-il placerNpour que l"aire du quadrilatèreMNPQsoit la plus petite possible?Cet exercice peut servir à l"introduction de la notion de fonction. Il a l"avantage de ne pas avoir de solution

géométrique simple, et la notion de fonction semble être le bon outil pour résoudre le problème. Pour un scénario

possible, on pourra consulter la page suivante :http://pegame.ens-lyon.fr/activite.php?rubrique=1&id_

theme=11&id_activite=48&code_niveau=N10.4Réalisation technique

Dans cette partie nous décrivons la réalisation technique de la version corrigée du fichier.

[Les manipulations qui suivent concernent la vueGraphique]

ÊPréparation de la zone de travail

U tiliserl em enuAffichagepour montrer les vuesGraphique,Graphique 2etTableur. D ansl av ueGraphique, faire disparaître l"affichage des axes ainsi que de la grille. D ansl av ueGraphique 2, afficher les axes ainsi que la grille. -choisir un rapport d"échelles égal à15 pour l"affichage des axes; dans les paramètres de la grille, choisir une distance de sépara- tion entre deux lignes verticales égale à 0,25 et une distance de séparation égale à 1 entre deux lignes horizontales.• avec la vueTableursituée sous les vuesGraphiqueetGraphique 2.

ËLe rectangle et le parallélogramme

E nutili santl az onede saisie ,créer l ep ointDde coordonnées(0;0):D=(0,0).•E nutili santl az onede saisie ,créer l ep ointCde coordonnées(8;0):C=(8,0).•E nutili santl az onede saisie ,créer l ep ointBde coordonnées(8;4,5):B=(8,4.5).•E nutili santl az onede saisie ,créer l ep ointAde coordonnées(0;4,5):A=(0,4.5).•U tiliserl "outilpour construire le rectangleABCD.324

•A vecl "outil, placer un pointNlibre sur le segment [BC].

O uvrirle pan neaudes p ropriétésdu p ointN, et, dans l"ongletAlgèbre, choisir un incrément égal à 0,01.•Sélectionner l"outilpuis désigner successivement les pointsB,NetApour créer le cercle de centreA

et de rayonBN.

Avec l"outil, créer le pointM, point d"intersection entre le cercle précédemment créé et le segment

[AB]. U tiliserde la même man ièrel esoutil setpour créer les pointsPetQ. A vecl "outilconstruire le parallélogrammeMNPQet le renommeraire.

C acherl esc erclescréés av ecl "outil.

ÌLes textes dynamiques

Sé lectionnerl "outil, puis cliquer sur une zone vierge de la vueGraphique. dans la rubriqueÉditerde la boîte de dialogueTexte, inscrire :

Longueur BN = cm;-

sélectionner(champ vide);-placer le curseur dans la boîte insérée suite à la manipulation précédente et y inscrire :BN;

-valider en cliquant sur le boutonOKOK. S électionnerl "outil, puis cliquer sur une zone vierge de la vueGraphique. dans la rubriqueÉditerde la boîte de dialogueTexte, inscrire :

Aire du parallélogramme = cm2;-

placer le curseur entre=etcm2puis, dans la liste déroulanteOb- jets, sélectionner le polygoneaire;-valider en cliquant sur le boutonOKOK.

Le parallélogramme qui tourne325

ÍLes cases à cocher (1repartie)

•Avec l"outil, créer trois cases à cocher et nommer tabvar,case1etcase2les booléens associés à ces cases. Dans la boîte de sélection des objets à afficher/cacher des trois cases à cocher : -entrer la légende; -ne sélectionner aucun objet; -cliquer sur le boutonAppliquerAppliquer. O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l ac asecase1:

-dans l"ongletAvancé, inscrire dans le champCondition pour afficher l"objet:tabvar;-dans l"ongletScript, rubriquePar actualisation, inscrire :SoitValeur[case_1,1]SoitValeur[case_2,0]-valider en cliquant sur le boutonOKOK.

O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l ac asecase2:

-dans l"ongletAvancé, inscrire dans le champCondition pour afficher l"objet:tabvar;-dans l"ongletScript, rubriquePar actualisation, inscrire :SoitValeur[case_2,1]SoitValeur[case_1,0]-valider en cliquant sur le boutonOKOK.

Sélectionner l"outil, puis cliquer sur une zone vierge de la vueGra- phique: dans la rubriqueÉditerde la boîte de dialogueTexte, inscrire :

Intervalle pour les valeurs du tableau :;

-valider en cliquant sur le boutonOKOK. P ositionnerl "objettext eainsi créé dev antles ca sesà coch ercase1etcase2.

U tiliserl az onede saisie pou rc réerla v ariablen umériquepasainsi définie :pas=Si[case_1,0.1,0.01].326

[Les manipulations qui suivent concernent la vueGraphique 2]

ÎLa légende des axes

•Effectuer un clic avec le bouton droit de la souris sur une zone vierge de la vueGraphique 2(aucun objet ne doit être sélectionné) et choisirGra- phique...dans le menu contextuel pour faire apparaître la boîte de dialogue

Préférences - Graphique 2.

En utilisant le champ de saisie, créer la variable numériquedainsi définie :d=BN.• En utilisant la zone de saisie, créer le pointSde coordonnées(d;aire):

S=(d,aire).•

En utilisant la zone de saisie, créer le pointSxainsi défini :Sx=(x(S),0).• En utilisant la zone de saisie, créer le pointSyainsi défini :Sy=(0,y(S)). •A vecl "outil, construire les segments [SSx] et [SSy]. O uvrirle pan neaudes p ropriétésdes segmen ts[ SSx] et [SSy] :

-dans l"ongletStyle, choisir un mode de représentation en pointillés;-dans l"ongletCodage, sélectionner le codage avec une flèche simple.•C acherl esp ointsSxetSy.

D ansl ec hampde saisie ,insc rire: abscisse_S=""+BN.•D ansl ec hampde saisie ,insc rire: ordonnée_S=""+aire.•O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l "objettext eabscisseS:

-choisir sa couleur et sa mise en forme;

-dans l"ongletPosition, choisirSxdans la liste déroulantePoint de départ.•O uvrirle pan neaudes p ropriétésde l "objettext eordonnéeS:

-choisir sa couleur et sa mise en forme;

Le parallélogramme qui tourne327

-dans l"ongletPosition, choisirSydans la liste déroulantePoint de départ.•P ositionnerav ecp récisionl esobjets t exteabscisseSetordonnéeS.

ÐLes cases à cocher (2epartie)

•Avec l"outilcréer deux cases à cocher et nommerptSetcoorles booléens associés à ces cases. Dans la boîte de sélection des objets à afficher/cacher, sélectionner : CaseptS: ne rien sélectionner, entrer la légende et cliquer sur le boutonAppliquerAppliquer; Casecoor: les segments [SSx] et [SSy] et les objets texteabscisseS etordonnéeS.•

Pour faire en sorte que la caseptSpermette d"activer ou de désactiver la trace du pointS, on affecte un

script à cette case : -ouvrir le panneau des propriétés de la caseptS;

-dans l"ongletScript, ongletPar actualisation, inscrire :SoitTrace[S,ptS]-valider en cliquant sur le boutonOKOK.

[Les manipulations qui suivent concernent la vueTableur]

ÑMise en forme du tableau de valeurs

D ansl acell uleB1, inscrire :Tableau de valeurs.

D ansl acell uleB2, inscrire :Longueur BN (en cm). D ansl acell uleB3, inscrire :Aire de MNPQ (en cm2).•

Sélectionner la plage de cellulesB2:M3, et, avec l"outilBorduresde la barre de styles, insérer des bordures

autour des cellules.•

Utiliser l"outilCouleur d"arrière-plande la barre de styles pour modifier la couleur de fond des cellulesB2

etB3.328

•Utiliser les sélecteurs d"alignement de la barre de styles pour (éventuellement) modifier les alignements

dans les cellulesB1,B2etB3.ÒLes valeurs du tableau

Nous souhaitons (lorsque c"est possible) que la colonne centrale du tableau affiche la valeur courante de la

longueurBNet l"aire correspondante du parallélogramme. Bien sûr, lorsqueNest proche du pointBou du

pointC, il convient de décaler l"affichage deBNet de l"aire correspondante dans le tableau. Pour ce faire,

nous utiliserons trois listes (voir la fiche techniqueListes et matrices, page 515) qui permettront d"obtenir les

différentes valeurs de la longueurBNà afficher dans le tableau en fonction du pas choisi (cases à cochercase1

etcase2).

Pour obtenir les valeurs de l"aire du parallélogramme il suffit de définir la fonction qui, à une valeur donnée de

la longueurBN, fait correspondre l"aire deMNPQ.

Pour queGeoGebraaffiche ou non les valeurs du tableau selon l"état de la casetabvar, nous utiliserons une

commandeSi(sitabvarvauttrue, on affiche les valeurs, sinon on affiche un texte vide).

L"affichage en rouge de la valeur courante deBNet de l"aire correspondante sera obtenu à l"aide des couleurs

dynamiques (voir la fiche techniqueGeoGebra et la gestion des couleurs, page 581).

À l "aidede la z onede sa isie,d éfinirl afonc tionaiainsi :ai(x)=2x2-12.5x+36.•C acherl afon ctionai.

P ourobt enirle sv aleursde BNlorsqueNest proche deB, inscrire dans la zone de saisie :

Liste_

1

Pour obtenir les valeurs deBNlorsqueNest suffisamment éloigné deBet deC, inscrire dans la zone de

saisie :

Liste_

2

=Séquence[d+n,n,-5*pas,5*pas,pas]•P ourobt enirle sv aleursde BNlorsqueNest proche deC, inscrire dans la zone de saisie :

Liste_

3 0 1 0 *pas,pas

Les valeurs de la longueurBNaffichées dans le tableau sont stockées dans la listetabxqui sélectionne

les valeurs deListe1ou deListe2ou deListe3en fonction de la position du pointN. Pour créer la liste

tabx, inscrire dans la zone de saisie :

tabx=Si[b<5*pas,Liste_1,Si[d>4.5-10*pas,Liste_3,Liste_2]]•P ourc ompléterla pr emièrel ignedu t ableaud ev aleurs:

-dans la celluleC2, inscrire :Si[tabvar,LaTeX[Elément[tabx,1]],""];Le parallélogramme qui tourne329

-dans la celluleD2, inscrire :Si[tabvar,LaTeX[Elément[tabx,2]],""];-répéter ainsi la manipulation jusqu"à la celluleM2en modifiant la valeur de l"indice dans la commande

Elément.•P ourc ompléterla secon del ignedu t ableaud ev aleurs:

-dans la celluleC3, inscrire :Si[tabvar,LaTeX[ai(Elément[tabx,1])],""];-dans la celluleD3, inscrire :Si[tabvar,LaTeX[ai(Elément[tabx,2])],""];-

répéter ainsi la manipulation jusqu"à la celluleM3en modifiant la valeur de l"indice dans la commande

Elément.•

Pour obtenir la coloration automatique de la colonne correspondant à la valeur actuelle de la longueur

BN: -sélectionner les cellulesC2etC3et ouvrir leur panneau des propriétés; -dans l"ongletAvancé, compléter de la manière suivante la rubriqueCouleurs dynamiques: ch ampRouge:0.8*(d==Elément[tabx,1]); ch ampVert:0; ch ampBleu:0.-

répéter ainsi la manipulation jusqu"à la plage de cellulesM2:M3en modifiant à chaque fois la valeur de

l"indice dans la commandeElément.

ÓFinalisation

C olorierles diff érentsélé mentsde l afigur e. Aju sterla p ositiondes diff érentsobjets libr es(c asesà c ocher,text es). Ouvrir le menuOptions·Avancé...et, dans la rubriqueTableur, onglet

Aspect, décocher toutes les cases.

Aju sterla h auteuret l alar geurdes d ifférentesv ues. Dans la vueGraphique, pour donner l"illusion d"une zone supplémen- défini de la manière suivante :-sélectionner la vueGraphique;

-dans la zone de saisie, créer le pointC1défini ainsi :C_1=Coin[1];-dans la zone de saisie, créer le pointC2défini ainsi :C_2=Coin[2];-dans la zone de saisie, créer le pointC3défini ainsi :C_3=Coin[3];330

-dans la zone de saisie, créer le pointC4défini ainsi :C_4=Coin[4];-dans la zone de saisie, créer le pointC5défini ainsi :C_5=C_2+0.2*(C_3-C_2);-dans la zone de saisie, créer le pointC6défini ainsi :C_6=C_1+0.2*(C_4-C_1);(selon la hauteur de la vueGraphique, modifier le coefficient égal à 0,2 dans la définition des points

C5etC6)

créer le rectangleC1C2C5C6depuis la zone de saisie en inscrivant :zone=Polygone[C_1,C_2,C_5,C_6];-

ouvrir le panneau des propriété du rectangle et, dans l"ongletCouleur, modifier sa couleur et son

opacité;

pour rendre de nouveau les casestabvar,case1etcase2visibles (car le rectangle ainsi créé recouvre

désormais les trois cases à cocher), ouvrir le panneau des propriétés de ces cases, et, dans l"onglet

Avancé, sélectionner le calque de niveau 1;-cacher les pointsC1,C2,C3,C4,C5etC6. ou ...)

(page 723) pour modifier dynamiquement la légende d"une case à cocher, le script attaché à celles-ci

devient :

-casetabvar:SoitLégende[tabvar,Si[tabvar==true,"Cacher les valeurs du tableau","Montrer les valeursdu tableau"]]-caseptS:SoitTrace[S,ptS]SoitLégende[ptS,Si[ptS==true,"Désactiver la trace du point S","Activer la trace du pointS"]]-casecoor:SoitLégende[coor,Si[coor==true,"Cacher les coordonnées du point S","Montrer lescoordonnées du point S"]]5Fiche élève

La fiche élève se trouve dans le dossierannexes/Parallelogramme_qui_tourne. Cliquer sur l"une des trois miniatures ci-dessous pour ouvrir la fiche élève.

Le parallélogramme qui tourne331

Introduction à la notion de fonction

1Le problème

?Il s"agit de résoudre le problème suivant :ABCDest un rectangle tel queAB=8 cm etBC=4,5 cm.

Mest un point du segment [AB].

Nest un point du segment [BC].

Pest un point du segment [CD].

Qest un point du segment [DA].

AvecAM=BN=CP=DQ.Où faut-il placerMpour que l"aire du quadrilatèreMNPQ soit la plus petite possible?Dessiner ci-dessous une figure en grandeur réelle et la coder :

Pour étudier plus en détails la situation proposée par ce problème, l"utilisation d"un logiciel de géométrie

paraît appropriée. On utilisera pour ce faire le logicielGeoGebragratuitement téléchargeable à l"adresse

suivante :http://www.geogebra.org/.

Ouvrir le fichierintro_fonction.ggbsitué dans votre dossier personnel.2Construction du quadrilatèreMNPQ

Dans la fenêtre de gauche,ABCDest un rectangle tel queAB=8 cm etBC=4,5 cm. Dans la fenêtre de droite, un

repère, qui servira plus tard est également représenté. 1) E nutilisant le m enuNouveau point, placer un pointNsur le segment [BC].

Par défaut, le nouveau point créé se nomme "E»; pour le renommer, appuyer immédiatement après avoir

créé le nouveau point sur la toucheNNou utiliser la commandeRenommerdu menu contextuel (effectuer

un clic avec le bouton droit de la souris sur le pointEpour faire apparaître le menu contextuel). 2)

Effectuer un clic droit sur le pointNet choisir le menuPropriétés...Dans l"ongletAlgèbre, régler l"incré-

ment à 0,01. Cela permettra, plus tard, de déplacer le pointNavec précision. 3) Pour construire le pointMsur le segment [AB], utiliser l"outilCompasqui permet de reporter la

distance entre les pointsBetNà partir du pointA(cliquer surBpuis surNet déplacer le cercle jusqu"au

pointA).

Utiliser ensuite l"outilIntersection entre deux objetspour créer le pointM(sélectionner le cercle

puis le côté du rectangle).1Introduction à la notion de fonction4)R ecommencerla pr océdurepou rc réerles point sPetQ.

5) Une fois les pointsM,N,PetQconstruits, l"outilPolygonepermet de construire le quadrilatère

MNPQ(on peut modifier la couleur de remplissage à l"aide du menu contextuel :Propriétés...puis onglet

Couleur).

6)

Cacher les cercles en effectuant un clic avec le bouton droit sur chacun des cercles et en décochant le menu

Afficher l"objet.

7)

Affi cherl al ongueurBNà l"aide de l"outil

(il est possible de déplacer le texte après l"avoir créé).

D"après l"énoncé, la longueurBNest donc comprise entre .................... et ....................3Nature du quadrilatèreMNPQPour la suite, on appellexla longueur du segment [BN].

1) E xprimer,en fonc tionde x:AM=.................... etDQ=.................... 2) E xprimer,en fonc tionde x:BM=.................... etDP=.................... 3) Q uelleest l anat uredes tr ianglesBNMetDQP? Pourquoi? 4)

E xprimerMN2en fonction dex: ..............................................................................

5)

E xprimerQP2en fonction dex: ...............................................................................

6)

Q uepeut-on en dédu irep ourle sl ongueursMNetQP? ......................................................

7)

O ndémon trede l am êmefaç onqu eles l ongueurs. ............et . ............sont égales .8)Q uelleest alo rsla n aturedu qu adrilatèreMNPQ? Pourquoi? ................................................

1) F aireaffi cherl "airedu p arallélogrammeMNPQen utilisant l"outil

2)Déplacer alors le pointNet déterminer sa position pour que l"aire du parallélogrammeMNPQsoit la plus

petite possible.

Astuce :

une fois le pointNsélectionné, il est possible de déplacer celui-ci très précisément en utilisant les

flèches "haut»??et "bas»??du clavier.

Il semble que l"aire du parallélogramme est minimale quandxvaut ..........................................

Et dans ce cas, l"aire du parallélogramme est égale à ..........................................................2Introduction à la notion de fonction5Représentation graphique

On désire maintenant représenter graphiquement dans le repère fourni, l"aire du parallélogrammeMNPQen

fonctiondex.

Ainsi, dans le repère :L"axe des abscisses (horizontal) représente ................................................... en ....................

L"axe des ordonnées (vertical) représente .....................................................en ....................1)E nd éplaçantle point N, compléter letableau de valeurs:

Longueurxdu seg-

ment [BN] en cm011,5233,844,5

Aire deMNPQen

cm234,1128,1916,4716,9 2)

Pour chaque colonne complétée dans le tableau précédent, créer le point correspondant dans le repère de la

fenêtre de droite. Pour y parvenir : ?sélectionner la fenêtre de droite en cliquant sur "Graphique 2» (qui passe alors en gras); cliquer sur l"outilPoint d"après ses coordonnées et fournir comme première valeur l"abscisse du point (nombre sur la 1religne du tableau) et comme seconde valeur, l"ordonnéedu point (nombre sur la 2eligne du tableau).

Il n"est pas nécessaire ici de nommer les différents points créés à l"aide de la manipulation précédente. Vous

pouvez donc effectuer un clic droit sur chacun des points et décocherAfficher l"étiquette.

Une courbe semble alors se dessiner. Pour la tracer entièrement, nous allons créer un pointSdans le repère à partir

de ses coordonnées : son abscisse sera égale à la longueurBNet son ordonnée égale à l"aire du parallélogramme

MNPQ. 1) Sél ectionnerla f enêtrede dr oiteen cliq uantsur " Graphique2 »(qui p assealor sen gr as). 2) U tiliserl "outilPoint d"après ses coordonnéespour construire un point dont : ?l"abscisse vaut :Distance[B,N] ?l"ordonnée vaut :Aire[M,N,P,Q] 3) R enommere tmodifier l acou leurdu point nouv ellementcréé. 4) Désor mais,q uandon déplac el epoin tN, le pointSse déplace également.

Pour obtenir la représentation graphique de l"aire du parallélogramme en fonction de la valeur dex, il

convient de garder la trace du pointSquand on déplace le pointN. Effectuer un clic droit sur le pointSet sélectionner la commandeTrace activée. 5)

Déplacer le poi ntNpour obtenir lareprésentation graphiquesouhaitée.6Calcul de l"aire du parallélogramme en fonction dexL"aire du parallélogrammeMNPQs"obtient en retranchant l"aire des quatre triangles .............., ..............,

.................... et .................... à l"aire du rectangleABCD.

Or, on démontre facilement que les trianglesAMQet....................ont les mêmes dimensions, ainsi que les

trianglesMBNet .................... Il suffit donc de calculer les aires des trianglesAMQetBMN. 1) E xprimerl "airedu tr iangleAMQen fonction dex: .......................... 2)

E xprimerl "airedu tr iangleMBNen fonction dex: ..........................3)E nd éduirel "expressiond el "airedu p arallélogrammeMNPQen fonction dex: .............................

..................................................................................................................3Introduction à la notion de fonctionLa version corrigée de la fiche élève est également disponible.Introduction à la notion de fonction

1Le problème

?Il s"agit de résoudre le problème suivant :ABCDest un rectangle tel queAB=8 cm etBC=4,5 cm.

Mest un point du segment [AB].

Nest un point du segment [BC].

Pest un point du segment [CD].

Qest un point du segment [DA].

AvecAM=BN=CP=DQ.

Où faut-il placerMpour que l"aire du quadrilatèreMNPQ soit la plus petite possible?Dessiner ci-dessous une figure en grandeur réelle et la coder : AB CDM N PQ

Pour étudier plus en détails la situation proposée par ce problème, l"utilisation d"un logiciel de géométrie

paraît appropriée. On utilisera pour ce faire le logicielGeoGebragratuitement téléchargeable à l"adresse

suivante :http://www.geogebra.org/.

Ouvrir le fichierintro_fonction.ggbsitué dans votre dossier personnel.2Construction du quadrilatèreMNPQ

Dans la fenêtre de gauche,ABCDest un rectangle tel queAB=8 cm etBC=4,5 cm. Dans la fenêtre de droite, un

repère, qui servira plus tard est également représenté. 1) E nutilisant le m enuNouveau point, placer un pointNsur le segment [BC].

Par défaut, le nouveau point créé se nomme "E»; pour le renommer, appuyer immédiatement après avoir

créé le nouveau point sur la toucheNNou utiliser la commandeRenommerdu menu contextuel (effectuer

un clic avec le bouton droit de la souris sur le pointEpour faire apparaître le menu contextuel). 2)

Effectuer un clic droit sur le pointNet choisir le menuPropriétés...Dans l"ongletAlgèbre, régler l"incré-

ment à 0,01. Cela permettra, plus tard, de déplacer le pointNavec précision. 3) Pour construire le pointMsur le segment [AB], utiliser l"outilCompasquiper metd er eporterl a

distance entre les pointsBetNà partir du pointA(cliquer surBpuis surNet déplacer le cercle jusqu"au

pointA).

Utiliser ensuite l"outilIntersection entre deux objetspour créer le pointM(sélectionner le cercle

puis le côté du rectangle).1Introduction à la notion de fonction4)R ecommencerla pr océdurepou rc réerles point sPetQ.

5) Une fois les pointsM,N,PetQconstruits, l"outilPolygonepermet de construire le quadrilatère

MNPQ(on peut modifier la couleur de remplissage à l"aide du menu contextuel :Propriétés...puis onglet

Couleur).

6)

Cacher les cercles en effectuant un clic avec le bouton droit sur chacun des cercles et en décochant le menu

Afficher l"objet.

7)

Affi cherl al ongueurBNà l"aide de l"outil

(il est possible de déplacer le texte après l"avoir créé).

D"après l"énoncé, la longueurBNest donc comprise entre0 cmet4,5 cm3Nature du quadrilatèreMNPQPour la suite, on appellexla longueur du segment [BN].

1)

E xprimer,en fonc tionde x:AM=xetDQ=x

2)

E xprimer,en fonc tionde x:BM=8---xetDP=8---x

3) Q uelleest l anat uredes tr ianglesBNMetDQP? Pourquoi? PuisqueABCDest un rectangle, il a quatre angles droits.

Ainsi les angles

?MBNet?QDPsont droits. Les trianglesBNMetDQPsont donc respectivement rectangles enBet enD. 4) E xprimerMN2en fonction dex:Dans le triangleBNMrectangle enB, d"après le théorème de Pythagore :MN2===BM2+++BN2.

En remplaçant :MN2===(8---x)2+++x2

5) E xprimerQP2en fonction dex:Dans le triangleDQPrectangle enD, d"après le théorème de Pythagore :QP2===DP2+++DQ2.

En remplaçant :QP2===(8---x)2+++x2

6) Que peut-on en déduire pour les longueursMNetQP?PuisqueMN2===QP2, et puisqueMNetQPsont des nombres positifs, alors,MN===QP. 7) O ndémon trede l am êmefaç onqu eles l ongueursNPetMQsont égales.8)

Quelle est alors la nature du quadrilatèreMNPQ? Pourquoi?Les côtés opposés deMNPQont la même

longueur. Or, si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, c"est un parallélo-

gramme. DoncMNPQest un parallélogramme.4Conjecture 1) F aireaffi cherl "airedu p arallélogrammeMNPQen utilisant l"outil

2)Déplacer alors le pointNet déterminer sa position pour que l"aire du parallélogrammeMNPQsoit la plus

petite possible.

Astuce :

une fois le pointNsélectionné, il est possible de déplacer celui-ci très précisément en utilisant les

flèches "haut»??et "bas»??du clavier. Il semble que l"aire du parallélogramme est minimale quandxvaut3,12 cm

Et dans ce cas, l"aire du parallélogramme est égale à16,469 cm22Introduction à la notion de fonction5Représentation graphique

On désire maintenant représenter graphiquement dans le repère fourni, l"aire du parallélogrammeMNPQen

fonctiondex. Ainsi, dans le repère :L"axe des abscisses (horizontal) représentela longueurBNencm

L"axe des ordonnées (vertical) représentel"aire du parallélogrammeMNPQencm21)E nd éplaçantle point N, compléter letableau de valeurs:

Longueurxdu seg-

ment [BN] en cm00,160,711,5233,13,593,844,5

Aire deMNPQen

2)

Pour chaque colonne complétée dans le tableau précédent, créer le point correspondant dans le repère de la

fenêtre de droite. Pour y parvenir : ?sélectionner la fenêtre de droite en cliquant sur "Graphique 2» (qui passe alors en gras); cliquer sur l"outilPoint d"après ses coordonnées et fournir comme première valeur l"abscissequotesdbs_dbs46.pdfusesText_46