Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques SECOND DEGRÉ (Partie 1) I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction
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[PDF] SECOND DEGRÉ - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques SECOND DEGRÉ (Partie 1) I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction
[PDF] Chapitre 11 Fonction polynôme du second degré
Ces fonctions peuvent être également désignées sous le nom de polynôme du premier degré Dans ce chapitre nous allons étudié des polynômes du second
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On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme P(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec
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((c)) La fonction trinôme du second degré est, apr`es les fonctions affines, la plus simple que l'on rencontre Dans ce document, nous allons montrer que sa mise
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On étudie les fonctions polynômes du 2nd degré car elles sont en particulier très On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute
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1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur
par une expression de la forme : f(x)=ax 2 +bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : -
f(x)=3x 2 -7x+3 g(x)= 1 2 x 2 -5x+ 5 3 h(x)=4-2x 2 k(x)=(x-4)(5-2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x)=5x-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). - n(x)=5x 4 -3x 3 +6x-8est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur
par f(x)=ax 2 +bx+c peut s'écrire sous la forme : f(x)=ax-α 2 , où α et βsont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. La forme canonique d'une fonction est de la forme :
f(x)=J(x - J)2 + J où J, J et J sont des nombres réels. Exemples : f(x)=32x-1()2+4 g(x)=-2x+5()2-4 h(x)=-3x-5()2-12
2 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Démontrer qu'une expression est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/M3vCMgYzvM8 Soit la fonction f définie sur
par : f(x)=2x 2 -20x+10. Démontrer que 2x-5()2-40est la forme canonique de f. 2x-5()2-40=2x2-10x+25()-40=2x2-20x+50-40=2x2-20x+10=f(x) III. Variations et représentation graphique Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par :
f(x)=2x-1 2 +3Alors :
f(x)≥3 car 2x-1 2 est positif. Or f(1)=3 donc pour tout x, f(x)≥f(1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par
f(x)=ax-α 2 , avec a≠0 . - Si a>0 , f admet un minimum pour x=α . Ce minimum est égal à β . - Si a<0 , f admet un maximum pour x=α . Ce minimum est égal à β . Remarque : Soit la fonction f définie sur par : f(x)=ax 2 +bx+c , avec a≠0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour
x=- b 2a . - Si a>0 : x -∞ f(x) β3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Si
a<0 : x -∞ f(x) β Dans un repère orthogonal O,i ,j, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x=α. Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/pXWDPw3B3ms Soit la fonction f définie sur par
f(x)=-x 2 +4x. 1) Démontrer que -x-2()2+4 est la forme canonique de f. 2) Représenter graphiquement la fonction f.
4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1) -x-2()2+4=-x2-4x+4()+4=-x2+4x-4+4=-x2+4x=f(x) 2) On a donc f(x) = -(x - 2)2 + 4 f admet donc un maximum pour x = 2. Ce maximum est égal à égal à 4. Il est possible de le vérifier : ()
2 (2)2244 f=--+= . Les variations de f sont donc données par le tableau suivant : x -∞2 +∞
f(x) 4 On obtient la courbe représentative de f : Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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