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Indépendance en probabilité.

Loi de Bernoulli. Loi Binomiale.

Exercice

On considère un questionnaire comportant cinq questions.

Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d'entre

elles étant exacte.

Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres.

Par exemple, le mot " BBAAC » signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième questions, A

aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question.

1. a. Combien y-a-t-il de mots-réponses possible à ce questionnaire ?

b. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.

Calculer la probabilité des événements suivants : E : " le candidat a exactement une réponse exacte ». F : " le candidat n'a aucune réponse exacte ».

G : " le mot-réponse du candidat est un palindrome » (On précise qu'un palindrome est un mot pouvant se lire

indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, " B ACAB » est un palindrome).

2. Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard

à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par X le nombre d'élèves dont le mot-réponse ne

comporte aucune réponse exacte. a. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètresn=28etp=32 243.

b. Calculer la probabilité, arrondie à 10-2, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses.

Indépendance en probabilité.

Loi de Bernoulli. Loi Binomiale.

Correction :

1. a. Une éventualité est une 5-liste d'éléments d'un ensemble de 3 éléments {A;B;C}.

cardΩ=35=243

b. On considère l'épreuve de Bernoulli : répondre à une question. Le candidat répond au hasard donc la loi est

équirépartie.

Il y a 1 seule bonne réponse parmi les 3 propositions.

S: le candidat donne la bonne réponse : P(S)=1

3.

S: le candidat donne une mauvaise réponse :

P(S)=2

3. Le candidat répond au hasard aux 5 questions donc les questions sont indépendantes. On obtient un schéma de Bernoulli de 5 épreuves de paramètre :p=1 3.

La loi de probabilité de la variable aléatoire Y égale au nombre de bonnes réponses parmi les 5 questions est

la loi binomiale de paramètres et 1 3.

P(E)=P(Y=1)=

(5

1)×(1

3)1

×(2

3)5-1 =5×16

243=80

243

P(F)=P(Y=0)=

(2 3)5 =32 243

Pour un palindrome, les premières et cinquièmes lettres sont identiques, les deuxièmes et quatrièmes sont

identiques. On peut donc choisir arbitrairement les 3 premières lettres.

Card G=33=27

P(G)=27

243=1
9

2. a. On considère l'épreuve de Bernoulli pour un élève:

S: l'élève donne aucune bonne réponse :P(S)=32

243S: l'élève donne au moins une bonne réponse :

P(S)=211

243Les réponses d'un élève sont indépendantes les unes des autres.

On obtient un schéma de Bernoulli de 28 épreuves de paramètre 32
243.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès en 28 épreuves est la loi binomiale

de paramètres et 38 243.
b. P=P(X=0)+P(X=1) 28

Indépendance en probabilité.

Loi de Bernoulli. Loi Binomiale.

Or, P(X=0)=(28

0)×(211

243)28

≈0,02 et P(X=1)=(28

1)×(32

243)×(211

243)27

≈0,08.

P≈0,10

La probabilité, arrondie à 10-2, qu'au plus un élève n'ait fourni que des réponses fausses est environ 0,10.

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