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nale en A à la bissectrice intérieure Le cercle circonscrit à un triangle est l' unique cercle passant par ses trois sommets Le cercle inscrit dans un triangle est 

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Cercle inscrit dans un triangle Droites remarquables du triangle Niveau Cycle 4 Prérequis Bissectrice d'un angle Distance d'un point à une droite Objectif

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22 déc 2007 · Bissectrices Centre du cercle inscrit Cercle inscrit Cercles d'Apollonius (a, b, c) Hauteurs Orthocentre Cercle de Taylor Triangle orthique

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la distance, les tangentes et le cercle inscrit à un triangle Quant au cercle inscrit, nous utiliserons la notion de bissectrice I - Distance La notion de distance 

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et C ; c'est le cercle circonscrit du triangle (ABC) ; Les trois bissectrices intérieures sont concourantes en un point, noté I, appelé centre du cercle inscrit du

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Propriété: Les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes en un point I qui le centre du cercle inscrit dans le triangle Définition : le cercle inscrit 

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Définition : Soit ABC un triangle et O le point de concours des bissectrices Le cercle de centre O tangent aux trois côtés du triangle ABC est appelé cercle inscrit 

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FICHE G 1 - CONFIGURATIONS du PLAN (théorèmes importants)

A savoir : On peut remplacer une définition par une équivalence : " A si et seulement si B »

1. Le triangle: droites et points remarquables.

1.1 Hauteurs et orthocentre.

Définition: Une hauteur est une

droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Propriété: Les hauteurs d'un

triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle.

Propriété: Si ABC est rectangle

en C alors C est son orthocentre(AH) est une hauteur de ABC (AH)⊥(BC)

H est orthocentre d'un triangle

si et seulement si

H est le point d'intersection

de 2 hauteurs du triangle

1.2 Médianes et centre de gravité.

Définition: Une médiane est une

droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé.

Propriété1:

Les médianes d'un triangle sont

concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.

Propriété2: Le centre de gravité

d'un triangle est situé sur chaque médiane aux deux tiers en partant du sommet.() est la médiane d'un triangle si et seulement si () passe par un sommet et le milieu du côté opposé.

G est le centre de gravité d'un

triangle

G est le point d'intersection

de 2 médianes du triangle AG=2

3AA'BG=2

3BB' CG=2

3CC'1.3 Médiatrices et centre du cercle circonscrit.

Définition: La médiatrice d'un

segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Propriété: Un point est

équidistant des extrémités d'un

segment si et seulement si il est sur sa médiatrice.

Propriété: Les médiatrices d'un

triangle sont concourantes en un point O qui le centre du cercle circonscrit au triangle.

Définition : le cercle circonscrit à un

triangle est le cercle passant par les 3 sommets du triangle. On dit alors que le triangle est inscrit dans le cercle. () est la médiatrice de [AB] si et seulement si {coupe[AB]ensonmilieu et⊥AB

C est sur la médiatrice de [AB]

si et seulement si

CA=CB.

Ne pas confondre avec

l'équivalence suivante :

C est le milieu de [AB]

si et seulement si {CA=CB etA,BetCsontalignés

1.4 Bissectrices et centre du cercle inscrit

Définition: la bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Propriété: Les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes en un point I qui le centre du cercle inscrit dans le triangle. Définition : le cercle inscrit dans un triangle est le cercle tangent aux 3 côtés du triangle.

1.5 Triangles particuliers :

1.Si un triangle est isocèle alors sa hauteur issue du sommet principal est confondue

avec la médiane, la bissectrice issues du même sommet, et avec la médiatrice de la base.

2.Si un triangle a une hauteur confondue avec une médiane (ou une médiatrice ou une

bissectrice) alors il est isocèle.

3.Si un triangle est équilatéral alors ses 3 hauteurs sont confondues avec les médianes,

les médiatrices et les bissectrices.

2.Le triangle rectangle

2.1 Théorème de Pythagore

Théorème:

un triangle est rectangle si et seulement si le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtésABC est rectangle en A si et seulement si BC2=AB2AC2Les diagonales d'un carré de côté a mesurent a2Les hauteurs d'un triangle équilatéral de côté a mesurent a3

22.2 Triangle rectangle et cercle circonscrit: 3 formulations pour un même théorème

Formulation 1: un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si

A est sur le cercle de diamètre [BC].

Formulation 2: un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si le milieu de [BC] est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Formulation 3: un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si

la médiane issue de A mesure la moitié de [BC].2.3 Trigonométrie dans le triangle rectangle :

cos  = côtéadjacent hypoténuse= CB CAsin  = côtéopposé hypoténuse= AB AC tan  = côtéopposé côtéadjacent= AB et tan=sin cos

Valeurs remarquables à retenir ou à savoir retrouver avec les formules du tableau précédent :

a en degré30°45°60° cos a 3 2 2 21
2 sin a 1 2 2 2 3

2tan a 1

3= 3

313

Utilisation de la calculatrice :

→ la régler en degrés : → Calculer et donner une valeur arrondie au centième: cos (12°) ≈ sin (47°) ≈ tan (100°) ≈ → Retrouver la mesure des angles dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente: cosABC=0,45donc ABC≈ sin ABC=1

3donc ABC≈

tan ABC=3

2

8donc ABC≈

3.Triangles et sécantes

3.1 Théorèmes des milieux

Théorème 1 : Dans un triangle ,

si un segment joint les milieux de 2 côtés, alors il est parallèle au 3ème côté et en mesure la moitié.

Théorème 2 : Dans un triangle,

si une droite passe par le milieu d'un côté en étant parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le 3ème côté en son milieu. (et le segment qui joint les 2 milieux mesure la moitié de ce 3ème côté)Dans le triangle ABC, si{Imilieude[AB]

Jmilieude[AC]

alors {IJ∥BC IJ=1 2BC si {Imilieude[AB] IJ∥BC

J∈AC

alors {Jmilieude[AC] IJ=1 2BC

3.2 théorème de Thalès

Théorème 1:

Si dans 2 triangles

ABCet AMNon a :

 A, M et B sont alignés ainsi que A, N et C  et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. alors AM AB=AN AC=MN BC Théorème 2 (qui n'es pas tout à fait la réciproque):

Si dans 2 triangles ABCet AMNon a

 A, M et B sont alignés dans le même ordre que A, N et C  etAM AB=AN ACalors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. (et on a donc aussi AM AB=AN AC=MN BC)4.Angles Dans un triangle la somme des angles vaut 180 °. Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360 °.

4.1 Angles opposés par le sommet

=;=Théorème: Si deux droites sont sécantes alors elles forment des angles opposés par le sommet

égaux.

4.2 angles alterne-internes, correspondants

Définition: Deux droites (d) et (d') coupées par une sécante ) forment des angles alternes-internes ( d et f, ou c et e) et correspondants (b et f, ou c et g, ou a et e, ou d et h). Théorème 1: Deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles alternes-internes égaux si et seulement si elles sont parallèles. Théorème 2: Deux droites sont coupées par une sécante en formant des angles correspondants égaux si et seulement si elles sont parallèles.

4.3 angles dans un cercle : angles inscrits, angles au centre

Théorème1 :si dans un cercle un

angle inscrit intercepte le même arc qu'un angle au centre alors il en mesure la moitié.

Conséquence (théorème 2):

si dans un cercle deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux. Définitions : un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle.

Un angle au centre d'un cercle est un angle

dont le sommet est le centre du cercle. AMBet ANBsont

2 angles inscrits dans le

cercle ; ils interceptent l'arc AB. AOBest un angle au centre qui intercepte le même arc AB. Donc AMB=1

2AOB

et AMB=ANB

5. Les quadrilatères

5.1 Parallélogramme quelconque

Théorème: Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors - ses diagonales se coupent en leur milieu, - ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur 2 à 2, - ses angles opposés sont égaux 2 à 2, et - il a un centre de symétrie. A utre formulation : Tout parallélogramme a - ses diagonales qui se coupent en leur milieu, - ses côtés opposés parallèles et de même longueur 2à 2. - ses angles opposés égaux 2 à 2, et - un centre de symétrie.

Théorème: Si un quadrilatère a

- ses diagonales qui se coupent en leur milieu, OU - ses côtés opposés parallèles 2 à 2, OU - ses côtés opposés de même longueur 2 à 2, OU - 2 côtés parallèles et de même longueur, OU - ses angles opposés égaux 2 à 2, alors c'est un parallélogramme.

5.3 Rectangle

Définition : Un rectangle est

un quadrilatère qui a 4 angles droits.ABCD a 4 angles droits si et seulement si

ABCD est un rectangle

remarque : 3 angles droits suffisent pour qu'un quadrilatère soit un rectangle. Théorème: Tout rectangle a ses diagonales de même longueur, un centre de symétrie et 2 axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés).

Théorème: Si un parallélogramme a

- ses diagonales de même longueur, OU - un angle droit, alors c'est un rectangle. 5.2 Losange

Définition : Un losange est un

quadrilatère qui a 4 côtés égaux.ABCD a 4 côtés égaux si et seulement si

ABCD est un losange

Théorème: Tout losange a ses diagonales perpendiculaires, un centre de symétrie et 2 axes de symétrie (ses diagonales)

Théorème: Si un parallélogramme a

- ses diagonales perpendiculaires, OU - 2 côtés consécutifs égaux, alors c'est un losange.

5.4 Carré

Définition : Un carré est un

quadrilatère qui a 4 côtés égaux et 4 angles droitsABCD a 4 côtés égaux et 4 angles droits si et seulement si

ABCD est un carré

Théorème: Un quadrilatère est un carré si et seulement si c'est à la fois un rectangle et un losange. On peut alors, à partir des théorèmes sur le rectangle et le losange, reconstituer 4 théorèmes du type : " Si un parallélogramme a ... alors c'est un carré ». ex : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c'est un carré

6. Les cercles

Définition 1 : A est un point d'un cercle de centre O. La droite tangente au cercle en A est la droite qui passe par

A et qui est perpendiculaire au rayon [OA].

Définition 2: Deux cercles tangents en un point B sont deux cercles qui ont la même tangente en B.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20