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1 FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE I. Fréquence cyclotron 1. Méthode analytique • La force de Lorentz peut sʼécrire : !

F qv"B = qB.[y• ! u x - x• ! u y

] et la relation fondamentale de la dynamique correspond à : m x•• = qB y• ; m y•• = -qB x• ; m z•• = 0. On en tire en particulier que vz est constante, et on nʼa plus quʼà étudier la projection sur Oxy. • Le système dʼéquations différentielles combinées en vx et vy peut se résoudre par exemple en inté-grant lʼune des équations : x• = !

qB m

y + K, où la constante d'intégration K = 0 se déduit des conditions initiales y(0) = 0 et x•(0) = 0. • En substituant dans l'autre équation le résultat obtenu : y•• + ω2 y = 0 (en notant ω = !

qB m

la pulsation, qui est en fait une vitesse de rotation). ◊ remarque : on peut aussi dériver lʼune des équations au lieu d'intégrer, puis substituer de façon analogue, mais c'est généralement plus long. • On en déduit : y = Y cos(ωt + φ) où la condition initiale y(0) = 0 impose φ = ±!

2

c'est-à-dire y = = ±Y sin(ωt). La condition initiale y•(0) = ±ωY = v0y impose en outre Y = !

v 0y et y = ! v 0y

sin(ωt). ◊ remarque : on choisit généralement Y > 0 et le signe est ajusté à l'aide du déphasage. • En reportant : x• = signe(q) v0y sin(ωt), on obtient par intégration : x = - signe(q) !

v 0y cos(ωt) + Kʼ, où la constante d'intégration Kʼ = x0 + signe(q) ! v 0y se déduit de la condition initiale x(0) = x0. Finalement : x = x0 + signe(q) ! v 0y

[1 - cos(ωt)]. ◊ remarque : la projectio n du mouvement sur le plan Oxy est donc circulaire uniforme (à "vitess e projetée" V = │v0y│ constante) ; la trajectoire est une hélice de pas constant !

2"r tan# , avec α = (! v B

). 2. Méthode géométrique ◊ remarque : cette méthode n'est pas tout à fait adaptée au programme de MPSI, qui n'aborde pas la définition du "rayon de courbure" local d'une courbe quelconque ; elle peut toutefois constituer un approfon-dissement intéressant. • La force de Lorentz !

F qv"B est perpendiculaire à ! B , et donc à ! u z ; par suite az = 0 et vz = v0z est constante. • La force ! F est aussi perpendiculaire à ! v , donc elle ne travaille pas et v = v0 est constante. Par suite cos(! v B v z v est constant, et : F = │q│ vB │sin(! v B )│ est aussi constante. • Lʼaccélération a donc une norme a = ! F m

constante ; or, pour un mouvement dont la vitesse à une norme constante, la norme de l'accélération est liée au rayon de courbure local par la relation a = !

v 2 R , donc le rayon de courbure R est lui aussi constant. • Puisque α = (! v B ) est constant, la projection de la courbe sur Oxy a une courbure constante : c est donc un cercle de rayon r tel que a = ! v 2 R vsin" 2 r , c est-à-dire r = ! vsin"

2 • Ce cercle est parcouru par la projection de M avec une "vitesse proje-tée" constante : v │sin(α)│ (une vitesse angulaire : ω = !

vsin" r qB m

) ; la rotation se fait autour de la direction de B avec un sens de rotation qui a le signe de -q ; la trajectoire est une hélice de pas !

2"r tan#

. • Soient donc x1 et y1 les coordonnées du centre du cercle projeté dans le plan Oxy, les équations paramétriques du mouvement sont alors : x - x1 = r cos(ωt + φ) et y - y1 = ±r sin(ωt + φ) et z = vzt dʼoù : vx = -rω sin(ωt + φ) et vy = ±rω cos(ωt + φ). • Par comparaison avec les conditions initiales sur la vitesse, on obtient respectivement φ = 0 ou π et v0y = ±rω (φ = π si qv0y > 0 ; φ = 0 si qv0y < 0), ce qui donne r = !

v 0y . Par comparaison avec les conditions initiales sur la position, on obtient x1 = x0 + ! v 0y et y1 = 0, cʼest-à-dire : x = (x0 + ! v 0y v 0y cos(ωt) et y = ! v 0y

sin(ωt). II. Spectrographe de masse de Dempster 1. • Accélérés par le champ électrique, sous une tension U = 1000 V, les ions acquièrent une énergie cinétique : !

1 2

mv2 = qU (on peut négliger en comparaison leur énergie cinétique initiale, due à l'agitation thermique ; par ailleurs l'énergie finale est visiblement non relativiste puisque l'énergie de masse des ions est ≈ 20mpc2 ≈ 20 GeV). • Sous l'effet de la force magnétique : !

F qv"B perpendiculaire à ! B , le mouvement ne peut pas acquérir une composante parallèle à ! B ; or la vitesse initiale est perpendiculaire à ! B , donc le mouvement se fait entièrement dans le plan perpendiculaire à ! B

et passant par la position d'entrée dans le dispositif. • La force est perpendiculaire à !

v

, donc l'accélération tangentielle est nulle et le mouvement est uniforme. Enfin, l'accélération normale est an = !

v 2 R qvB m

constante (en norme), donc le rayon de cour-bure de la trajectoire est constant, et la trajectoire est une portion de cercle de rayon R = !

mv qB

. • Compte tenu de la forme du dispositif et de l'orthogonalité de la vitesse initiale par rapport à la face d'entrée rectiligne, les trajets parcourus sont des demi-cercles. Les points d'impact, diamétralement opposés au point d'entrée, en sont donc distants d'un diamètre : D = 2!

mv qB 8mU q B

. • Numériquement : D1 = 40,7 cm pour 20Ne et D2 = 42,7 cm pour 22Ne. 2. • En considérant : ΔD = !

2m qB

Δv = !

D v

Δv, l'observation de "zones" d'impact distinctes impose : A1A2 = = D2 - D1 > ΔD1 + ΔD2 ≈ (D1 + D2) !

"v v c'est-à-dire : ! "v v D 2 "D 1 D 1 +D 2 ≈ 0,024. ◊ remarque : compte tenu de : D = ! 8mU q B , cela donne ! "v v "m 2m 1 4 "m m

; ou inversement, la résolution du dispositif est caractérisée par une incertitude sur la masse : !

"m m = 4 ! "vquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4