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Année 2007-20081èreSSVT

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Exercice 1 :

Le floconde Koch

1. Etude du nombre de côtés

1)C1est le nombre de segments à la première étape doncC1=3 .

D"après la figure du livre on aC2=12 etC3=48 .

A chaque itération chaque segment est transforméen 4 segments par conséquent on a : C

4=4×48=192 .

2) A chaque itération chaque segment est transformé en 4 segments par conséquent on a, pour tout

entiern:Cn+1=4×Cn. La suite (Cn)n?1est donc géométrique de raison 4. On a ainsi, pour tour entiern:Cn=C1×(4)n-1=3×4n-1.

2. Etude du périmètre

1) Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3

segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l"étapen.

On peut donc parler delalongueur d"unsegment à l"étapen.

2) La transformationtransforme un segment en 4 segments de longueur1

3du segment originel.

Par conséquent on a, pour tout entiern:un+1=1

3×un.

La suite (un)n?1est ainsi géométriquede raison1 3.

On peut donc écrireun=u1×?1

3? n-1 =1×13n-1=13n-1.

3) A l"étapenle flocon est composé deCnsegments de longueursun.

On obtient doncPn=Cn×un=3×4n-1×1

3n-1=3×?43?

n-1

Ce qui est bien la formule demandée.

4) On nous demande de déterminer,si elle existe, lim

n→+∞Pn.

Or (Pn) est une suite géométrique de raison supérieure à 1 et de premier terme positif par consé-

quent limn→+∞Pn=+∞.

3. Etude de l"aire

1) Pour calculerA1il nous faut déterminer la hauteurhdans le triangeéquilatéral de côté 1.

Cettehauteurest aussimédiatricedansce trianglecar il est équilatéral.On peut donc appliquerle

théorèmedePythagoredansletrianglerectangleainsiformé: 12=?1 2? 2 +h2puish2=1-14=34et enfinh=? 3 2.

On a ainsiA1=1×h

2=? 3 4.

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2) Par proportionnalité un triangle équilatéral de côtéaa une hauteur de longueura?3

2et donc

comme aire a×a? 3 2

2=a2×?

3 4.

La différenceAn+1-Ancorrespond à l"aire desCntriangleséquilatéraux de côtéun+1par consé-

quent il suit que A n+1-An=Cn×?un+1?2×? 3 4 =3×4n-1×?1 3n? 2 3 4 =3×4n-1×1

32n×?

3 4 =3×4n-1×?1 32?
n 3 4 =3? 3

4×4n-1×19n

3? 3

4×19×?49?

n-1 3

12×?49?

n-1

3) On remarque que la somme (An-An-1)+···+(A2-A1) est une somme télescopique donc on a

3 4. D"après l"expression trouvée deAn+1-Anon voit que la suite?An-An-1?est une suite géomé- trique de raison 4

9et de premier termeA2-A1=?

3 12. La somme ainsi demandée est donc la somme desn-1 premiers termes de la suite géométrique (An-An-1) :

Attention à ne pas se tromper sur les indices, pour être sûr desa valeur on vérifie que pour n=3on

a bien le bon nombre de termes, à savoir 2 qui sont A

3-A2et A2-A1, ce qui est le cas.

(An-An-1)+···+(A2-A1)=?3

12×1-?4

9? n-1 1-49 3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2