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Évolution - Taux moyen
Classe de terminale STMG - Lycée Saint-Charles
Patrice Jacquet - www.mathxy.fr - 2013Objectifs :
•Savoir calculer un indice en base 100 à partir d"un taux d"évolution. •Savoir calculer un taux d"évolution moyen.1 Pourcentage d"évolution Définition 1 - Taux d"évolution - Coefficient multiplicateur Lorsque qu"unevaleur de départy1passe àune valeur d"arrivéey2: •Lavariation absolueesty2-y1. •Lavariation relativeesty2-y1y 1. •Letaux d"évolutiontest la variation relative exprimée en %. •Lecoefficient multiplicateurCMesty2y1.Remarque -Le taux d"évolutiontétant connu, on a :CM= 1 +t.
Exemple -Le chiffre d"affaires annuel d"une entreprise est passé de 10 millions à 14 millions.La variation absolue est : 4 millions. La variation relative est : + 0,4. Le taux d"évolution :t= +40%.
Le coefficient multiplicateur est :CM= 1,4.
Remarque -En cas d"augmentationt >0etCM >1.
2 Évolutions successivesPropriété 1
Lorsqu"une valeur subit plusieurs évolutions successives, le coefficient mul-tiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs.Exemple -Le chiffre d"affaires annuel d"une entreprise est passé de 10 millions en 2010 à 12 millions
en 2011 puis 15 millions en 2012. CM1=1210
= 1,2CM2=1512 = 1,25CMglobal=CM1×CM2= 1,2×1,25 = 1,5Le taux d"évolution global est :tglobal= +50%.
1 Classe de terminale STMG Évolution - Taux moyen http://www.mathxy.fr/3 Indice simple, base 100
Définition 2
L"indice simple dey2, de base 100 eny1estI=y2y
2×100.Exemple -Le chiffre d"affaires annuel d"une entreprise est passé de 15 millions en 2010 à 18 millions
en 2011. y 2y2= 1,2I= 1,2×100 = 120
Remarque -Le taux d"évolution se déduit très simplement de l"indice :t= (I-100)%. Dans l"exemple ci-dessus, le taux d"évolution est :t= (120-100)% = 20%.4 Taux d"évolution moyenDéfinition 3
SoitTun taux d"évolution global surnannées. Le taux annuel moyent est tel que :(1 +t)n= 1 +TExemple -Le chiffre d"affaires annuel d"une entreprise est passé de 10 millions en 2010 à 12 millions
en 2011 puis 15 millions en 2012. CM global= 1,2×1,25 = 1,5 Le taux d"évolution annuel moyentest tel que :(1 +t)2= 1,5 on en déduit :1 +t=⎷1,5Définition 4 - racinen-ième d"un nombre positif Soitaun nombre réel positif etnun entier naturel non nul. L"équationxn=aadmet une solution unique notéex=a1n Cette solution s"appelle laracine n-ième dea.Remarque -On trouve aussi la notationn⎷a.a12 =⎷a Exemple -En 2011, on a vendu 53,69 milliards de cigarettes contre 54,4 milliards en 2008. Calculons le taux de baisse annuel moyen de cigarettes vendues. CM global=53,6954,4≈0,987 on en déduit :1 +t≈0,98714 soit :1 +t≈0,998 Entre 2008 et 2011 le nombre de cigarettes vendues a baissé de 0,2% par an en moyenne. 2quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19