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Algorithmes de tri Tri par sélection Tri par insertion Tri fusion Le tri rapide Des tris avec des arbres Tri par tas Optimalité des algorithmes de tri Activité en
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On veut trier le tableau Solutions : • tri par sélection (selection sort) • tri par insertion (insertion sort) • tri par fusion (Mergesort) • tri par tas (Heapsort) • tri rapide
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Algorithm 1 Algorithme récursif du tri par sélection classique 1: function Tri- Sélection(A, i) > A : tab à trier ; i ∈ N
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tri à bulles, ▷ tri par insertion, ▷ tri par sélection 2 Tris en O(n × log n) ▷ tri par fusion, ▷ tri par tas, ▷ tri rapide (mais en O(n2) dans le pire des cas) 3
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Tri par sélection – Algorithme Exercice Programmer le tri par sélection GA, JG, JMM (IREM de Lyon) Algorithmique: tris Mars 2012 5 / 8
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Algorithme de tri Complexité en espace : mémoire nécessaire en plus de la donnée en temps Tri par sélection - Tri par insertion - Tri bulle (utilisables si peu
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En temps : Le raisonnement est le même que pour le tri par insertion Le temps total dans le cas le pire est donc O(n2) Si on trie une permutation, le nombre d'
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Le tri par minimum successif est un tri par sélection : Pour une place donnée, on sélectionne l'élément qui doit y être positionné De ce fait, si on parcourt la
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Recherche par dichotomie : le tableau est supposé trié par ordre croissant et on cherche un Le tri sélection est en place et l'algorithme donné ici est stable
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On suppose qu'on trie des tableaux par ordre croissant On note N le nombre d' éléments à trier Pour pouvoir comparer l'efficacité des algorithmes, il faut
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TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSALGORITHMES DE TRI Tri TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSiOn a un fichier d" ´el´ements aveccl ´es comparables- on veut les ranger selon l"or dre les cl
´es
Cl´es comparables :
public interface Comparable´emoire
(repr ´esent´e par un tableau ou une liste chaˆın´ee) Tri exter ne : fichier stock ´e partiellement ou enti`erement en m´emoire externe (disque) - acc `es`a m´emoire externe est couteux...Tri interne
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSiiEntr
´ee : tableauA[]de donn´ees comparables (interfaceComparableen Java)On veut trier le tableau
Solutions :
tri par s´election (selection sort) tri par insertion (insertion sort) tri par fusion (Mergesort) tri par tas (Heapsort) tri rapide (Quicksort)Tri (cont)
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSiiitableauA[1::n]Tri par s
´election :
pouri 1;:::;n1faireA[1::i]contient lesi´el´ements les plus petits deA, tri´es
Tri par insertion :
pouri 2;:::;nfaireA[1::i]contient lesipremiers´el´ements deA, tri´esTri par s
´electionTRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSivAlgoTRI-SELECTION(A[1:::n])S1pouri 1;2;:::;n1faire
S2minidx i
S3pourj i+ 1;:::;nfaire
S4siA[j]< A[minidx]alorsminidx j
//(maintenantA[minidx] = minfA[i];:::;A[n]g) ´e comparaison d" ´el´ements [ligne S4](n1) + (n2) ++ 1 =n(n1)2 fois; echange d"´el´ements [ligne S5](n1)foisTemps de calcul :(n2)pour toutA
mais pas n ´ecessairement une mauvaise id´ee si l"´echange est beaucoup plus couteux que la comparaisonTri par insertion
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSvAlgoTRI-INSERTION(A[1::n])I1pouri 2;:::;nfaire
I2j i1
I3tandis quej1etA[j]< A[i]faire
I4´echangerA[i]$A[j]
I5j j1Complexit
´e - d´epend de l"ordre des´el´ements au d´ebut meilleur cas (d ´ej`a tri´e) :n1comparaisons et aucun´echange pire cas (tri´e en ordre d´ecroissant) :n(n1)2
comparaisons et´echanges moyen cas :(n2) tr `es utile siAest"presque tri´e»au d´ebut g ´enie algorithmique : min enA[1](sentinelle) - pas de testj1en I3 remplacer´echange par d´ecalage en I4
Tri par tas
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSviHEAPSORT(A)// vecteur non-tri´eA[1::n]H1heapify(A)
H2pouri jAj;:::2faire
H3´echangerA[1]$A[i]
H4 S OMBRER(A[1];1;A[1::i1])A[1::n]est dans l"ordre d´ecroissant`a la fin (pour l"ordre croissant, utiliser unmax-tas) TempsO(nlogn)dans le pire des cas, sans espace additionnelle! quicksort:O(n2)dans le pire des cas mergesort:O(nlogn)dans le pire des cas mais utilise un espace auxiliaire de taillenTri par fusion
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSviiAlgoMERGESORT(A[1::n])M1sin <2alors retournerA
M2B1 TRI-FUSION(A[1::bn=2c])
M3B2 TRI-FUSION(A[bn=2c+ 1::n])
M4B FUSION(B1;B2)
M5retournerB
Fusion de deux tableaux
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSviii1Entr´eeA[1::n],B[1::m](de typeComparable[]) 2 intialiser C[1::n+m]3i 1;j 1
4pourk 1;2;:::;n+mfaire
5sij > mouA[i]B[j]alorsC[k] A[i];i i+ 1
6sinonC[k] B[j];j j+ 1Temps de calcul :(n+m)affectations, et(n+m1)comparaisons (au pire)
Tri par fusion - analyse
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSixThm.En tri par fusion, le nombre de comparaisons est inf´erieur`aC(n) =
ndlgne. (n >0) Preuve. Nombre total de comparaisons sur chaque niveau de r´ecurrences estnNombre total de niveaux de r
´ecurrences :dlg(n)e.
Nombre d"affectations :ndlgne.
Complexit
´e(nlogn)mais on a besoin d"un espace auxiliaire de taillenpour la fusion (quand le tableau est"presque tri´e», tri par insertion est plus rapide!)Tri rapide
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSx1.choisir un´el´ement (pivot), le placer dans sa case finale i, mettre tous les´el´ements
inf´erieurs enA[1::i1]et tous les´el´ements sup´erieurs enA[i+ 1::n]428135172689pivot = 5428135172689422135178689422135978681422139578681échangeréchangerfin de balayer
remettre le pivot2.trierA[1::i1]etA[i+ 1::n](r´ecurrence)Tri rapide (cont)
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSxiTemps de calcul :(nlogn)en moyen si le pivot est bien choisi;(n2)en
pire casChoix du pivot : m
´ediane de trois (A[1],A[n1]etA[n]) ou al´eatoire (uniforme) g´enie algorithmique :
1. tri par insertion quandnest petit (5::20)
2. ne pas ex
´ecuter les r´ecursions sur les petits sous-tableaux, mais plutˆot faire un tri par insertion une fois `a la finTri rapide - analyse
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSxiiD
´ef.SoitD(n)le nombre moyen de comparaisons avec un pivot al´eatoire, o`un est le nombre d"´el´ements dans un tableauA[1::n].
On va d
´emontrer queD(n)n
2O(logn).
Lemme.On aD(0) =D(1) = 0, et
D(n) =n1 +1n
n1X i=0D(i) +D(n1i)
=n1 +2n n1X i=0D(i): Preuve.Supposons que le pivot est lei-`eme plus grand´el´ement deA. Le pivot est compar ´e`a(n1)autre´el´ements pour la partition. Les deux partitions sont de tailles(i1)et(n1i). Or,iprend les valeurs1;2;:::;navec la mˆeme probabilit´e.
Performance moyenne (cont.)
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSxiiiPar le lemme pr´ec´edent,
nD(n)(n1)D(n1) = n(n1) + 2n1X i=0D(i) (n1)(n2) + 2n2X i=0D(i) = 2(n1) + 2D(n1): D"o `u on aD(n)n+ 1=D(n1)n
+2n2n(n+ 1)=D(n1)n +4n+ 12nAvecE(n) =D(n)2n+1, on peut´ecrire
E(n) =E(n1) +2n+ 1:
Performance moyenne (cont.)
TRI?IFT2015 H2009?UDEM?MIKL´OSCSUR¨OSxivDonc,E(n) =E(0) +22
+23++2n+ 1