[PDF] Algorithme compte gouttes pour les décimales de Pi - Lycée dAdultes PDF 01_cours_compte_gouttes

24 jan 2016 · Soit le nombre 7 sous sa forme décimale : 7 = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 première) avec les fractions ( 1 180 180 100 160 110

De préférence, il faut utiliser la première façon de dire le nombre Exemples Écris les nombres suivants en chiffres Cent vingt-sept millions quatre cent trente

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L'usage de la lettre grecque π, première lettre de « περίμετρος » — périmètre en grec, n'est apparu qu'au xviiie siècle à 39 décimales est suffisante pour estimer la circonférence d'un cercle dont les dimensions sont A x 32 = 100, 5309648

Obsession de Pi - LACIM

en calculant la somme P(n) des n premiers termes de la somme infinie: comporte les chiffres décimaux a, b et c en position 100, 101 et 102 avec le nombre Y

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Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, 10 000 En effet dans la première colonne, 12 unités cela donne 1 dizaine et

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appelé un nombre décimal s'il existe un entier n tel que 10nd ∈ Z On designe p1 est premier avec 10k, le théor`eme de Gauss entraine que p1 divise p ce qui 4 = E(100x)−10E(10x), 1 = E(1000x)−10E(100), 5 = E(104x)−10E(103x),

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entière décimale Partie entière , Partie décimale Position Centaine (100) 8 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1 + 5 x 10 1 grand chiffre en premier est le plus grand

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24 jan 2016 · Soit le nombre 7 sous sa forme décimale : 7 = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 première) avec les fractions ( 1 180 180 100 160 110

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Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000, Exemple : La fraction des zéros avant le premier chiffre de • des zéros après le

Algorithme compte gouttes pour les

décimales de Pi

1 Le principe

Soitlenombreπsoussaformedécimale:π=3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279... Cette écriture peut s"écrire à l"aide de la forme de

Horner

On observe que le facteur

10correspond à la base 10 qui notre base de notre

système d"écriture. Considérons la série de Euler qui donne la valeur deπ:

π=2+∞∑

n=01×2× ··· ×n

1×3× ··· ×(2n+1)=2?

Écrivons cette formule avec la forme de Horner : 2+ 1 3 2+2 5 2+3 7 2+4 9 2+5 11 2+6

13(...)??????

On observe cette fois que les facteurs

3,25,37,49,...,n2n+1,...?

peuvent être considérés comme une base à pas variable. Dans cette base un peu particulière, l"expression deπest[2,2,2,2,...]. On remarque alors que dans cette base,π devient alors un nombre d"une simplicité stupéfiante. dans notre système à base 10. Pour cela, on applique l"algorithme de Horner (cf première) avec les fractions?1

3,25,37,49,...,n2n+1,...?

2 L"algorithme

2.1 Nombre de digits

Tout d"abord, un petit calcul en ce qui concerne l"encombrement mémoire. Dans la forme de Horner, on voit que le pas n

2n+1de la base est à chaque fois légèrement

inférieur à 1

2. La valeur exacte12reviendrait à considérer la base 2. Pour avoir un

PAULMILAN1TERMINALE S SPÉ

chiffre significatif dans notre système décimal pour un nombre écrit en base 2 avecx"digit", on a 2x=10?x=ln10 ln2≈3,32. On suppose que cette règle peut s"appliquer à notre base à pas variable. Conclusion : si on veutnchiffres significatifs deπ, on aura besoin de 3,32n"di- gits" dans notre base à pas variable. Si l"on veut 4 chiffres significatifs pourπ, on aura besoin de :

4×3,32=13,28 soit 14 "digits".

2.1.1 Tableau donnant 4 chiffres significatifs

Aπr12345678910111213

B=3579111315171921232527

init.22222222222222

Premier chiffre

×102020202020202020202020202020

retenue10121212101278900000 somme33032323230322728292020202020 reste022431011312120202020

Deuxième chiffre

×100202040301001013012010200200200200

retenue132033406548988872160154132910 reste3133554851818101611

Troisième chiffre

×10301030305050408050180180100160110

retenue11243040404870801351207772520 reste11000106101515511122

Quatrième chiffre

×101010000100601001501505011012020

retenue4412327572981129050664800 reste4224372221011202020

On obtient alors :π≈3,141

Les deux premières lignes (A et B) sont les numérateurs et dénominateurs des pas de la base à pas variable. La troisième ligne (initialisation), correspond à l"expression deπdans cette base. On remplit la dernière colonne des lignes "retenue" par des 0. L"algorithme de conversion s"effectue de droite à gauche par groupe de 4 lignes : (×10), retenue, somme et reste.

PAULMILAN2TERMINALE S SPÉ

2. L"ALGORITHME

Le principe consiste à multiplier le digit par 10, à additionner la retenue, à diviser la somme par le chiffre de la colonne B qui donne d"une part le quotient qui est multiplié par le chiffre de la colonne A (la retenue de la colonne suivante) et d"autre part le reste.

Remplissage de la colonne en rouge (colonne 8) :

On remplit la ligne×10 en multipliant la ligne précédente par 10 : 2×10=20. On additionne ce nombre à la retenue que l"on a calculé avec la colonne précé- dente : 20+9=29 On effectue la division euclidienne de la somme par le nombre de la ligne B de la même colonne : 29=17×1+12

On place le reste 12 dans la ligne reste.

On multiplie le quotient 1 par la ligne A de la même colonne et l"on place le résultat dans la ligne retenue de la colonne suivante : 1×8=8 On réitère le procédé sur toutes les colonnes des 4 lignes du premier chiffre et l"on obtient 30 comme dernière somme. On divise par 10, on prend 3 comme premier chiffre deπet 0 comme reste. On réitère de nouveau ce procédé aux 4 lignes suivantes : on obtient le deuxième chiffre : 1 et ainsi de suite pour obtenir les chiffres suivants : 4 et1 Remarque :On peut considérer qu"un chiffre fourni dans la dernière colonneest exact s"il n"est pas suivi d"un 9. Lorsque le reste dans la colonnerest supérieur à 100 (c"est rare...), on obtient alors 10 derrière la dernière décimale. On doit alors augmenter cette dernière décimale de 1.

2.1.2 Programme

Voici un programme que vous pouvez entrer dans votre calculette. Il ne tient pas compte du cas où l"on obtient 100 dans la colonner(cela n"arrive pas sur les premières décimales) Pour déterminer le nombre de tableaux de 4 lignes que l"on doit effectuer, on fera l"approximation que 4 "digits" donne un chiffre significatif. C"est pour cette rai- son fera Ent(N/4) boucles correspondant aux tableaux. Pour connaître 10 chiffres significatifs, on rentreraN=40.

N: Nombre dedigits

I: Compteur

J: Rang de la décimale calculée

K: Compteurs de colonnes

B: Valeur du pas

R: Retenue

E: Dernier reste du tableau précédent (initialisée à 0)

F: Valeur de la décimale calculée

Lignes 7, 8, 9 : on rentreNfois le chiffre 2 dans la listeL1. Ligne 13 : on se positionne sur la colonne la plus à droite.

PAULMILAN3TERMINALE S SPÉ

Ligne 15 : on calcule la somme de 10 fois le resteL1(K)du tableau précédent et de la retenue.

Ligne 16 : on calcule le reste.

Ligne 17 : on calcule le quotient.

Ligne 19 on prend la colonne suivante vers la gauche. Lignes 20, 21, 22 : si l"on ne se situe pas sur la colonnerdu tableau, on multiplie suivante à gauche.

Variables:N,I,J,K,B,R,E,Fentiers

1liste

1Entrées et initialisation

2Effacer écran

3Effacer listeL1

4LireN

50→E

61→J

7pourIde 1 àNfaire

82→L1(I)

9fin

109Traitement

10pourIde 1 à Ent(N/4)faire

112N-1→B

120→R

13N→K

14tant queK>0faire

15R+10L1(K)→R

16R-BEnt?R

B? →L1(K)

17Ent?R

B? →R

18B-2→B

19K-1→K

20siK?=0alors

21RK→R

22fin
23fin

24E+Ent?R

10? →F

25Placer F à la 4eligne de laJecolonne

26siJ=1alors

27Placer "," à la 4eligne de la 2e

colonne

28J+1→J

29fin

30R-10Ent?R

10? →E

31J+1→J

32Afficher sur la 6eligne

"πintégré 3,141592654" 33fin
34

PAULMILAN4TERMINALE S SPÉ

2. L"ALGORITHME

Ligne 24 : on calcule un chiffre significatif avec le reste précédent de la colonne reste et la retenue divisée par 10. Ligne 25 : Pour assembler le chiffre significatif (sortie "Output" surla Ti), on positionne les chiffres sur la 4 eligne par exemple, à la colonneJ. Lignes 26, 27, 28 après le premierchiffre (3), on met une virgule. Ligne 30 : on calcule le reste de la co-lonner.

Avec une Ti 82 ou 83, on obtient pour

dans la calculatrice (19 décimales)

On trouve :π≈3,141 592 653 589 793 238 4

PAULMILAN5TERMINALE S SPÉ

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Algorithme compte gouttes pour les

1 Le principe

Horner

On observe que le facteur

10correspond à la base 10 qui notre base de notre

π=2+∞∑

1×3× ··· ×(2n+1)=2?

13(...)??????

On observe cette fois que les facteurs

3,25,37,49,...,n2n+1,...?

3,25,37,49,...,n2n+1,...?

2 L"algorithme

2.1 Nombre de digits

2n+1de la base est à chaque fois légèrement

2. La valeur exacte12reviendrait à considérer la base 2. Pour avoir un

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4×3,32=13,28 soit 14 "digits".

2.1.1 Tableau donnant 4 chiffres significatifs

Aπr12345678910111213

B=3579111315171921232527

Premier chiffre

×102020202020202020202020202020

Deuxième chiffre

×100202040301001013012010200200200200

Troisième chiffre

×10301030305050408050180180100160110

Quatrième chiffre

×101010000100601001501505011012020

On obtient alors :π≈3,141

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2. L"ALGORITHME

Remplissage de la colonne en rouge (colonne 8) :

On place le reste 12 dans la ligne reste.

2.1.2 Programme

N: Nombre dedigits

I: Compteur

J: Rang de la décimale calculée

K: Compteurs de colonnes

B: Valeur du pas

R: Retenue

F: Valeur de la décimale calculée

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Ligne 16 : on calcule le reste.

Ligne 17 : on calcule le quotient.

Variables:N,I,J,K,B,R,E,Fentiers

1liste

1Entrées et initialisation

2Effacer écran

3Effacer listeL1

4LireN

50→E

61→J

7pourIde 1 àNfaire

82→L1(I)

109Traitement

10pourIde 1 à Ent(N/4)faire

112N-1→B

120→R

13N→K

14tant queK>0faire

15R+10L1(K)→R

16R-BEnt?R

17Ent?R

18B-2→B

19K-1→K

20siK?=0alors

21RK→R

24E+Ent?R

25Placer F à la 4eligne de laJecolonne

26siJ=1alors

27Placer "," à la 4eligne de la 2e

28J+1→J

30R-10Ent?R

31J+1→J

32Afficher sur la 6eligne

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2. L"ALGORITHME

Avec une Ti 82 ou 83, on obtient pour

On trouve :π≈3,141 592 653 589 793 238 4

On place le reste 12 dans la ligne reste.

Ligne 16 : on calcule le reste.

Ligne 17 : on calcule le quotient.