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Dcouper au laser son tapis de Sierpiński
Aurélien Alvarez
Sortons des sentiers battus
En 2018 ouvrira le grand muse gyptien
du Caire. Les pharaons du Caire pourront bientt contempler le triangle deSierpiński puisque les architectes du futur
Ç grand muse gyptien È ont conu une faade imposante qui en reprend le motif principal. Le hros de cet article sera non pas le triangle de Sierpiński mais le tapis deSierpiński, dans des dimensions beaucoup
plus raisonnables, qui plus est. Les constructions du triangle et du tapis s"ap- puient sur les mmes ides ; dans le pre- mier cas on part d"un triangle quilatral, dans le second d"un carr. Si on veut fabriquer le triangle de Sierpiński dans un de fragilit : une fois le triangle centralretir, les trois petits triangles restant ne tiennent plus entre eux que par les som- mets. Pour ce que nous souhaitons faire, il nous faut donc quelque chose d"un peu plus Ç robuste È comme le tapis.Le tapis de Sierpiński
Ce tapis doit son nom au mathmaticien
polonais Wacław Sierpiński. Davantage encore qu"un tapis, il s"agit surtout d"une fractale que l"on obtient partir d"un carr que l"on subdivise en neuf carrs avant de supprimer le carr central. Et on recommence la mme procdure sur cha- cun des huit petits carrs restants. Voici qui date de 1916.APMEP - PLOT n° 5830Aurélien Alvarez est enseignant-chercheur, co-auteur avec Éienne Ghys et Jos Leys des films "Dimensions»
et " Chaos ». Ce qui suit est un extrait d"un article qu"il a publié sur le site Image des maths. Nous ne saurions
trop vous recommander de vous référer à la version en ligne, qui permet un accès direct à divers niveaux
d"approfondissement, via des liens hypertextes. Mais PLOT a jugé que publier ce raccourci papier, avec l"ai-
mable autorisation de l"auteur, serait utile pour susciter votre curiosité et vous donner envie d"en savoir
davantage. Vue d"artiste du futur musée. Image tirée du site web du cabinet d"architectes " heneghan peng architects ».Sortons des sentiers battus
Dans mon universit, nous avons la
c hance de disposer d"un FabLab*, le F abLab orlanais. On y trouve plein de machines diverses et varies, comme des imprimantes 3D bien sr mais aussi une dcoupe laser, rpondant au doux nom de permet de faire de la gravure et de dcou- (PMMA) de moins de 10 mm d"paisseur.C"est exactement ce qu"il nous fallait
pour fabriquer notre propre tapis deSierpiński !
des collgiens de 3 qui viennent faire un stage d"une semaine. Ils y dcouvrent un peu le monde de la recherche et cer- tains chercheurs n"hsitent pas prendre le temps de raconter un peu de science ces jeunes plutt motivs.C"est donc avec l"aide d"un collgien
venu faire son stage rcemment que nous nous sommes attels la tche de fabri- quer notre tapis ! Voici le rsultat.Le Ç vrai È tapis de Sierpiński, c"est l"ob- j et limite, celui qu"on obtient quand on i per chaque carr en neuf carrs plus petits avant de supprimer le carr central. Mais dans la ralit, on s"arrte au bout d"un certain nombre d"tapes.Quand j"ai montr notre tapis un col-
dans ses mains, celui-ci m"a de suite dit :Ç je vois bien que vous n"tes pas alls
jusqu" l"infini, sinon ton tapis serait de masse nulle ! È. On voit effectivement sur l"image cinq tailles de trou. Quant la boutade de notre ami mathmaticien, elle sera dmystifie dans les prochaines lignes...Comment fabriquer un tel tapis en
pratique ? l"image du tapis, du moins une approxi- mation l"ordre n. Nous allons donc crire une fonction qui, tant donn un carr de ct L, retourne les neuf petits carrs de ct L/3. Pour cela, reprons un carr par la donne des coordonnes de son coin suprieur gauche et de la lon- gueur de ses cts. L"axe des abscisses ira comme d"habitude de gauche droite mais l"axe des ordonnes de haut en bas, de sorte que nous ne travaillerons qu"avec des coordonnes positives ; le coin sup- rieur gauche du carr initial aura pour coordonnes le couple (0,0).APMEP - PLOT n° 5831
* NDLR : FabLab est la contraction de l"anglais fabrication laboratory (laboratoire de fabrication). C"est un lieu ouvert au
public où il est mis à sa disposition toutes sortes d"outils, notamment des machines-outils pilotées par ordinateur, pour la
conception et la réalisation d"objets. La caractéristique principale des FabLabs est leur " ouverture ». Ils s"adressent à tous,
entrepreneurs, designers, artistes, bricoleurs, étudiants quels que soient leur âge, profession, formation. Ce lieu permet de
passer de la phase de concept à la phase de mise au point grâce aux matériels fournis et aux rencontres sur place. Ces
FabLabs constituent aussi des espaces de rencontre et de création collaborative.