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INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE
IUT "A" Paul Sabatier, Toulouse 3.
DUT G´enie Civil
Module de Math´ematiques.
MATH´EMATIQUES
´El´ements de calculs pour l"´etude
des fonctions de plusieurs variables et des ´equations diff´erentielles.G. Ch`eze
guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/Enseignements.html 2R`egle du jeu
Ceci est un support de cours pour le module Mat2 de l"IUT G´enie Civil de Toulouse. Dans ce module il est question de fonctions de plusieurs variables et d"´equations diff´erentielles. Certains passages de ce cours comportent des trous, ils sont l`a volontairement. C"est `a vous de les compl´eter durant l"heure de cours hebdomadaire. La partiedu cours trait´ee en amphith´eˆatre sera compl´et´ee et disponible r´eguli`erement sur
internet `a l"adresse :http ://www.math.univ-toulouse.fr/≂cheze/. Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la fin de chaque chapitre. Je serai reconnaissant `a toute personne me signalant une ou deserreurs se trouvant dans ce document.A pr´esent, au travail et bon courage `a tous!
i iiR`egle du jeuTable des mati`eres
R`egle du jeui
I Fonctions de plusieurs variables1
1 Fonctions de plusieurs variables5
1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Repr´esentation graphique d"une fonction de deux variables. . . . . . 6
1.2.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Comment repr´esenter le graphe d"une fonction de deux variables8
1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 D´eriv´ees partielles, Diff´erentielles27
2.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 D´eriv´ees partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Diff´erentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Utilisation des diff´erentielles, diff´erentielle d"une fonction compos´ee. 32
2.5 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Approximation affine, Calcul d"incertitude45
3.1 Approximation d"une fonction `a une seule variable. . . . . . . . . . . 45
3.2 Approximation d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . 47
3.3 Calcul d"erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Le cas des fonctions d"une seule variable. . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Le cas des fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . 50
3.4 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Extrema d"une fonction de deux variables63
4.1 Rappel dans le cas d"une seule variable. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Extr´emum local d"une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . 66
4.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
iii ivTABLE DES MATI`ERESII´Equations diff´erentielles83
1´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 185
1.1 Pr´esentation g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.1.1´Equations diff´erentielles et int´egration. . . . . . . . . . . . . 86
1.1.2 Solutions d"une ´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . 86
1.1.3 Interpr´etation g´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.2 M´ethodes de r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 189
1.2.1´Equation homog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.2.3 Solution g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.2.4 Astuces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2´Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre 2 `a coefficients constants107
2.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2 R´esolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1 R´esolution de l"´equation homog`ene associ´ee. . . . . . . . . . 108
2.2.2 Calcul d"une solution particuli`ere. . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3 Exercices du TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 Correction des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
III Annexes123
A D´eriv´ees et primitives usuelles125
B Annales corrig´ees127
C Trouver l"erreur177
D Alphabet grec181
Premi`ere partie
Fonctions de plusieurs variables
1 Jusqu"`a pr´esent vous avez surtout rencontr´e des fonctionsd"une variable. Cepen- dant les ph´enom`enes naturels ne d´ependent pas en g´en´erald"une seule variable. Par exemple : la vitesse moyennevd´epend de la distance parcouruedet du tempstmis pour effectuer ce parcours, on av=d/t. Un autre exemple est donn´e par le calcul de l"aire d"un rectangle :A=L×l. L"aire est une fonction de la longueurLet de la largeurl. Dans cette partie, nous allons ´etudier les fonctions de plusieurs variables. Nous aurons une attention toute particuli`ere pour les fonctionsde deux variables car dans ce cas nous pourrons encore faire des dessins. Ensuite nousverrons que nouspouvons aussi faire des calculs de d´eriv´ees. Cela sera utilis´e pour effectuer des calculs
d"incertitude et pour trouver les extrema (maximum, minimum) d"une fonction de plusieurs variables. 3 4