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Le second degré

Table des matières

1 La forme canonique du trinôme

2

1.1 Le trinôme du second degré

2

1.2 Quelques exemples de formes canoniques

2

1.3 Forme canonique du trinôme

3

2 Racines du trinôme

4

2.1 Définition

4

2.2 Le discriminant est positif

5

2.3 Le discriminant est nul

5

2.4 Le discriminant est négatif

6

2.5 Conclusion

6

3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines

7

3.1 Factorisation du trinôme

7

3.2 Somme et produit des racines

8

3.3 Application

8

4 Signe du trinôme et inéquation du second degré

9

4.1 Le discriminant est positif

9

4.2 Le discriminant est nul ou négatif

10

4.3 Conclusion

10

5 Représentation du trinôme

11

6 Équation paramètrique

12

7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré

13

7.1 Équation rationnelle

13

7.2 Inéquation rationnelle

14

7.3 Équation bicarrée

15

7.4 Équation irrationnelle

16

7.5 Somme et produit de deux inconnues

16

8 Quelques problèmes résolus par une équation du second degré

17

8.1 Problème de résistence équivalente

17

8.2 Un problème de robinet

18

8.3 Une histoire de ficelle

19 Paul Milan 1 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

1Laformecanoniquedutrinôme

1.1Letrimômeduseconddegré

Définition 1 :

On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme : P(x)=ax2+bx+caveca,0Exemples : Les trois polynômes suivants sont des trinômes P

1(x)=x2+2x8

P

2(x)=2x2+3x14

P

3(x)=x2+4x5

1.2Quelquesexemplesdeformescanoniques

La forme canonique d"un trinôme est une forme à partir de laquelle on peut savoir si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une "astuce" qui consiste à rajouter un terme

puis à l"oter de façon à obtenir le début d"un carré parfait.Exemple1 : SoitP1(x)=x2+2x8

Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de (x+1)2=x2+2x+1. On ajoute1puis on le soustrait, ce qui donne : P

1(x)=x2+2x+118

=(x+1)29forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =(x+1)232 =(x+13)(x+1+3) =(x2)(x+4)Exemple2 : SoitP2(x)=2x2+3x14 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici2. P

2(x)=2

x 2+32 x7!Paul Milan 2 sur21 Première S

1 LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME

on considère que x 2+32 x! est le début de x+34 2 =x2+32 x+916

Cela donne :

=2 x 2+32 x+916 916
7! =2266664 x+34 2 916

7377775

=2266664 x+34 2 12116
3

77775forme canonique deP2(x)

on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2266664 x+34 2 114

2377775

=2 x+34 114
x+34 +114
=2(x2) x+72 !Exemple3 : SoitP3(x)=x2+4x5 On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici1. P

1(x)=x24x+5

on considère que x24xest le début de(x2)2=x24x+4. Cela donne : =x24x+44+5 =h(x2)24+5i =h(x2)2+1iforme canonique deP2(x) on ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés 1.3

Forme canonique du trinôme

Soit un trinôme du second degré :P(x)=ax2+bx+c

On factorise para, cela donne :

P(x)=a

x 2+ba x+ca !Paul Milan 3 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

on considère quex2+ba xest le début de x+b2a! 2 =x2+ba x+b24a2.

Cela donne :

=a" x 2+ba x+b24a2! b24a2+ca =a266664 x+b2a! 2 b24a2+ca 3 77775
=a266664 x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Théorème 1 :

La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :

P(x)=a266664

x+b2a! 2 b24ac4a23

77775Attention : Dans un cas concrêt, on n"utilise pas cette formule

un peu difficile à mémoriser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.

2Racinesdutrinôme

2.1Définition

Définition 2 :

Les racines d"un trinômes sont les solutions de l"équation : ax

2+bx+c=0Définition 3 :

On pose =b24ac. L"équationax2+bx+c=0devient donc : a

266664

x+b2a! 2 4a23

77775=0

Comme le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de, cette quantité est appelé discriminant.Paul Milan 4 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

2.2Lediscriminantestpositif

Comme le discriminantest positif, la forme canonique se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

2a1

CCCCA=0

On obtient alors deux solution :

x+b2ap

2a=0oux+b2a+p

2a=0

On obtient alors :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2aExemple : Résoudre dansR:2x2+3x14=0

On calcule:

=b24ac =3242(14) =9+112 =121 =112 Commeest positif, il existe deux solutions distinctesx0etx00: x 0=b+p

2a=3+114

=2 x 00=bp

2a=3114

=72

On conclut par :

S=( 72
;2)

2.3Lediscriminantestnul

Comme le discriminantest nul, la forme canonique correspond à un carré parfait. Elle se factorise en : a x+b2a! 2 =0

On obtient alors qu"une seule solution :

x

0=b2aPaul Milan 5 sur21 Première S

2 RACINES DU TRINÔME

Exemple : Résoudre dansR:3x218x+27=0

On calcule:

=b24ac =1824327 =324324 =0 Commeest nul, il n"existe qu"une seule solutionx0: x

0=b2a=186

=3

On conclut par :

S=f3g

2.4Lediscriminantestnégatif

Comme le discriminantest négatif la forme canonique ne se factorise pas. Il n"y a donc aucune solution à l"équation du second degré.Exemple : Résoudre dansR:x2+4x5=0

On calcule:

=b24ac =424(1)(5) =1620 =4 Commeest négatif, il n"y a pas de solution. On conclut par : S=?

2.5Conclusion

Théorème 2 :

Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant =b24ac. 1.

Si >0il existe deux racines :

x 0=b+p

2aoux00=bp

2a 2. Si =0il n"existe qu"une racine (appelée racine double) - : x 0=b2a 3. Si <0il n"existe aucune racinePaul Milan 6 sur21 Première S

3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES

desracines

3.1Factorisationdutrinôme

Si le discriminant est positif. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a0BBBB@x+b2ap 2a1

CCCCA0BBBB@x+b2a+p

2a1

CCCCA=0

En remplaçant par les racinesx0etx00, nous avons alors : a(xx0)(xx00) De même si le discriminant est nul. Nous avons vu que le trinôme se factorise en : a x+b2a! 2 =0 En remplaçant par la racinex0=b2a, nous avons alors : a(xx0)2Exemples : 1.

Factoriser le trinôme suivant : P(x)=2x2+3x14

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que les racines de ce trinôme sont :72 et2, donc :

P(x)=2

x+72 x2) Nous retrouvons le résultat que nous avons démontré avec la forme canonique. 2.

Factoriser le trinôme suivant : Q(x)=3x218x+27

Nous avons vu dans le paragraphe précédent que la racine de ce trinôme est3, donc :

Q(x)=3(x3)2Théorème 3 :

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet deux racinesx0etx00, il peut se factoriser sous la forme :

P(x)=a(xx0)(xx00)

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cadmet une racinex0, il peut se factoriser sous la forme :

P(x)=a(xx0)2

Lorsque le trinômeP(x)=ax2+bx+cn"admet pas de racine, il ne peut se factoriserPaul Milan 7 sur21 Première S

3 FACTORISATION DU TRINÔME, SOMME ET PRODUIT DES RACINES

3.2Sommeetproduitdesracines

Soit le trinômef(x)=ax2+bx+c. Nous nous plaçons dans le cas où le discrimenant est positif. Il y a donc deux racinesx0etx00. Le trinôme peut alors se factoriser en : f(x)=a(xx0)(xx00)

Developpons :

f(x)=a(x2x00xx0x+x0x00) =ahx2x0+x00x+x0x00i =ax2a(x0+x00)x+ax0x00

On poseS=x0+x00etP=x0x00, on a alors

f(x)=ax2aS x+aP En identifiant à :f(x)=ax2+bx+c, on obtient alors : aS=bdoncS=ba aP=cdoncP=ca

Exemple : Soit le trinômef(x)=2x2+3x14

Nous savons que ce trinôme admet deux solutions72 et2, d"après notre résultat : S=ba =32 ce qui se vérifie72 +2=7+42 =32 P=ca =142 =7ce qui se vérifie72

2=7Théorème 4 :

Si un trinômef(x)=ax2+bx+cadmet deux racines, alors la somme et le produit des racines sont égales à : S=ba etP=ca 3.3

Application

Parfois, certaines équations admettent des solutions très simples que l"on appellent "racines évidentes". Lorsque l"on connaît une telle solution, le produit des racines permet alors de trouver la seconde.Exemples

Paul Milan 8 sur

21

Première S

4 SIGNE DU TRINÔME ET INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

1.

Résoudre l"équation : 2x25x+3=0

La somme des coefficients est nulle, donc

x

0=1est racine évidente car2(1)25(1)+3=25+3=0

P=ca =32 doncx00=Px 0=32 S=( 1;32 2.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46